Диссертация (1149211), страница 6
Текст из файла (страница 6)
То есть для почти45всех t ∈ [T1 , T2 ] выполнено(d(By(t)) − Ay(t) − B φ̂(z(t)), η − y(t))−1,1 = 0,dt∀η ∈ V1 , z(t) = Cy(t), y(0) = y0 .(2.1.6)(2.1.7)Введем следующие предположения.(A.2.1) Система (2.1.4) – (2.1.5) имеет глобальное слабое решениедля любого y0 ∈ Y1 (для некторых случаев существование такого решенияпоказано в работах [20] и [15]).(A.2.2) Z1 = Ξ1 = Ξ2 = R.(A.2.3) Существуют κ1 , κ2 , κ1 < κ2 такие, что для функцииφ̃1 (z1 , t) := g1 (z1 ) + g2 (z1 , z2 (t)),где z2 (t) = C2 y2 (t) и y2 (t) - решение (2.1.1) – (2.1.3) выполняетсяκ1 z12 ≤ φ̃1 (z1 , t)z1 ≤ κ2 z12 , ∀z1 ∈ R, t ≥ 0.(A.2.4) Оператор A1 является регулярным ([17]), т. е.
для любыхT > 0, y10 ∈ Y1,1 , ỹ1T ∈ Y1,1 и f1 ∈ L2 (0, T ; Y1,0 ) решения прямой задачиdy1 = A1 y1 + f1 (t), y1 (0) = y10 , п. в. t ∈ (0, T )dtи двойственной задачиdỹ1 = −A∗1 ỹ1 + f1 (t), ỹ1 (T ) = ỹ1T , п. в. t ∈ (0, T )dtстрого непрерывны по t по норме порстранства Y1,1 .(A.2.5) Пара (A1 , B1 ) является L2 -управляемой ([17]), т. е. для произвольного y10 ∈ Y1,0 существует управление ξ1 (·) ∈ L2 (0, T ; Z1 ) такое, чтозадачаdy1 = A1 y1 + B1 ξ1 , y1 (0) = y10dt(2.1.8)46имеет решение y1 для любого T > 0.(A.2.6) Обозначим через Ac1 , B1c и C1c комплексификацию операторовA1 , B1 и C1 , соответственно.
введем передаточную функцию системы (2.1.1)- χ(p) = C1c (Ac1 − pIYc1,1 )−1 B1c , p ∈ ρ(Ac1 ) и рассмотрим следующую эрмитовуформу:F(ξ1 , z1 ) := Re(ξ1 − κ1 z1 )∗ (κ2 z1 − ξ1 ),тогда выполнено частотное условиеRe(κ1 χ(iω) + IΞ1 )∗ κ2 χ(iω) + IΞ1 ) ≥ 0.(A.2.7) Существует число κ3 такое, что(B2 y2 , A2 y2 )2,1 ≤ −κ3 ky2 k22,1 , ∀y2 ∈ Y2,1 .(A.2.8) Существует число κ4 такое, что(B2 y2 , B2 φ̃2 (t, y2 ))2,1 ≤ κ4 ky2 k22,1 , ∀y2 ∈ Y2,1 , t ≥ 0для φ̃2 (t, z2 ) = φ2 (z1 (t), z2 ).Тогда справедлива следующая теорема.Теорема 2.1.
Пусть выполнены предположения (A.2.1) - (A.2.8). Тогдарешения системы (2.1.1) - (2.1.3) ограничены на (0, +∞).Доказательство. С учетом предположений (A.2.1) и (A.2.2) первая частьсистемы (2.1.1) - (2.1.3) принимает видdy1 = A1 y1 + B1 φ˜1 (z1 , t), z1 = C1 y1 ,dty1 (0) = y01 .(2.1.9)(2.1.10)47Квадратичная форма F(ξ1 , z1 ) из условия (A.2.6) описывает нелинейность системы (2.1.9) - (2.1.10).
