Диссертация (1149211), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Для обыкновенных дифференциальных уравнений в таком случае говорят о нелинейностях типаДуффинга ([3]). В качестве частного случая таких систем рассматриваетсязадача нагрева стержня, для данной задачи проверяются условия полученных теоретических результатов. Также в этой главе приведены условияограниченности решений эволюционных систем с периодической нелинейностью и рассматривается локализация инвариантного множества даннойсистемы на конусной сетке.Во второй главе рассматриваются дважды нелинейные парные эволюционные уравнения с нелинейностями в правой и левой частях ([15],[32]). Для таких систем приведены достаточные условия ограниченностирешений.
В качестве частного случая таких систем рассматривается двухфазовая задача микроволнового нагрева. Аналогично тому как это сделанов ([22]), показывается возможность интерпретирования данной системы наязыке многозначных динамических систем. Для данной задачи также приводятся достаточные условия ограниченности решений.В третьей главе рассматриваются общие системы управления с обратной связью, состоящие из линейной и нелинейной частей, а также рассматривается вопрос построения проекторов из множества допустимых решений на подмножество конечномерного пространства. В заключение, вданной главе приводится частотное условие существования определяющихдля диссипативности наблюдений для одномерной задачи микроволнового11нагрева.В четвертой главе приводятся основные элементы теории Такенса иРобинсона ([51], [52]), а также их применение при численном моделировании для построения аппроксимации аттрактора двухфазовой задачи микроволнового нагрева.В заключении сформулированы основные результаты работы.121.
Положительно инвариантные множества иограниченность решений эволюционных уравнений впространстве с конусомВ данной главе изучается метод положительно инвариантных конусовдля общих эволюционных систем. Метод положительно инвариантных конусов с использованием частотной теоремы впервые был представлен дляобыкновенных дифференциальных уравнений в работах ([12], [44]).
В работе ([12]) был доказан аналог кругового критерия абсолютной устойчивостинелинейных систем управления, дающий ограниченность решения нелинейных систем управления с периодической нелинейностью. Однако, в этойи последующих работах ([13], [40]) рассмотрен лишь только случай дифференциальных уравнений, заданных на конечномерных пространствах. Вданной главе приводится аналог этого результата для случая эволюционных уравнений с периодической нелинейностью на оснащенном гильбертовом пространстве.
В частности, сюда входят некоторые дифференциальныеуравнения в частных производных с периодической нелинейностью.Метод инвариантных конусов в данной главе рассматривается такжедля эволюционных систем с кубической нелинейностью типа Дуффинга,для которых доказана теорема о существовании положительно инвариантного выпуклого множества. Для этого доказана обобщенная лемма о разделимости конусов ([37]) для случая нестрогой разделимости. Впервые такая13задача была рассмотрена для обыкновенных дифференциальных уравнений с нелинейностью типа Дуффинга в работе ([14]).1.1.Системы управления с монотонной нелинейностьюВведем некоторые понятия, которые потребуются нам в дальнейшемв главе.Рассмотрим оснащение вещественного гильбертова пространства Y0 ,то есть тройку пространствY1 ⊂ Y0 ⊂ Y−1 ,(1.1.1)где Y1 и Y−1 - вещественные гильбертовы пространства, и вложения плотныи непрерывны.
В дальнейшем тройку пространств с такими свойствамибудем также для краткости называть гильбертовой тройкой. Пусть (·, ·)iи k · ki , i = 1, 0, −1 - скалярное произведение и норма в Yi , соответственно.Непрерывность вложения означает, что существуют такие константы κ > 0и κ0 > 0, чтоkyk0 ≤ κkyk1 ,∀ y ∈ Y1(1.1.2)∀ y ∈ Y0 .(1.1.3)иκ0 kyk−1 ≤ kyk0 ,Предположим, что оснащение (1.1.1) - (1.1.3) реализовано как показано в([2], [60]). Также полагаем, что в гильбертовой тройке пространств (1.1.1)даны только Y1 ⊂ Y0 , где для простоты предполагаем κ = 1. Введем на Y0следующую норму:|(y, η)0 |06=η∈Y1 kηk1kyk−1 := sup(1.1.4)14и обозначим через Y−1 замыкание Y0 по этой норме.
