Диссертация (1149211), страница 5
Текст из файла (страница 5)
При λ ∈ (0, δ2 ) выполнено условие(A.1.3). Подставим точный вид передаточной функции χ(p) в частотноеусловие и получим неравенствоλ2 − δ2 λ + κ1 ≤ 0.(1.3.88)36Если оно выполнено, то автоматически выполняется частотное условие(A.1.6). Можно заключить, что если выполнено δ22 ≥ 4κ1 , то автоматически выполняется (A.1.3)-(A.1.6).Покажем, что κ1 удовлетворяет неравенству δ22 ≥ 4κ1 . Выберем r1 иr2 следующим образом:1r1 = √− α,3δ51r2 = √+ α,3δ5(1.3.89)где α - столь малое положительное число, что выполнено неравенство(φ(t, w) − φ(t, ri ))(w − ri ) ≤α2(w − ri )2 ,4(1.3.90)− φ(t, r1 ) < g(t) < φ(t, r2 ).Из этого соотношения видно, что выполнено (A.1.7), где κ1 =(1.3.91)α24 ,β1 = −φ(t, r1 ) и β2 = φ(t, r2 ).Таким образом, все условия теоремы 1.2 для нашей системы выполнены, а следовательно для нее существует замкнутое, положительно инвариантное и выпуклое множество, удовлетворяющее условию (1.2.39).1.4.Эволюционные уравнения с периодической нелинейностьюВ этом разделе будем рассматривать эволюционные системы, гденелинейность является периодической относительно части пространственных переменных функцией.Рассмотрим гильбертову тройку пространств Y1 ⊂ Y0 ⊂ Y−1 , котораявводится аналогично тому, как она введена в первом разделе.Пусть A : Y1 → Y−1 линейный непрерывный оператор, имеющий ноль,как собственное число, b – вектор из Y−1 , c – вектор из Y0 .
Определим37операторы C ∈ L(Y0 , R) и B ∈ L(R, Y−1 ) следующим образом:Cy = (c, y)0 , ∀y ∈ Y0 ,Bξ = ξb, ∀ξ ∈ R.(1.4.92)Определим также нелинейность φ : R → R, которая является непрерывной периодической функцией с периодом ζ.Рассмотрим задачу Коши для эволюционного вариационного уравнения ([31])ẏ(t) = Ay(t) + Bφ(Cy(t)),(1.4.93)y(0) = y0 ∈ Y0 .Функция y ∈ W(T1 , T2 ; Y1 , Y−1 ) ∩ C(T1 , T2 ; Y0 ) называется решением(1.4.93) на (T1 , T2 ), если y(0) = y0 и уравнение (1.4.93) выполнено в вариационном смысле (1.1.13).В дальнейшем будем предполагать что для решения (1.4.93) выполнены свойства существования и единственности решения.Также будем предполагать в дальнейшем что λ > 0 некоторое фиксированное число.
Введемнекоторые предположения.(A.1.9) Для любого T > 0 и любого f ∈ L2 (0, T ; Y1 ) задачаẏ = (A + λI)y + f (t), y(0) = y0(1.4.94)корректно поставлена, т. е. для произвольного y0 ∈ Y0 , f ∈ L2 (0, T ; Y−1 )существует единственное решение y ∈ W(0, T ; Y1 , Y−1 ), удовлетворяющее(1.4.94) в том смысле что(ẏ, η)−1,1 = ((A + λI)y, η)−1,1 + (f (t), η)−1,1 , ∀η ∈ Y1 , для п. в. t ∈ [0, T ]и зависящее непрерывно от начальных данных, т. е.ky(·)k2W(0,T ;Y1 ,Y−1 ) ≤ c1 ky0 k20 + c2 kf k22,−1 ,(1.4.95)38где c1 > 0 и c2 > 0 некоторые константы.(A.1.10) Пара (A + λI, B) L2 -управляема ([17]), т.
е. для произвольного y0 ∈ Y0 существует управление ξ(·) ∈ L2 (0, ∞; R) такое что задачаẏ = (A + λI)y + Bξ, y(0) = y0(1.4.96)корректно поставлена на полуоси [0, +∞), т. е. существет решение y(·) ∈ L∞с y(0) = y0 .Обозначим через H c и Lc комплексификацию вещественного линейного пространства H и вещественного линейного оператора L, соответственно, и введем черезχ(p) = C c (Ac − pI c )−1 B c , p ∈ ρ(Ac )(1.4.97)передаточную функцию тройки (Ac , B c , C c ).Следующее предположение описывает класс нелинейностей, которыемы будем рассматривать в будущем.(A.1.11) Предположим, что φ принадлежит сектору M [κ1 , κ2 ], т. е.κ1 ≤φ(w)≤ κ2 , w 6= 0.w(1.4.98)Следующая теорема связана с постороением конусной сетки.Теорема 1.3.
