Диссертация (1149211), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Для произвольных−∞ ≤ T1 < T2 ≤ +∞ определим норму измеримых по Бохнеру функцийв L2 (T1 , T2 ; Zj ), j = 1, 0, −1 соотношениемZT2kzk2,j :=T11/2kz(t)k2Zj dt.(1.2.18)Пусть W(T1 , T2 ; Z1 , Z−1 ) - пространство функций z таких, чтоz ∈ L2 (T1 , T2 ; Z1 ) и ż ∈ L2 (T1 , T2 ; Z−1 ). Норму в пространствеW(T1 , T2 ; Z1 , Z−1 ) определим следующим образомkzkW(T1 ,T2 ;Z1 ,Z−1 ) := kzk22,−1 + kżk22,−11/2.(1.2.19)Введём предположения (A.1.2) – (A.1.7), которые нам потребуютсяв дальнейшем.(A.1.2) Для любого T > 0 и любой f = (f1 , f2 ) ∈ L2 (0, T ; Z−1 ) задачаν̇ = A0 ν + f1 (t),(1.2.20)ẇ = (c0 , ν)V0 + f2 (t),(1.2.21)(ν(0), w(0)) = (ν0 , w0 )(1.2.22)корректно поставлена, то есть для произвольных (ν0 , w0 ) ∈ Z0 и(f1 , f2 ) ∈ L2 (0, T ; Z−1 ) существует единственное решение19(ν, w) ∈ W(0, T ; Z1 , Z−1 ), удовлетворяющее (1.2.20)–(1.2.22) в вариационном смысле, и которое непрерывно зависит от начальных данных, то естьдля некоторых констант k3 > 0 и k4 > 0 выполнено неравенствоk(ν, w)k2W (0,T ;Z1 ,Z−1 ) ≤ k3 k(ν0 , w0 )k2V0 ×R + k4 k(f1 , f2 )k22,−1 .(1.2.23)(A.1.3) Существует λ > 0 такое, что A0 + λI - гурвицев оператор.(A.1.4) Для любых T > 0, (ν0 , w0 ) ∈ Z1 , (ν̃0 , w̃0 ) ∈ Z1 и(f1 , f2 ) ∈ L2 (0, T ; Z1 ) решение прямой задачи (1.2.20)–(1.2.22) и решениесмежной задачиν̃˙ = −(A∗0 + λ I)ν̃ + f1 (t),(1.2.24)w̃˙ = −C0∗ w̃ − λ w̃ + f2 (t),(1.2.25)(ν̃(0), w̃(0)) = (ν̃0 , w̃0 )(1.2.26)непрерывно по t в сильном смысле по норме пространства Z1 .Здесь A∗0 ∈ L(V−1 , V0 ) обозначает сопряженный к A0 оператор, т.

е.(A0 y, η)−1,1 = (y, A∗0 η)−1,1 , ∀y, η ∈ V1 .(A.1.5) Пара (A0 , b0 ) - L2 - управляема, то есть для произвольногоν0 ∈ V0 существует управление ξ (·) ∈ L2 (0, ∞; R) такое, что задачаν̇ = A0 ν + b0 ξ ,ν(0) = ν0корректно поставлена в вариационном смысле на (0, ∞) .20Обозначим через Ac0 , bc0 и cc0 комплексификацию A0 , b0 и c0 , соответственно. Определим передаточную функцию для тройки (Ac0 , bc0 , cc0 ) следующим образомχ(p) = cc0 , (Ac0 − pI c )−1 bc0Z0,p ∈ ρ(Ac0 ).(A.1.6) Для λ > 0 из предположения (A.1.3) и для некоторого κ1 > 0выполненоλd0 + Re (−iω − λ)χ(iω − λ) + κ1 | χ(iω − λ) − d0 |2 ≤ 0 ,∀ ω ≥ 0 . (1.2.27)(A.1.7) Функция φ : R × R → R непрерывна и φ(t, 0) = 0, ∀ t ∈ R.Функция g : R → R - непрерывна. Существуют числа κ1 > 0 (из (A.1.6)),0 ≤ κ2 < κ3 < +∞, β1 < β2 и ζ2 < ζ1 такие, чтоa)β1 < g(t) < β2 , ∀t ∈ R;(1.2.28)b)(φ(t, w) + βi )(w − ζi ) ≤ κ1 (w − ζi )2 , i = 1, 2,∀ t ∈ R, ∀ w ∈ [ζ2 , ζ1 ] ;(1.2.29)c)κ2 (w1 − w2 )2 ≤ (φ(t, w1 ) − φ(t, w2 ))(w1 − w2 ) ≤ κ3 (w1 − w2 )2 ,∀ t ∈ R, ∀ w1 , w2 ∈ [ζ2 , ζ1 ] .(1.2.30)Замечание 1.2.

