Диссертация (1149211), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Определим нелинейность следующимобразом: φ : W → Ξ.Рассмотрим задачу Коши для эволюционных вариационных уравне-64нийẏ(t) = Ay(t) + Bφ(Cy(t)),(3.1.1)y(0) = y0 ∈ Y0 .Вариационная интерпретация (3.1.1) означает, что(ẏ(t) − Ay(t)−Bξ(t), η − y(t))−1,1 = 0,∀η ∈ Y1 , w(t) = Cy(t), ξ(t) = φ(w(t)), y(0) = y0 .Функция y ∈ W(T1 , T2 , Y1 , Y−1 ) ∩ C(T1 , T2 ; Y0 ), где пространствоW(T1 , T2 , Y1 , Y−1 ) было введено в первой главе, называется решением (3.1.1)на (T1 , T2 ) если y(0) = y0 и уравнение (3.1.1) выполняется для п. в.t ∈ (T1 , T2 ).Для того чтобы иметь свойство существования и единственности решения (3.1.1), введем следующие предположения.(A.3.1) Нелинейность φ : W → Ξ удовлетворяет следующему свойству: оператор A := −A − Bφ(C·) : Y1 → Y−1 является монотонным исеминепрерывным, таким что выполняется неравенствоkAyk−1 ≤ c1 kyk1 + c2 , ∀y ∈ Y1 ,(3.1.2)где c1 > 0 и c2 ∈ R некоторые константы.Так же предположим, что(Ay, y)−1,1 ≥ c3 kyk21 + c4 , ∀y ∈ Y1(3.1.3)где c3 > 0 и c4 ∈ R снова константы.
Тогда из ([20, 27]) следует, чтодля произвольного y0 ∈ Y0 существует единственное вариационное решениеy ∈ L2loc (R+ ; Y1 ) ∩ C(R+ ; Y0 ), ẏ ∈ L2loc (R+ ; Y1 ) с y(0) = y0 (см. теорему 1.1).65Кроме того, решение (3.1.1) удовлетворяет неравенствамkykL2 (0,T ;Y1 ) ≤ g1 (ky0 k0 ) иkykC(0,T ;Y0 ) ≤ g2 (ky0 k0 ),где gi : R+ → R+ , i = 1, 2, некотрые непрырывные и монотонно возрастающие функции.3.2.Частотный метод построения проектораОсновным инструментом построения функционалов Ляпунова явля-ется следующая версия частотной теоремы Лихтарникова-Якубовича ([17],[18]).
Для формулировки этой теоремы необходимы некоторые свойстварегулярности линейной части системы ((3.1.1)), которые мы приведем вначале этого раздела.Предположим, что в дальнейшем λ > 0 - некоторое фиксированноечисло.(A.3.2) Для любого T > 0 и лобой функции f ∈ L2 (0, T ; Y1 ) задачаẏ = (A + λI)y + f (t), y(0) = y0(3.2.4)является корректно поставленной, т. е. для произвольного y0 ∈ Y0 ,f ∈ L2 (0, T ; Y−1 ) существует единственное решение y ∈ W(0, T ; Y1 , Y−1 ),удовлетворяющее (3.2.4) в том смысле, что(ẏ, η)−1,1 = ((A + λI)y, η)−1,1 + (f (t), η)−1,1 , ∀η ∈ Y1 , для п. в.
t ∈ (0, T )и является непрерывно зависящим от данных, т. е.ky(·)k2W(0,T,Y1 ,Y−1 ) ≤ c1 ky0 k20 + c2 kf k22,−1 ,где c1 > 0 и c2 > 0 - некоторые константы.(3.2.5)66Замечание 3.2 ([17]). Пусть y(·) - решение задачи (3.2.4) для f (t) ≡ 0 иλ = 0.
Введем оператор G(·) следующим образом: G(t)y0 = y(t), y0 ∈ Y0 .По предположению y(·) ∈ W(0, T, Y1 , Y−1 ), т. е. G(t)y0 ∈ Y1 для почтивсех t ∈ (0, T ) для произвольного T > 0. Из теоремы вложения Соболеваследует, что:1. G(t) ∈ L(Y0 , Y0 ), t ∈ (0, T );2. Отображение t 7→ G(t)y0 является непрерывным как отображение(0, T ) → Y0 ;3. G(0) = I, где I - тождественный оператор на Y0 ;4. G(t + s) = G(t)G(s) = G(s)G(t), ∀t, s ∈ (0, T ), t + s ∈ (0, T ).Следовательно, G(t) строго непрерывная полугруппа линейных ограниченных операторов на гильбертовом пространстве Y0 . ОператорA ∈ L(Y1 , Y−1 ) может быть рассмотрен как расширение на пространство Y1 генератора A : D(A) ∈ Y0 → Y0 полугруппы.(A.3.3) Оператор A + λI ∈ L(Y1 , Y−1 ) является регулярным ([17]),т. е.