Тогда Y−1 может бытьрассмотрено как третье пространство в оснащении (1.1.1) (см. [2, 60]). Этопространство также можно рассматривать как сопряжённое к Y1 относительно Y0 . Продолжив по непрерывности функцию (u, v)0 на Y−1 × Y1 , получим скобку двойственности между Y−1 и Y1 , то есть билинейную форму(·, ·)−1,1 на Y−1 × Y1 , которая совпадает с (·, ·)0 на Y0 × Y1 и удовлетворяетнеравенству|(h, y)−1,1 | ≤ khk−1 kyk1 ,∀ h ∈ Y−1 , ∀ y ∈ Y1 .(1.1.5)Рассмотрим три линейных оператора, заданные на гильбертовой тройкепространств (1.1.1) следующим образом:A ∈ L(Y1 , Y−1 ) ,B ∈ L(R, Y−1 ) ,C ∈ L(Y0 , R) .(1.1.6)Также будем рассматривать сопряжённый к A относительно Y0 оператор A+ ∈ L(Y1 , Y−1 ), который определяется следующим образом ([2]):(Ay, η)−1,1 = (A+ η, y)−1,1 ,∀ y, η ∈ Y1 .(1.1.7)Если A+ = A, то оператор A называется самосопряжённым относительно Y0 .Введем далее вспомогательные функциональные пространства, которые нам потребуются для исследования эволюционных вариационныхуравнений.Пусть даны −∞ ≤ T1 < T2 ≤ +∞ - два произвольных числа, определим норму для измеримых по Бохнеру функций ([60]) в L2 (T1 , T2 ; Yj ),j = 1, 0, −1, какZT2kyk2,j :=T11/2ky(t)k2j dt.(1.1.8)15Через W(T1 , T2 ; Y1 , Y−1 ) обозначим пространство функций y таких, чтоy ∈ L2 (T1 , T2 ; Y1 ), ẏ ∈ L2 (T1 , T2 ; Y−1 ) и нормойkykW(T1 ,T2 ;Y1 ,Y−1 ) := kyk22,1 + kẏk22,−11/2.(1.1.9)Замечание 1.1.
По теореме вложения ([15, 60]) можно полагать, чтолюбая функция из W(T1 , T2 ; Y1 , Y−1 ) принадлежит C(T1 , T2 ; Y0 ).Рассмотрим относительно гильбертовой тройки пространствY1 ⊂ Y0 ⊂ Y−1 на интервале J ⊂ R следующее уравнение:ẏ = Ay + Bφ(t, Cy) + f (t) ,(1.1.10)где f ∈ L2loc (J; Y−1 ) .Для того чтобы получить свойства существования и единственностирешения рассматриваемой задачи, введем следующее предположение.(A.1.1) Нелинейность φ : R × R → R вместе с операторами A, B и Cудовлетворяет следующему свойству. Семейство операторов{A(t)}t∈R := −A − Bφ(t, C·) : Y1 → Y−1 такое, что для каждого t ∈ Rоператор A(t) монотонный, семинепрерывный, такой, что выполнено неравенствоkA(t)yk−1 ≤ c1 kyk1 + c2 , ∀y ∈ Y1 ,(1.1.11)где c1 > 0 и c2 ∈ R константы, не зависящие от t.Также предположим, что(A(t)y, y)−1,1 ≥ c3 kyk21 + c4 , ∀y ∈ Y1 ,где c3 > 0 и c4 ∈ R константы, не зависящие от t.(1.1.12)16Решением (1.1.10) назовём функцию y ∈ L2loc (J; Y1 ) ∩ C(J; Y0 ) такую,что ẏ ∈ L2loc (J; Y−1 ) и y удовлетворяет уравнению (1.1.10) в вариационномсмысле, то есть для почти всех t ∈ J(ẏ(t) − Ay(t) − Bφ(t, Cy(t)) − f (t) , η − y(t))−1,1 = 0 ,∀ η ∈ Y1 .