Гиперболические уравнения с нелинейностью, обладающей свойствами b) и c), называются уравнениями типа Клейна-Гордона([59]). Параболические уравнения с такими нелинейностями называются21уравнениями типа Чэфи-Инфанте ([24], [28]). Для конечномерного случаятакие нелинейности называются нелинейностями типа Дуффинга ([3]).Далее будем предполагать, что при введенных выше условиях решение уравнения (1.2.17) для любого T > 0 принадлежит пространствуW(0, T ; Z1 , Z−1 ).

Для этого случая мы покажем существование решений сначальными данными из определённого множества. Для этого нам понадобятся некоторые вспомогательные результаты.Предположим, что Y1 ⊂ Y0 ⊂ Y−1 - гильбертово оснащение пространства Y0 , k · kj , (·, ·)j - норма и скалярное произведение соответственно, и(·, ·)−1,1 - скобка двойственности между Y−1 и Y1 .

Рассмотрим линейнуюсистемуẏ = Ay ,w = (c, y)0 ,(1.2.31)где A ∈ L(Y1 , Y−1 ) и c ∈ Y0 .Предположим, что для каждого y0 ∈ Y0 существует единственное решение y(·, y0 ) системы (1.2.31) в W(0, ∞; Y1 , Y−1 ), удовлетворяющее условию y(0, y0 ) = y0 . В дальнейшем нам понадобится это предположение.(A.1.8) Пространство Y0 можно разложить в виде Y0 = Y0+ ⊕ Y0− так,что верно следующее:a) Для каждого y0 ∈ Y0+ мы имеем lim y(t, y0 ) = 0, и для каждогоt→∞y0 ∈ Y0− существует единственное решение y− (t) = y(t, y0 ) системы (1.2.31), определённое на (−∞, 0), такое, что lim y− (t) = 0 иt→−∞(c, y(t, y0 ))0 = 0, ∀ t ≥ 0 тогда и только тогда, когда y0 = 0.b) Для каждого y0 ∈ Y0+ равенство (c, y(t, y0 ))0 = 0, ∀ t ≤ 0 выполняетсятогда и только тогда, когда y0 = 0, и для каждого y0 ∈ Y0− равенство22(c, y(t, y0 ))0 = 0, ∀t ≤ 0 выполняется тогда и только тогда, когдаy0 = 0 .Далее, запись L ≥ 0 для линейного оператора L ∈ L(Y ), где Y- гильбертово пространство, означает, что L - положительный, то есть,(y, Ly)Y > 0, ∀ y ∈ Y \{0};L ≤ 0 означает, что −L - положительный.Следующая лемма связана с нестрогой разделимостью квадратичныхконусов с помощью специальных функционалов.