Предположим, что с некоторым λ > 0 выполнены следующие условия для системы (1.4.93)1) Рассмотрим уравнениеẏ = (A + λI)y(1.4.99)в Y0 . Пространство Y0 может быть разложено на Y0 = Y0− ⊕ Y0+где39dimY0− = 1. Обозначим через y(·, y0 ) глобальное решение (1.4.99),удовлетворяющее y(0, y0 ) = y0 . Для любого y0 ∈ Y0− будем предполагать, что lim y(t, y0 ) = 0 и для любого y0 ∈ Y0+ будем предполаt→−∞гать, что lim y(t, y0 ) = 0;t→+∞2) Выполнено частотное условиеRe[(1 + χ(iω − λ)κ1 )∗ (1 + χ(iω − λ)κ2 )] < 0 ∀ω ∈ R;(1.4.100)3) (c, b)−1 < 0.Тогда система (1.4.93) устойчива по Лагранжу, т.
е. любое решениесистемы (1.4.93) ограничено на [t0 , +∞).Доказательство. Пусть y(·, t0 , y0 ) - решение системы (1.4.93) cy(t0 , t0 , y0 ) = y0 . Пусть d ∈ Y1 - собственная функция оператора A, котораясоответствует нулевому собственному числу, такая что (c, d)0 = ζ.По теореме Лихтарникова-Якубовича ([17]) существуют операторP = P ∗ ∈ L(Y−1 , Y0 ) ∩ L(Y0 , Y1 ) и число δ > 0, такие, что−1222((A + λI)y + Bξ, P y)−1,1 + (κ−12 ξ − Cy)(κ1 ξ − Cy) ≤ −δ(kyk1 + |ξ| )∀y ∈ Y1 , ξ ∈ R.(1.4.101)Подставив в (1.4.101) ξ = 0, получаем наравенство2((A + λI)y, P y)−1,1 + (Cy)2 ≤ −δkyk21 ∀y ∈ Y1 .(1.4.102)В силу неравенства (1.4.102), предположения 1) теоремы, а также наблюдаемости пары (A+λI, C), мы можем использовать обобщенную лемму40Ляпунова ([30]), в силу которой существует разложение Y0 = Y0+ ⊕ Y0− приdim Y0− = 1 такое, что выполняетсяP|Y0+ ≥ 0иP|Y0− ≤ 0 .(1.4.103)Рассмотрим функцию Ляпунова V (y) = (y, P y)0 . Ее производная всилу системы (1.4.93) для п.
в. t ≥ t0V̇ (y(t)) = 2(Ay(t) + Bφ(Cy(t)), P y(t))0(1.4.104)Тогда из соотношения (1.4.101) и предположения (A.1.11) получаем,что для v(t) := V (y(t)), где y - решение (1.4.93) выполненоdv(t) ≤ −2λv(t) для п. в. t ≥ t0 .dt(1.4.105)Отсюда, в силу леммы 3.1.1 ([40]), множество {y|(y, P y)0 < 0} являетсяположительно инвариантным для системы (1.4.93).Из вышесказанного следует что C := {y ∈ Y1 |(y, P y)0 < 0} являетсяположительно инвариантным квадратичным конусом размерности 1.Легко проверить, что для решений системы (1.4.93) выполнено соотношениеy(t, t0 , y0 ) − jd = y(t, t0 , y0 − jd) ∀t ≥ to , j ∈ Z.(1.4.106)Следовательно внутренностьΩj := {y ∈ Y1 |(y − jd, P (y − jd))0 < 0}(1.4.107)квадратичного конуса{y ∈ Y1 |(y − jd, P (y − jd))0 ≤ 0}является положительно инвариантным множеством.(1.4.108)41В силу условия 3) в формулировке теоремы, по лемме 5 ([37]) существует вектор r ∈ Y0 , такой, чтоintC ∩ {y ∈ Y1 |(y, r)0 = 0} = ∅.(1.4.109)Подставив в (1.4.101) y = d, ξ = 0, получаем (d, P d)−1,1 < 0.
