Диссертация (1149211), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Тогда существует линейный оператор Π : Y0 → Y0− такой,что Π : A → ΠA является гомеоморфизмом.Доказательство. Предположим, что y1 и y2 два решения на A, т. е. мыможем предположить, что y1 (t), y2 (t) ∈ A, t ∈ R. Введем функцию Vаналогично тому, как это сделано в теореме 3.1.Из свойств аменабельных решений, а так же из (3.2.12) следует, чтоd 2λt[e V (y1 (t) − y2 (t))] ≤ −2εe2λt ky1 (t) − y2 (t)k21 , для п. в. t ≤ τ. (3.3.18)dtИнтегрирование (3.3.18) по интервалу [s, τ ] даетe2λτ V (y1 (τ ) − y2 (τ )) ≤ e2λs V (y1 (s) − y2 (s))Zτ− 2ε e2λt ky1 (t) − y2 (t)k21 dt,s(3.3.19)73так как eλt ky1 (t)k1 и eλt ky2 (t)k1 лежат в L2 (−∞, τ ; R) функцияeλt ky1 (t) − y2 (t)k1 также лежит в L2 (−∞, τ ; R).
Отсюда следует, что существует последовательность si → −∞ при j → ∞, удовлетворяющаяky1 (sj ) − y2 (sj )k1 eλsj → 0.Подставляя в (3.3.19) s = sj и предполагая что j → ∞, мы имеемe2λτ V (y1 (τ ) − y2 (τ )) ≤ −2εZτe2λt ky1 (t) − y2 (t)k21 dt ≤ 0.(3.3.20)−∞Теперь выберем обратимое линейное отображение S : Y1 → Y1 такое,что функция V имеет формуV (y) = −kuk21 + kvk21гдеuv= S −1 y, y ∈ Y1 и (u, v) ∈ Y0− ⊕ Y0+ .Определим отображение Π через Πy := u ∈ Y0− .Замечание 3.3.
Построение гомеоморфизма Π : A → ΠA тесно связано с вопросом существования конечного числа определяющих функционалов. Напомним следующее определение, введенное О. A. Ладыженской([33, 9]). Предположим, что вариационная система (3.1.1) порождаетполудинамическую систему {ϕt }t∈R+ в фазовом пространстве Y1 ⊂ Y0 .Также предположим, что эта полудинамическая система имеет аттрактор A и конечномерный проектор Π со следующими свойствами:Для любых двух траекторий γ1 , γ2 на аттракторе A условие Πγ1 = Πγ2влечет, что γ1 = γ2 . В этом случае мы говорим, что число определяющих функционалов для полудинамической системы {ϕt }t∈R+ конечно.
Отсюда следует, что при условиях теоремы 3.2 существует конечное число74определяющих функционалов. Свойства квадратичной формы V (y) из доказательства теоремы 3.2 связаны с конструкциями, используемыми вработах ([34, 50, 52, 51]).Далее в этом разделе мы приведем конечномерную версию теоремы3.2Рассмотрим системуẏ = Ay + Bφ(Cy(t)) ,(3.3.21)где A, B и C матрицы порядка n × n, n × 1 и 1 × n, соответственно.Введем так же как это было сделано в (3.2.8) передаточную функциюχ(p) = C(pI − A)−1 B для p ∈ C : det(pI − A) 6= 0.Пеусть нелинейная функция φ : R → R удовлетворяет условиям существования глобального решения для системы (3.3.21).
Условие (A.3.5)для нелинейности φ превратится в конечномерном случае в следующееусловие :(A.3.5)’ Существуют параметры κ1 < 0 < κ2 такие, чтоκ1 (w1 − w2 )2 ≤ [φ(w1 ) − φ(w2 )](w1 − w2 ) ≤ w2 (w1 − w2 )2∀ w1 , w2 ∈ R.(3.3.22)Теорема 3.3. Предположим, что для φ из (3.3.21) выполнено условие(A.3.5)’ и существует число λ > 0 такое, что выполнено:1. Пара (A + λI, B) экспоненциально устойчива2. Матрица A+λI имеет ровно два собственных числа с положительной вещественной частью и (n − 2) собственных числа с отрицательной вещественной частью;753. Re [1 + κ1 χ(iω − λ)] [1 + κ2 χ(iω − λ)]∗ > 0, ∀ ω ∈ R.Тогда существует n × n матрица P = P ∗ , имеющая 2 отрицательныхи (n − 2) положительных собственных числа, и число ε > 0 такие, чтовыполнено2 y ∗ P [(A + λI)y + Bψ] + (κ2 Cy − ψ)(ψ − κ1 Cy) ≤ − ε kyk2 + |ψ|2∀ y ∈ Rn , ∀ ψ ∈ R .(3.3.23)Выберем регулярную матрицу S = S ∗ порядка n × n такую, что −1−10 ∗(3.3.24)S PS = +1... 0+1и определим линейное отображение Π : Rn → R2 через uΠ y := u, где= S −1 y, u ∈ R2 , v ∈ Rn−2 .v(3.3.25)Тогда если A множество аменабельных решений задачи (3.3.21),отображениеΠ : A → ΠA(3.3.26)является гомеоморфизмом.Доказательство схоже с доказательством теоремы 3.2.