Для дальнейшего изложения введем некоторые определения. Предположим, что Y - гильбертовопространство со скалярным произведением (·, ·). Конусом в Y назовём множество C ⊂ Y , C 6= ∅ такое, что если y ∈ C, ζ ∈ R, то ζy ∈ C.Предположим, что P ∈ L(Y ), P = P ∗ . Тогда множествоC := {y ∈ Y | (y, P y) ≤ 0} - конус, который мы будем называть квадратичным.Предположим, что существует разложение Y = Y + ⊕ Y − такое, чтоP|Y + ≥ 0 и P|Y − ≤ 0. Тогда квадратичный конус {y ∈ Y | (y, P y) ≤ 0}назовём квадратичным конусом размерности dim Y − .Лемма 1.1. Предположим, что:1. Y1 ⊂ Y0 ⊂ Y−1 - гильбертова тройка пространств со скалярными произведениями (·, ·)i , соответствующими нормами k · ki ,i = 1, 0, −1 и скобкой двойственности (·, ·)−1,1 между Y−1 и Y1 ;2. существует самосопряженный оператор P ∈ L(Y−1 , Y0 ) ∩ L(Y0 , Y1 ),такой что C := {y ∈ Y0 | (y, P y)0 ≤ 0} - одномерный квадратичныйконус;233.

существуют векторы r ∈ Y0 , h ∈ Y−1 и b ∈ Y−1 , такие, чтоP h = r, (h, r)−1,1 = 0, P b = h, (h, b) < 0, (r, b) < 0, а также2(h, P y)−1,1 = (r, y)0 ∀y ∈ Y0 .Тогда справедливы соотношения{y ∈ Y0 |(y, P y)0 < 0, (r, y)0 < 0} = {y ∈ Y0 |(y, P y)0 < 0, (h, y)−1 < 0},(1.2.32){y ∈ Y0 |(y, P y)0 ≤ 0, (h, y)−1 ≤ 0} ⊂ {y ∈ Y0 |(y, P y)0 ≤ 0, (r, y)0 ≤ 0},(1.2.33){y ∈ Y0 |(y, P y)0 ≤ 0, (r, y)0 < 0} ⊂ {y ∈ Y0 |(y, P y)0 ≤ 0, (h, y)−1 ≤ 0},(1.2.34){y ∈ Y0 |(y, P y)0 ≤ 0, (h, y)−1 ≤ 0, (r, y)0 = 0} == {y ∈ Y0 |P y = µr, µ ∈ [0, +∞)}.(1.2.35)Доказательство.

Обозначим через y0 такой вектор из Y0 , что P y0 = h, ачерез y1 ∈ Y−1 такой вектор, что P y1 = r. Такие векторы существуют всилу регулярности оператора P . Из условия леммы (r, y0 )0 = (h, y1 )−1 < 0,(h, y0 )−1 = (y0 , P y0 )0 < 0, (r, y1 )−1 = (y1 , P y1 )−1 = 0. Как показано в ([37]),при условиях леммы выполнено{y ∈ Y0 |(y, P y)0 < 0} ∩ {y ∈ Y0 |(r, y)0 = 0} = ∅,(1.2.36){y ∈ Y0 |(y, P y)0 ≤ 0} ∩ {y ∈ Y0 |(h, y)−1 = 0} = {0}.(1.2.37)Докажем (1.2.32). Пусть для некоторого вектора y ∈ Y0 выполнено(y, P y)0 < 0, (r, y)0 < 0, но (h, y)−1 ≥ 0. Тогда из (1.2.37) (h, y)−1 6= 0. Определим вектор z ∈ Y0 по формуле z = y+α1 y0 , где α1 = −(h, y)0 /(h, y0 )−1 > 0.Из равенства (h, z)−1 = 0 и (1.2.37) следует (z, P z)0 ≥ 0,24но (z, P z)0 = (y, P y)0 + α12 (y0 , P y0 )0 + 2α1 (y0 , P y)0 , где (y, P y)0 < 0,(y0 , P y0 )0 = 0, поэтому (y, P y0 )0 > 0.