для любых T > 0, y0 ∈ Y1 , ψT ∈ Y1 и f ∈ L2 (0, T ; Y0 ) решения прямойзадачиẏ = (A + λI)y + f (t), y(0) = y0 , п. в. t ∈ (0, T )и двойственной задачиψ̇ = −(A + λI)∗ ψ + f (t), ψ(T ) = ψT , п. в. t ∈ (0, T )строго непрерывны по t по норме порстранства Y1 .67Здесь (A + λI)∗ ∈ L(Y−1 , Y0 ) обозначает сопряженный к A + λI оператор, т. е.((A + λI)y, η)−1,1 = (y, (A + λI)∗ η)−1,1 , ∀y, η ∈ Y1 .Заметим, что предположение (A.3.3) выполняется если вложениеY1 ⊂ Y0 вполне непрерывно ([17]).(A.3.4) Пара (A + λI, B) является L2 -управляемой ([17]), т. е. дляпроизвольного y0 ∈ Y0 существует управление ξ(·) ∈ L2 (0, ∞; Ξ) такое, чтозадачаẏ = (A + λI)y + Bξ, y(0) = y0(3.2.6)является корректно поставленной на полуоси [0, +∞), т.
е. существует решение y(·) ∈ L∞ с y(0) = y0 .Легко увидеть, что пара (A + λI, B) является L2 -управляемой, еслиэта пара является экспоненциально устойчивой, т. е. если существует оператор K ∈ L(Y0 , Ξ) такой, что решение y(·) задачи Кошиẏ = (A + λI + BK)y, y(0) = y0 , экспоненициально убывает при t → ∞,т. е.∃c > 0, ∃ε > 0 : ky(t)k0 ≤ ce−εt ky0 k0 , ∀t ≥ 0.(3.2.7)Обозначим через H c и Lc комплексификацию вещественного линейного пространства H и вещественного линейного оператора L, соответственно, и введем как и раньше передаточную функцию тройки (Ac , B c , C c ),определяемую следующим образомχ(p) = C c (pI c − Ac )−1 B c , p ∈ ρ(Ac ).(3.2.8)Следующее предположение описывает класс монотонных нелинейностей, которые мы будем рассматривать в дальнейшем.
Заметим, что это68предположение является обобщением хорошо известного условия сектораиз теоремы об абсолютной устойчивости ([16]).(A.3.5) Предположим, что Ξ = W и существует операторM = M ∗ ∈ L(Ξ, Ξ) такой, что(φ(Cy1 ) − φ(Cy2 ),M (φ(Cy1 ) − φ(Cy2 )))Ξ(3.2.9)≤ (φ(Cy1 ) − φ(Cy2 ), C(y1 − y2 ))Ξ , ∀y1 , y2 ∈ Y1 .В нашей первой теореме мы получим частотные условия для существования функционалов Ляпунова V , которые описывают асимптотическое поведение нормы разницы двух произвольных решений системы(3.1.1).Теорема 3.1. Предположим, что выполнены условия (A.3.2) – (A.3.5)и существует число λ > 0 такое, что выполняется следующее условие:1) Пара (A + λI, B) экспоненциально устойчива;2) Пространство состояний Y0 системыẏ = (A + λI)y(3.2.10)может быть разложено следующим образом Y0 = Y0− ⊕ Y0+ , гдеdimY0− =: k < ∞.
Обозначим через y(·, y0 ) (глобальное) решение(3.2.10), удовлетворяющее y(0, y0 ) = y0 . Тогда для любого y0 ∈ Y0−выполненоlim y(t, y0 ) = 0 и для любого y0 ∈ Y0+ выполненоt→−∞lim y(t, y0 ) = 0;t→+∞3) Выполнено частотное условиеRe(χ(iω − λ)ξ, ξ)Ξc − (ξ, M c ξ)Ξc < 0,для всех ω ∈ R с iω 6∈ σ(Ac ) и всех ξ ∈ Ξc , ξ 6= 0.(3.2.11)69Тогда существует вещественный операторP = P ∗ ∈ L(Y−1 , Y0 ) ∩ L(Y0 , Y1 ) отрицательно определенный на Y0− иположительно определенный на Y0+ , и существует число ε > 0 такое,что сV (y) := (y, P y)0 , ∀y ∈ Y0 неравенствоdV (y1 (t) − y2 (t)) + 2λV (y1 (t) − y2 (t))dt≤ −2εky1 (t) −y2 (t)k21(3.2.12)для п.