Эта форма является эрмитовой на пространствах, заданных в условии (A.2.3).Из условий (A.2.4)–(A.2.6) по теореме Лихтарникова-Якубовича([17]) существуют оператор P = P ∗ ∈ L(Y1,−1 , Y0 ) ∩ L(Y1,0 , Y1,1 ) и числоδ > 0, такие, что−1222((A + λI)y + Bξ, P y)1,1 + (κ−12 ξ − Cy)(κ1 ξ − Cy) ≤ −δ(kyk1 + |ξ| )∀y ∈ Y1 , ξ ∈ R.(2.1.11)Подставив в (2.1.11) ξ = 0, получаем наравенство2((A + λI)y, P y)1,1 + (Cy)2 ≤ −δkyk21 ∀y ∈ Y1 .(2.1.12)Используя обобщенную лемму Ляпунова ([30]) получаем, что суще+−−ствует разложение Y1,0 = Y1,0⊕Y1,0при dim Y1,0= 1 такое, что выполняется+ ≥ 0P|Y1,0и− ≤ 0 .P|Y1,0(2.1.13)Рассмотрим функцию Ляпунова V (y1 ) = (y1 , P y1 )1,1 . Ее производнаяв силу системы (2.1.1) - (2.1.3)V̇ (y1 (t)) = 2(P y1 (t), A1 y1 (t) + B1 φ˜1 (y1 (t), t))1,1(2.1.14)Тогда из соотношения (2.1.11) и предположения (A.2.3) получаем,что для V (y1 (t)), где y1 - решение (2.1.9) - (2.1.10) выполненоdV (y1 (t)) ≤ 0 для п.
в. t ≥ t0 .dt(2.1.15)ky1 k1 ≤ c1 ky01 k1 + c2 ≤ c3 ,(2.1.16)Отсюда получаем:48где коэффициенты c1 , c2 зависят только от A1 , B1 , C1 , κ1 , κ2 .Теперь рассмотрим вторую часть системы (2.1.1) - (2.1.3), котораяимеет видd(B2 y2 ) = A2 y2 + B2 φ̃2 (t, z2 ), z2 = C2 y2dt(2.1.17)y2 (0) = y02 .(2.1.18)Рассмотрим функционал Ляпунова следующего вида:V (y2 ) = (B2 y2 , B2 y2 )2 .(2.1.19)Теперь посчитаем производную в силу системы:ddV (y2 ) =(B2 y2 , B2 y2 )2 = (B2 y2 , A2 y2 + B2 φ̃2 (t, z2 ))2 =dtdt(B2 y2 , A2 y2 )2 + (B2 y2 , B2 φ̃2 (t, z2 ))2 .Из предположений (A.2.7) и (A.2.8) следует что(2.1.20)(2.1.21)ddt V(y2 (t)) < 0,откуда, в свою очередь, следует ограниченность ky2 k2 .2.2.Сведение двухфазовой задачи нагрева к дважды нелинейному парному эволюционному уравнениюВ наши дни широко распространен метод стерилизации пищевыхпродуктов, основанный на использовании электромагнитного излучения.Процесс стерилизации при помощи микроволн имеет ряд преимуществ, посравнению с другими методами стерилизации.
Так данный метод в значительной степени сохраняет содержание протеинов и витаминов, а так жевкусовые качества продукта. Итоговый продукт не содержит консервантов49и может храниться при комнатной температуре в течении значительноговремени с момента обработки. Кроме того важным преимуществом является высокая скорость обработки продукта с использоваием микроволновогоизлучения.Однако, при нагреве продуктов питания микроволнами возникает рядпроблем.
Вероятно одной из самых важных проблем является проблемаконтроля за температурой нагрева. Многие продукты чувствительны к повышенным температурам и при достижении некоторого критического значения теряют свои питательные и вкусовые свойства. Поэтому важной задачей является получение таких условий, при которых температура нагреваемого матерала будет ограничена. Распределение температуры сильнозависит от того, насколько глубоко микроволны могут проникать в материал, что в свою очередь зависит от некоторых параметров материала,таких как магнитная проницаемость, электрическая проницаемость, электрическая проводимость и т. д.