Определим вектор z1 ∈ Y0 по формуле z1 = y1 − β1 y0 , где β1 = (r, y)0 /(r, y0 )0 > 0. Из равенства (r, z1 )0 = 0 и(1.2.36) вытекает, что (z1 , P z1 )0 ≥ 0, откуда (y, P y0 )0 < 0, что противоречит с выведенным ранее неравенством (y, P y0 )0 > 0. Обратное включение в(1.2.32), а также включения в (1.2.33) и (1.2.34) доказываются аналогично.Для доказательства (1.2.35) достаточно показать, что при сделанныхпредположениях{y ∈ Y0 |(y, P y)0 ≤ 0, (r, y)0 = 0} = {y ∈ Y0 |y = µy1 , µ ∈ (−∞, +∞)}.(1.2.38)Вектор вида µy1 , очевидно, принадлежит множеству в левой части(1.2.38), так как (y1 , P y1 ) = (r, y1 )−1 = 0. Допустим, что существует вектор y ∈ Y−1 , линейно независимый от y1 , такой, что (y, P y)−1 ≤ 0 и(r, y)−1 = 0.

Из (1.2.36) (h, y) 6= 0. Определим вектор z2 = y1 − α2 y, гдеα2 = (h, y1 )/(h, y)−1 . Так как y и y1 линейно независимы, то z2 6= 0. Очевидно, (h, z2 ) = 0, откуда (z2 , P z2 ) > 0. В то же время(z2 , P z2 ) = (y1 , P y1 ) + α22 (y, P y)0 − 2α2 (y1 , P y1 )−1 < 0. Полученное противоречие доказывает (1.2.38).Замечание 1.3. Данная лемма является обобщением аналогичной леммы из ([14]) на случай гильбертовой тройки пространств.Приведем формулировку леммы из [3], которая будет использоватьсяпри доказательстве теоремы 1.2.Лемма 1.2. Предположим, что t0 ≥ 0, k(·), %(·), vi (·), ui (·) : [t0 , ∞) → R,i = 1, 2, - непрерывные функции и κ1 > κ2 - числа такие, что выполнены25следующие условия:1) В некоторой окрестности множестваT1 := {t ∈ (t0 , ∞) | %(t) = κ1 , vi (t) ≤ 0 , i = 1, 2 , u1 (t) ≤ 0}функция % не возрастает, и в некоторой окрестности множестваT2 := {t ∈ (t0 , ∞) | %(t) = κ2 , vi (t) ≤ 0 , i = 1, 2 , u2 (t) ≥ 0}функция % не убывает.2) В некоторой окрестности множестваT3 := {t ∈ (t0 , ∞) | κ2 ≤ %(t) ≤ κ1 , vi (t) ≤ 0 , i = 1, 2 , u1 (t) = 0}функция u1 не возрастает, и в некоторой окрестности множестваT4 := {t ∈ (t0 , ∞) | κ2 ≤ %(t) ≤ κ1 , vi (t) ≤ 0 , i = 1, 2 , u2 (t) = 0}функция u2 не убывает.3) На множестве {t ∈ (t0 , ∞) | κ2 ≤ R(t) ≤ κ1 } функция k(·) неотриRtцательна, и функции t 7→ vi (t) + 0 k(τ )vi (τ )dτ , i = 1, 2, не возрастает.4) R(t0 ) ∈ [κ2 , κ1 ], vi (t0 ) ≤ 0,i = 1, 2, u1 (t0 ) ≤ 0 , u2 (t0 ) ≥ 0.Тогда для любого t ≥ t0 верно, что %(t) ∈ [κ2 , κ1 ], vi (t) ≤ 0,i = 1, 2,u1 (t) ≤ 0, u2 (t) ≥ 0.Следующая теорема дает существование положительно инвариантного выпуклого множества для системы (1.2.16).

В работе ([37]) была доказана аналогичная теорема для случая строгой разделимости конусов.26Теорема 1.2. Предположим, что для системы (1.2.16) выполнены (A.1.2)– (A.1.8). Тогда существует замкнутое, положительно инвариантное ивыпуклое множество G такое, что{(ν, w) ∈ V1 × R | ν = 0, w ∈ [ζ2 , ζ1 ]} ⊂ G ⊂ {(ν, w) ∈ V1 × R | w ∈ [ζ2 , ζ1 ]} .(1.2.39)Доказательство аналгоично доказательству из ([37]) с применениемлеммы 1.1 о нестрогой разделимости конусов.Доказательство.

Характеристики

Список файлов диссертации