в. t ≥ 0выполнено для любых двух решений y1 и y2 задачи (3.1.1).Доказательство. Предположим, что y1 и y2 два произвольных решения(3.1.1). Тогда y := y1 − y2 решение задачиẏ(t) = Ay(t) + Bψ(t)(3.2.13)с ψ(t) := ξ1 (t) − ξ2 (t), где ξi (t) = φ(Cyi (t)), t ∈ R+ , i = 1, 2.По предположению (A.3.5) мы имеем с σi (t) = Cyi (t), i = 1, 2,(ξ1 (t)−ξ2 (t), M (ξ1 (t)−ξ2 (t)))Ξ ≤ (ξ1 (t)−ξ2 (t), σ1 (t)−σ2 (t))Ξ для п. в. t ≥ 0.(3.2.14)Из условий 1) и 3), в нашем случае применима теорема ЛихтарниковаЯкубовича ([17]) с эрмитовой формойF c (y, ξ) = Re(ξ, C c y)Ξc − (ξ, M c ξ)Ξc(3.2.15)на Y1c × Ξc . Из этой теоремы следует, что существуют вещественный оператор P = P ∗ ∈ L(Y−1 , Y0 ) ∩ L(Y0 , Y1 ) и число ε > 0 такие, что выполняетсянеравенство((A + λI)y + Bξ, P y)−1,1 + (ξ, Cy)Ξ − (ξ, M ξ)Ξ≤−2ε[kyk21+kξk2Ξ ]∀y ∈ Y1 , ξ ∈ Ξ.(3.2.16)70Для ξ = 0 мы имеем из (3.2.16) неравенство((A + λI)y, P y)−1,1 ≤ −2εkyk21 , ∀y ∈ Y1 .(3.2.17)Из (3.2.17) следует по теореме Ляпунова ([30]), что оператор P отрицательно определен на Y0− и положительно определен на Y0+ .Подставляя в (3.2.16) y = y1 − y2 , ξ = ξ1 − ξ2 и используя тот факт,что по (A.3.5) выполнено неравенство(ξ, Cy)Ξ − (ξ, M ξ)Ξ ≥ 0вдоль решений y1 (·), y2 (·) и ассоциированных функций ξi = φ(Cyi ), мыполучаем из (3.2.16) с V (y) := (y, P y)0 неравенствоdV (y1 (t) − y2 (t)) + 2λV (y1 (t) − y2 (t))dt≤ −2εky1 (t) − y2 (t)k21 , для п.
в. t ≥ 0.3.3.Построение гомеоморфных отображений из множества аменабельных решений на подмножество конечномерного пространстваПри предположениях из раздела 3.1 эволюционное уравнение (3.1.1)порождает полудинамическую систему {ϕt }t∈R+ на фазовом пространствеY0 .
Напомним здесь кратко определение. Здесь, как и раньше Y1 ⊂ Y0 ⊂ Y−1- гильбертова тройка пространств.Определение 3.1. Пусть {ϕt }t∈R+ семейство отбражений в пространстве Y0 . Пара ({ϕt }t∈R+ , Y0 ) называется полудинамической системой, если выполнено711. ϕ0 = IdY0 - тождественное отображение на Y0 ;2. ϕt+s = ϕt ◦ ϕs для любых s, t ∈ R+ ;3. для любого t ∈ R+ϕt (·) : Y0 → Y0 является непрерывным отобра-жением.Если рассматривать моменты времени t ∈ R, то система называетсядинамической.Предположим, что существует множество A ⊂ Y0 . Напомним определение (Y1 , Y0 )-аттрактора, а также введем связанное с ним понятие множества аменабельных решений ([55], [1]).Определение 3.2. Множество A ⊂ Y0 называется (Y1 , Y0 )-аттракторомотносительно полудинамической системы {ϕt }t∈R+ , если:1. множество A - замкнуто и ограничено;2.
множество A инвариантно относительно отображений ϕt , тоесть ϕt (A) = A для любого t ∈ R+ ;3. для любого ограниченного в Y1 множества B ⊂ Y1 выполняетсяdist(ϕt (B), A) → 0 при t → ∞.Определение 3.3. Предположим, что κ > 0 - некоторое число. Решение y(·) задачи (3.1.1) называется аменабельным, если y(·) задано на R иRτсуществует число τ ∈ R такое, что ∀ t ≤ τ и −∞ e2κt ky(t)k20 dt < +∞.Для случая ОДУ и дифференциальных уравнений с запаздывающимаргументом понятие аменабельных решений было введено Р.
А. Смитом([55]). Обозначим множество всех аменабельных решений уравнения (3.1.1)72(аменабельное множество) через A. Заметим, что в том случае, когда динамическая или полудинамическая система имеет (Y1 , Y0 )-аттрактор, этотаттрактор может быть использован в качестве множества аменабельныхрешений. Одним из способов показать существование такого аттрактораявляется применение частотной теоремы о компактной диссипативностидля полудинамических систем.
Из свойства компактной диссипативностилегко вывести существование глобального (Y1 , Y0 )-аттрактора A ([54]).Наша цель использовать свойства теоремы 3.1 для построения гомеоморфного отображения из множества аменабельных решений на подмножество конечномерного подпространства. Заметим, что мы не используемкакой-либо информации о фрактальной размерности A.Теорема 3.2. Предположим, что выполнены условия теоремы 3.1 с параметрами λ > 0 по отношению к разложению Y0 = Y0− ⊕ Y0+ , гдеdimY0− = k.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