Отличие заключается в том, что в данном случае нужно использовать частотную теорему для конечномерных систем из ([26]).Геометрическая интерпретация теоремы 3.3 для n = 376Предположим, что P = P ∗ - 3 × 3 матрица из (3.3.23), имеющая 2отрицательных и одно положительное собственное число, и V (y) = y ∗ P yассоциированная квадратичная форма. Из (3.3.23) следует, что для любыхдвух решений y1 (·), y2 (·) задачи (3.3.21) мы имеемV (y1 (t) − y2 (t)) ≤ 0, ∀t ∈ R.(3.3.27)Введем множество K := {y ∈ R3 |V (y) ≤ 0}. Тогда C := R3 \K - 1мерный конус (рис. 3.1). Пусть l будет направлением главной оси R3 \K сl∗ P l > 0, E будет ортогональной к l плоскостью, проходящей через началокоординат, и Π будет ортогональной проекцией на E.Предположим, что y1 (·), y2 (·) два произвольных различных решениязадачи (3.3.21) в R3 , т.
е. y1 (t) 6= y2 (t) ∀t ∈ R. Из (3.3.27) мы имеемV (y1 (t) − y2 (t)) ≤ 0, ∀ t ≥ 0, т. е. y1 (t) − y2 (t) ∈ K,∀ t ≥ 0.ТогдаΠ y1 (t) 6= Π y2 (t),∀t ≥ 0 .(3.3.28)Предположим противное, т. е. предположим, что∃ t0 ≥ 0 : Π y1 (t0 ) = Π y2 (t0 ) .(3.3.29)Из (3.3.29) следует, что Π [y1 (t0 ) − y2 (t0 )] = 0, т. е. точка y1 (t0 ) − y2 (t0 )проецируется под действием Π в 0. Но тогда существует k 6= 0 такое,что y1 (t0 ) − y2 (t0 ) = kl. Следовательно, мы имеем V (kl) = k 2 l∗ P l > 0,противоречие с тем фактом, что V (y1 (t0 ) − y2 (t0 )) ≤ 0.77Рис. 3.1.
Построение конуса3.4.Построение редуцированной системы по измерениямВ этом разделе мы опишем алгоритм построения гомеоморфногоотображения Π в смысле раздела. 3.3. Для простоты будем рассматриватьконечномерный случай.Предположим, чтоẏ = f (y)(3.4.30)данное (неизвестное) дифференциальное уравнение в Rn , f : Rn → Rnгладкое векторное поле, которое порождает полугруппу {ϕt }t≥0 . Предположим, что A глобальный B-аттрактор полугруппы.
Наша цель построить гомеоморфное отображение Π : A → ΠA ⊂ R2 . (Более общий случайΠ : A → ΠA ⊂ Rk , k = 2, 3, . . . , n − 1, может быть рассмотрен аналогично.)Шаг 1: Выбор линейной частиВыберем число λ > 0 и матрицы A, B и C порядка n × n, n× 1 и 1 × n,соответственно, таким образом, что (A + λI, B) стабилизируемы, и A + λIимеет 2 собственных числа с положительной вещественной частью и n − 278собственных чисел с отрицательной вещественной частью.Шаг 2: Реконструирование класса нелинейностейОпределим на [0, T ] линейную полугруппу G(t) = eAt с A из Шага 1.Возьмем ε > 0, вещественное число N и будем наблюдать вблизи аттрактора решения yi (·), i = 1, 2, . . .
, N, задачи (3.4.30) на [0, T ]. Найдем длялюбого i = 1, 2, . . . , N решение ξi ∈ L∞ (0, T ; Rn ) линейного неравенстваZtsup |Cyi (t) − CG(t)yi (0) −t∈[0,T ]CG(t − s)Bξi (s)ds| < ε.(3.4.31)0Отсюда следует, что ξi (t) ≈ φ(Cyi (t)) в смысле L2 (0, T ), гдеẏi (t) = Ayi + Bφ(Cyi (t)) на [0, T ].Определим две константы −∞ ≤ µ1 < µ2 ≤ +∞ (µ2 < +∞ еслиµ1 = −∞ и µ1 > −∞ если µ2 = +∞) такие, чтоµ1 [C(yi (t) − yj (t))]2 ≤ [ξi (t) − ξj (t)]C[yi (t) − yj (t)]≤ µ2 [C(yi (t) − yj (t))]2 , i, j = 1, .