В данном разделе мы рассмотрим задачумикроволнового нагрева материала с фазовым переходом и преведем условия ограниченности ее решений.a) Опишем формальную постановку задачи микроволнового нагрева. Предположим, что имеется генератор микроволнового излучения, который действует непосредственно на наш материал. Электромагнитное излучение, приходящее от источника, описывается уравнениями Максвелла([11]). Они представляют из себя уравнения, которые устанавливают взаимодействие электрического и магнитного полей в среде. Если среда является однородной, то уравнения, учитывающие необходимые свойства среды,можно записать в более компактной форме.50Рассмотрим ограниченную область Ω ⊂ R3 с C 1 -гладкой границей∂Ω. Уравнения Максвелла для неоднородной среды выглядят следующимобразомε(x)Et (x, t) + σ(x)E(x, t) = rotH(x, t), (x, t) ∈ QT ,µ(x)Ht (x, t) + rotE(x, t) = 0,(2.2.22)(x, t) ∈ QTгде T ∈ R+ , QT = Ω × (0, T ], E(x, t) и H(x, t) - векторы напряженностиэлектрического и магнитного поля, соответственно, ε(x), µ(x) и σ(x) - диэлектрическая проницаемость, магнитная проницаемость и электрическаяпроводимость, соответсвенно.Дополним эти уравнения начально-краевыми условиями.
ПустьST = ∂Ω×(0, T ]. Тогда граничные и начальные условия для задачи (2.2.22)будем рассматривать в видеν(x) × E(x, t) = ν(x) × G(x, t), (x, t) ∈ ST ,E(x, 0) = E0 (x),x ∈ Ω,H(x, 0) = H0 (x),x ∈ Ω,(2.2.23)где ν(x) - внешняя нормаль к границе ∂Ω в точке x, G(x, t) - векторная функция, которая описывает внешнее поле генератора излучения,E0 (x), H0 (x) - некоторые заданные векторные функции.Под действием электромагнитного излучения в материале появляетсяисточник тепла, который описывается законом Джоуля-Ленца ([11])q(x, t) = j(x, t) · E(x, t),x ∈ Ω, t ∈ [0, T ],(2.2.24)где q - мощность выделения тепла в единице объёма, j - вектор плотностиэлектрического тока в момент времени t в точке x.51Далее, если применить закон Ома о плотности тока j(x, t) = σ(x)E(x, t),то из уравнения (2.2.24) мы получаемq(x, t) = σ(x) · |E(x, t)|2 ,x ∈ Ω, t ∈ [0, T ].(2.2.25)Запишем уравнение теплопроводности, которое описывает распространение тепла.
Пусть k : R → R заданная функция, такая что выполняются:1. k(s) ∈ [k0 , k1 ], ∀s ∈ R, где 0 < k0 < k1 < ∞,2. k(·) непрерывна при s 6= m, причем k(m + 0) − k(m − 0) > 0, где m некоторая точка вещественной прямой.b) Введем задачу со свободной границей ([15]). Для этого рассмотримпроцесс с двумя фазами, где состояние i-ой фазы характеризуется функцией θi (x, t), i = 1, 2, где θ1 (x, t) < m (твердая фаза), а θ2 (x, t) > m (жидкаяфаза).Пусть неизвестная граница имеет вид ∂Ω = Γ1 ∪ Γ2 , где фазе θi отвечает граница Γi . Уравнения, описывающие эволюцию фаз, имеют вид3∂θ1 X ∂∂−(k(θ1 )θ1 ) = f,∂t∂xl∂xlθ1 < m,(2.2.26)∂θ2−∂tθ2 > m,(2.2.27)l=13Xl=1∂∂(k(θ2 )θ2 ) = f,∂xl∂xlгде, учитывая источник тепла в материале,f (x, t) = σ(x)|E(x, t)|2 , x ∈ Ω, t ∈ [0, T ].Граничные условия принимают следующий вид.Пусть S := ∪t∈(0,T ) Γ(t).
На S выполняется:521. θ1 = θ2 = m,P22. β cos(ν, t) − 3l=1 k(m + 0) ∂θ∂xl cos(ν, xl ) +P1+ 3l=1 k(m − 0) ∂θ∂xl cos(ν, xl ) = 0,где β > 0 заданная константа, ν - нормаль к Γ(t), направленнаявнутрь второй фазы.Начальные условия принимают следующий вид:1. θ1 (x, 0) = θ01 (x), θ01 (x) < m,2. θ2 (x, 0) = θ02 (x), θ02 (x) > m.Для дальнейшего изучения преобразуем уравнения (2.2.26) – (2.2.27).Для этого введем функцию (преобразование Кирхгофа)Z θK(θ) :=k(s)ds,(2.2.28)0а так же новые неизвестные функции Θi = K(θi ), i = 1, 2. Тогда уравнения(2.2.26) – (2.2.27) примут вид∂Θi− 4Θi = f, i = 1, 2, (x, t) ∈ QT ,k(K −1 (Θi )) ∂t1(2.2.29)причем Θ1 < M := K(m), Θ2 > M .Граничные условия принимают вид1.