(1.1.13)Для этого случая мы имеем следующие результаты существования иединственности ([27]).Теорема 1.1. Пусть выполнено предположение (A.1.1). Тогда для любогоT > 0, любого f ∈ L2loc (R+ ; Y−1 ) и любого y0 ∈ Y0 существует единственное решение y ∈ L2loc (R+ ; Y1 ) ∩ C (R+ ; Y0 ) уравнения (1.1.13) такое, чтоy(0) = y0 , а также верноkykL2 (0,T ;Y1 ) ≤ k1 (kf kL2 (0,T ;Y−1 ) , ky0 k0 )(1.1.14)kykC([0,T ];Y0 ) ≤ k2 (kf kL2 (0,T ;Y−1 ) , ky0 k0 ) ,(1.1.15)игде k1 (·, ·) и k2 (·, ·) - непрерывные и неубывающие по каждой переменнойфункции.Дадим определение положительно инвариантного множества, которое будет использоваться далее в работеОпределение 1.1. Пусть y(t, t0 , y0 ) - решение (1.1.13), t0 ∈ R+ , y0 ∈ Y0и G - некоторое подмножество Y0 .
Тогда если для любого t ≥ t0 из тогочто y0 ∈ G ⊂ Y0 следует что y(t, t0 , y0 ) ∈ G, множество G называетсяположительно инвариантным относительно системы (1.1.13).171.2.Эволюционные системы управления Лурье с нелинейностью типа Клейна-ГордонаРассмотрим гильбертову тройку V1 ⊂ V0 ⊂ V−1 со скалярными произ-ведениями (·, ·)Vj и нормами k · kVj , j = 1, 0, −1. Через (·, ·)V−1 ,V1 обозначимскобку двойственности между V−1 и V1 . Пусть A0 ∈ L(V1 , V−1 ) - линейныйограниченный оператор, b0 ∈ V−1 - обобщённый вектор, c0 ∈ V0 - вектор иd0 ≤ 0 - число. Введем линейные ограниченные операторы C0 ∈ L(V0 , R) иB0 ∈ L(R, V−1 ), соответствующие векторам c0 и b0 , которые определяютсяследующим образом: C0 ν = (c0 , ν)V0 , ∀ ν ∈ V0 и B0 ξ := ξb0 , ∀ξ ∈ R.Пусть φ : R × R → R и g : R → R - две скалярные функции.
Рассмотрим систему непрямого управления, которая формально записываетсякакν̇ = A0 ν + b0 [φ(t, w) + g(t)] ,ẇ = (c0 , ν)V0 + d0 [φ(t, w) + g(t)] .(1.2.16)Перепишем (1.2.16) как систему управления в стандартном виде. Дляэтого рассмотрим гильбертову тройку пространств Z1 ⊂ Z0 ⊂ Z−1 , гдеZj := Vj ×R, j = 1, 0, −1. Скалярное произведение (·, ·)Zj в Zj вводится соотношением (ν1 , w1 ), (ν2 , w2 ) Zj := (ν1 , ν2 )Vj +w1 w2 , (ν1 , w1 ), (ν2 , w2 ) ∈ Zj .Скобка двойственности между Z−1 и Z1 определяется следующим образом((h, ξ), (ν, ς))Z−1 ,Z1 := (h, ν)V−1 ,V1 + ξ ς, ∀(h, ξ) ∈ Z−1 , (ν, ς) ∈ Z1 .Пусть b̂ :=h ib0d0∈ Z−1 и ĉ :=01∈ Z0 , а операторы Ĉ ∈ L(Z0 , R) иB̂ ∈ L(R, Z−1 ) задаются какĈz = (ĉ, z)Z0 ,∀ z ∈ Z0 ,B̂ξ = ξ b̂ ,∀ ξ ∈ R.18Также введем оператор Â ∈ L(Z1 , Z−1 ), который определяется следующимобразомA0 0Â :=.C0 0Рассмотрим системуż = Âz + B̂ [φ(t, w) + g(t)] , w = Ĉz .Данная система эквивалентна (1.2.16) при z :=(1.2.17)νw .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