. . , N, t ∈ [0, T ].(3.4.32)Шаг 3: Графический тест частотного условияВычислим частотную характеристику χ(iω−λ) = C((iω−λ)I −A)−1 Bи сравним график χ(iω − λ) с кругом C[µ1 , µ2 ] из Шага 2 (см. рис. 3.2).Из ([26]) следует что если нет пересечений между χ(iω − λ) и C[µ1 , µ2 ]частотное условие выполняется. В этом случае переходим к Шагу 4.
Впротивном случае меняем A, B, C и начинаем снова с Шага 1. Оба случаяпоказаны на рисунке. 3.2.Шаг 4: Построение гомеоморфизма Π : A → Π AНайдем с A, B, C из Шага 1 и µ1 < µ2 из Шага 3 n × n матрицуP = P ∗ как решение матричного неравенства (3.3.23).79Рис. 3.2. Частотная характеристикаТакое решение существует в силу частотной теоремы и определяетсяза конечное число шагов. Любое решение P = P ∗ задачи (3.3.23) имеет2 отрицательных и n − 2 положительных собственных числа. Определимрегулярную матрицу S = S ∗ через (3.3.24).Тогда проекция Π : Rn → R2 определяется выражением (3.3.26).Из теоремы 3.3 следует, что если A глобальный B-аттрактор задачи(3.4.30), тогда Π : A → ΠA является гомеоморфизмом.Шаг 5: Определение редуцированного ОДУ для полного уравненияПусть Π : A → ΠA будет гомеоморфизмом из Шага 4.
Определимредуцированное 2-мерное ОДУ u̇ = Π f (h̃(u)) из наблюдений Π yi (t), где| {z }g̃(u)yi (t) произвольные решения задачи (3.4.30) в окрестности аттрактора ииспользуем теорему расширения Штейна ([56]) для того чтобы расширитьэто векторное поле из замкнутого множества ΠA ⊂ E ∼= R2 на липшицевовекторное поле на всем E.В следующем разделе мы рассмотрим некоторые вопросы, касающи-80еся определяющих функционалов.3.5.Определяющие функционалы для вариационных уравненийПредположим, что F и G квадратичные формы на Y1 × Ξ. КлассN (F, G) нелинейностей для (3.1.1) состоит из всех отображений φ таких,что выполняются следующие условия:Для любого T > 0 и любых двух функция y(·) ∈ L2 (0, T ; Y1 ) иξ(·) ∈ L2 (0, T ; Ξ) сξ(t) = φ(Cy(t)), для п. в. t ∈ [0, T ](3.5.33)F(y(t), ξ(t)) ≥ 0, для п.
в. t ∈ [0, T ](3.5.34)следует, чтои существует непрерывная функция Φ : Y1 → R (обобщенный потенциал)и числа λ > 0 и γ > 0 такие, чтоZt1G(y(τ ),ξ(τ ))dτ ≥ [Φ(y(t)) − Φ(y(s))]2s(3.5.35)ZtΦ(y(τ ))dτ ∀ 0 ≤ s < t ≤ T+λsиΦ(y) ≥ γkyk20 , ∀y ∈ Y0 .(3.5.36)Предположим, что Z другое гильбертово пространство, которое мыбудем называть пространством наблюдений. Любой ограниченный линейный оператор M : Y1 → Z называется оператором наблюдений.81Предположим, что P ∈ L(Y−1 , Y0 ) ∩ L(Y0 , Y1 ), P = P ∗ в Y0 и введемфункцию11V (y) := (y, P y)0 + Φ(y), ∀y ∈ Y0 .22Предположим, что существуют числа λ > 0 и µ > 0 такие, что для произвольного решения y(·) задачи (3.1.1) мы имеемdV (y(t)) + 2λV (y(t)) ≤ µkM y(t)k2Z , для п.
в. t ≥ 0.dtТогда наблюдениеσ(t) := µkM y(t)k2Z(3.5.37)мы будем называть определяющим для диссипативности с областью Dзадачи (3.1.1), т. е. свойствоZ τkM y(τ )k2Z dτ → 0 для t → +∞tвлечет что lim sup V (y(t)) ≤ C и, следовательно, (3.1.1) является диссипаt→+∞тивным с областью диссипативности D := {y ∈ Y0 |kyk20 ≤2Cγ }.Эквивалентное определение определяющих для диссипативности наблюдений вариационного неравенства приведено в работе ([38]).Для того, чтобы сформулировать частотную теорему существованияопределяющих для диссипативности наблюдений, нам потребуются следующие условия.(A.3.6) Существуют числа λ > 0 и µ > 0 такие, что следующие трисвойства выполнены:a) Любое решение задачи ẏ = (A + λI)y, y(0) = y0 экспоненциальновозрастает при t → +∞, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
