Автореферат (1149209), страница 3
Текст из файла (страница 3)
A.2.5).Следующее предположение описывает класс монотонных нелинейностей,которые мы будем рассматривать в дальнейшем. Заметим, что это предположение является обобщением хорошо известного условия сектора из теоремыоб абсолютной устойчивости [2].(A.3.4) Предположим, что Ξ = W и существует оператор M = M ∗ ∈L(Ξ, Ξ) такой, что(φ(Cy1 ) − φ(Cy2 ),M (φ(Cy1 ) − φ(Cy2 )))Ξ≤ (φ(Cy1 ) − φ(Cy2 ), C(y1 − y2 ))Ξ , ∀y1 , y2 ∈ Y1 .13(35)При введенных предположениях эволюционное уравнение (32) порождаетполудинамическую систему ({ϕt }t∈R+ , (Y1 , k · kY1 )) на фазовом пространствеY1 ⊂ Y0 [1].Ведем понятие множества аменабельных решений системы (32).Определение 1.
Предположим, что κ > 0 - некоторое число. Решение y(·)задачи (32) называется аменабельным, если y(·) задано на R и существуетRτчисло τ ∈ R такое, что ∀ t ≤ τ и −∞ e2κt ky(t)k20 dt < +∞.Обозначим множество всех аменабельных решений уравнения (32) (аменабельное множество) через A. Для случая ОДУ и дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом понятие и условия существования аменабельных решений были введены Р. А. Смитом [5] и обобщает понятие глобального B-аттрактора [1].Теорема 3. Предположим, что выполнены условия (A.3.1) – (A.3.4) исуществует число λ > 0 такое, что выполняются следующие условия:1) Пространство состояний Y0 системыẏ = (A + λI)y(36)может быть разложено следующим образом Y0 = Y0− ⊕Y0+ , где dimY0− =:k < ∞. Обозначим через y(·, y0 ) (глобальное) решение (36), удовлетворяющее y(0, y0 ) = y0 .
Тогда для любого y0 ∈ Y0− выполнено lim y(t, y0 ) =t→−∞0 и для любого y0 ∈Y0+выполнено lim y(t, y0 ) = 0;t→+∞2) Выполнено частотное условие Re(χ(iω − λ)ξ, ξ)Ξc − (ξ, M c ξ)Ξc < 0 длявсех ω ∈ R с iω 6∈ σ(Ac ) и всех ξ ∈ Ξc , ξ 6= 0, где χ(p) - передаточнаяфункция линейной части системы (32), которая вводится аналогичнотому, как показано в условии (A.2.6).Пусть A - аменабельное множество для системы (32). Тогда существует линейный оператор Π : Y0 → Y0− такой, что Π : A → ΠA являетсягомеоморфизмом.Данная теорема позволяет свести анализ системы к пространствам болеемалой размерности.Далее в главе приводится конечномерная версия теоремы 3, а также описывается алгоритм построения гомеоморфного отображения Π.
В заключение,в данной главе приводится частотное условие существования определяющихдля диссипативности наблюдений для одномерной задачи микроволновогонагрева [3].14C помощью численного моделирования на основе этого метода и с использованием языка программирования Python для двухфазовой задачи нагрева (25)–(30) показывается, что при предположении превалентности аппроксимация аттрактора одномерной двухфазовой системы нагрева может бытьвложена в пространство R3 при различных значениях параметров системы.Результат вложения показан на рисунках 1 и 2.Рис.
1: ε = 1, µ = 0.5Рис. 2: ε = 1, µ = 1В заключении приведены основные результаты работы, которые заключаются в следующем:• Доказано существование положительно инвариантного выпуклого множества и получены достаточные условия ограниченности решений дляэволюционных систем с нелинейностью типа Клейна-Гордона.• Доказана ограниченность решений дважды нелинейных парных эволюционных уравнений, включая двухфазовую систему нагрева.• Предложен метод построения проекторов для эволюционной системы,порожденной системой микроволнового нагрева и доказано существование проектора из множества аменабельных решений эволюционныхуравнений на некоторое подмножество конечномерного пространства.• Описан модифицированный метод вложения Такенса-Робинсона с помощью которого получены численные результаты по аппроксимации аттрактора для одномерной задачи нагрева.Список цитируемой литературы1.
Бабин А. В., Вишик М. И. Аттракторы эволюционных уравнений //Наукa. 1989. C. 293.152. Лихтарников А. Л., Якубович В. А. Частотная теорема для уравненийэволюционного типа // Сибирск. математ. журн. 1976. том 17. № 5. C. 1069–1085.3. Manoranjan R. V., Yin H.-M. On two-phase Stefan problem arising froma microwave heating process // J. Continuous and Discrete Dynamical Systems.vol. 15. 2006. P. 1155 – 1168.4. Robinson J.
C. Taken’s embedding theorem for infinite-dimensional dynamicalsystems // J. Nonlinearity. vol. 18. 2005. P. 2135 – 2143.5. Smith, R. A., Convergence theorems for periodic retarded functional differentialequations // Proc. London Math. Soc. vol. 60. 3. 1990. P. 581–608.Публикации автора по теме диссертации1*. Popov S. A., Reitmann V.
Frequency domain conditions forfinite-dimensional projectors and determining observations for the setof amenable solutions // Discrete Contin. Dyn. Syst. 2014. Vol. 34.№ 1. P. 249–267.2*. Popov S. A. Method of positively invariant cones for evolutionsystems with cubic and periodic nonlinearities // Differential Equations.2015. Vol.
50. № 13. P. 1739–1751.3*. Popov S., Reitmann V. Embedding of compact invariant sets of dynamicalsystems on infinite-dimensional manifolds into finite-dimensional spaces // Abstractsof "The 9th AIMS Conference on Dynamical Systems, Differential Equations andApplications".
2012. Orlando, Florida, USA. P. 247–248.4*. Popov S. A., Reitmann V. Frequency domain conditions for the existenceof finite-dimensional projectors and determining observations of attractors //Differential equations and control processes. 2013. № 1. P. 1–21.5*. Popov S. A. Taken’s time delay embedding theorem for dynamical systemson infinite-dimensional manifolds // Abstracts of G-RISC International Student’sConference “Science and Progress 2011”.
2011. Saint-Petersburg, Russia. P. 79-80.6*. Popov S., Reitmann V., Skopinov S. Boundedness and finite-time stabilityfor multivalued doubly-nonlinear evolution systems generated by a microwaveheating problem // Abstracts of “The 8th International Conference on Differentialand Functional Differential Equations”. 2017. Moscow, Russia. P. 142-143.16.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