Θi = K(gi ) на Σi , i = 1, 2,2.• Θ1 = Θ2 = M на S,• β cos(n, t) +∂Θ1∂n−∂Θ2∂n= 0, где∂∂nнормальная производная к S,направленная внутрь второй фазы.Определим функцию b(s) из следующих условий:531.dds b(s)=1k(K −1 (s)) ,s 6= M ,2. b(M + 0) − b(M − 0) = β,Заметим, что b определяется с точностью до аддитивной константы.Введем также новую функциюΘ1 (x, t), в фазе 1,θ(x, t) = Θ2 (x, t), в фазе 2,M,на S.(2.2.30)Тогда уравнение, описывающее изменение температуры будет иметьвидb(θ)t = 4θ + σ(θ)vt2 ,(x, t) ∈ QT .(2.2.31)c) Теперь перейдем к описанию задачи микроволнового нагрева в одномерном случае. Рассмотрим систему состоящую из уравнений Максвеллаи уравнения теплопроводности.ε(x)Et (x, t) + σ(θ)E(x, t) = rotH(x, t),(x, t) ∈ QT ,(2.2.32)µ(x)Ht (x, t) + rotE(x, t) = 0,(x, t) ∈ QT(2.2.33)b(θ(x, t))t = ∇[k(x)∇θ(x, t)] + σ(θ)|E(x, t)|2(x, t) ∈ QT ,(2.2.34)ν(x) × E(x, t) = ν(x) × G(x, t),(x, t) ∈ ST ,(2.2.35)θ(x, t) = 0,(x, t) ∈ ST ,(2.2.36)E(x, 0) = E0 (x),x ∈ Ω,(2.2.37)H(x, 0) = H0 (x),x ∈ Ω,(2.2.38)θ(x, 0) = θ0 (x),x ∈ Ω.(2.2.39)54Введем переменную W (x, t) =Rt0E(x, τ )dτ и для простоты будем счи-тать что G(x, t) ≡ 0.
Тогда система (2.2.32)-(2.2.39) примет следующий вид1(H0 − rotW (x, t)))µ(x)(x, t) ∈ QT ,(2.2.40)µ(x)Ht (x, t) + rotE(x, t) = 0,(x, t) ∈ QT(2.2.41)b(θ(x, t))t = ∇[k(x)∇θ(x, t)] + σ(θ)|Wt (x, t)|2(x, t) ∈ QT ,(2.2.42)ν(x) × Wt (x, t) = 0,(x, t) ∈ ST ,(2.2.43)θ(x, t) = 0,(x, t) ∈ ST ,(2.2.44)Wt (x, 0) = E0 (x),x ∈ Ω,(2.2.45)W (x, 0) = 0,x ∈ Ω,(2.2.46)θ(x, 0) = θ0 (x),x ∈ Ω.(2.2.47)ε(x)Wtt + σ(θ)Wt = rot(Предположим, что QT = {(x, t)|0 < x < 1, 0 < t < T }, а E и H определим следующим образом: E(x, t) = (0, e(x, t), 0), H(x, t) = (0, 0, h(x, t)),где e(x, t) и h(x, t) - некоторые скалярные функции. Тогда система (2.2.40)– (2.2.47) примет видε(x)wtt − (1wx )x + σ(θ)wt = 0,µ(x)(x, t) ∈ QT ,(2.2.48)b(θ)t − θxx = σ(θ)wt2(x, t) ∈ QT ,(2.2.49)w(0, t) = w(1, t) = 0,t ∈ [0, T ],(2.2.50)θ(0, t) = θ(1, t) = 0,t ∈ [0, T ],(2.2.51)w(x, 0) = 0, wt (x, 0) = v0 (x),x ∈ (0, 1),(2.2.52)θ(x, 0) = θ0 (x),x ∈ (0, 1).(2.2.53)55Теперь определим, в каком смысле мы понимаем решение задачи(2.2.48)–(2.2.53).Определение 2.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