Следовательно можно найти такое j, что|(r, y0 )0 | < j|(r, d)0 |, (y0 , P y0 )0 ∓ (y0 , P d)0 + j 2 (d, P d)0 < 0.(1.4.110)Из вышесказанного следует, чтоy(t, t0 , y0 ) ∈ Γj := Ωj ∩ Ω−j .(1.4.111)Теперь покажем, что|(r, y(t, t0 , y0 ))0 | < j|(r, d)0 | t ≥ t0 .(1.4.112)Действительно, если это не так, то существует t̄ > t0 , такое что|(r, y(t, t0 , y0 ))0 | = j|(r, d)0 |. А это значит, что для α = 1 или α = −1 имеем (y(t̄, t0 , y0 + αjd), P (y(t̄, t0 , y0 ) + αjd))0 > 0, что противоречит условиюy(t, t0 , y0 ) ∈ Γj .Теперь покажем ограниченность y(t, t0 , y0 ). В силу уcловия (1.4.109)оператор P может быть представлен в форме P = M − τ (r, r)0 , где M положительно определенный оператор, а τ положительное число.Пусть ε будет положительным числом, таким что M > εI.
Для решения y(t) = y(t, t0 , y0 ), которое удовлетворяет неравенствам (1.4.111) и42(1.4.112) справедливоεky(t) − jdk2 ≤(y(t) − jd, M (y(t) − jd))0=(y(t) − jd, P (y(t) − jd))0 + τ |(r, y(t) − jd)0 |2<τ [2(r, y)202(1.4.113)2+ 2j (r, d) ]<4τ j 2 (r, d)2для t ≥ t0 , что означает ограниченность y(·, t0 , y0 ) на [t0 , +∞). Замечание 1.5. Эволюционные уравнения (1.4.93) описывают широкийкласс дифференциальных уравнений в частных производных с периодическими нелинейностями. Например, можно показать, что уравнениесинус-Гордона ([59]) может быть представлено в виде (1.4.93).432.
Ограниченность решений дважды нелинейныхпарных эволюционных уравнений и двухфазовойзадачи микроволнового нагреваВ данной главе рассматриваются неявные парные эволюционныеуравнения с нелинейностями в правой и левой частях ([15], [32]). Для таких уравнений приводятся достаточные условия ограниченности решений.Полученные результыты проверяются для двухфазовой задачи микроволнового нагрева.2.1.Частотные условия ограниченности решений дважды нелинейного парного эволюционного уравненияРассмотрим следующую эволюционную систему, заданную на парегильбертовых троек Y1,1 ⊂ Y1,0 ⊂ Y1,−1 и Y2,1 ⊂ Y2,0 ⊂ Y2,−1 :dy1 = A1 y1 + B1 (g1 (z1 ) + g2 (z1 , z2 )), z1 = C1 y1 ,dtd(B2 y2 ) = A2 y2 + B2 φ2 (z1 , z2 ), z2 = C2 y2 ,dty1 (0) = y01 , y2 (0) = y02 ,(2.1.1)(2.1.2)(2.1.3)где yi ∈ Yi,1 , Ai : Yi,1 → Yi,−1 , Bi : Ξi → Yi,−1 , Ci : Yi,1 → Zi , i = 1, 2 - линейные ограниченные операторы, B2 : Y2,1 → Y2,1 - нелинейный оператор,g1 : Z1 → Ξ1 , g2 : Z1 × Z2 → Ξ2 , φ2 : Z1 × Z2 → Ξ2 - нелинейные функции, а44Ξi и Zi , i = 1, 2 - некоторые гильбертовы пространства.
Такая система называется дважды нелинейной парной эволюционной системой ([31], [42]).Важным свойством таких систем является их гибридность ([36]). Так первая подсистема может порождаться уравнением гиперболического типа, авторая - параболического типа.Определим следующие пространства Y1 = Y1,1 × Y2,1 , Y0 = Y1,0 × Y2,0 ,Y−1 = Y1,−1 × Y2,−1 со скалярными произведениями((y1 , w1 ), (y2 , w2 ))j = (y1 , y2 )1,j + (w1 , w2 )2,j , , y1 j = 1, 0, −1и соответствующими нормами.
Также пусть (·, ·)−1,1 будет скобкой двойственности между Y−1 и Y1 .Далее пусть A := (A1 , A2 ) : Y1 → Y−1 , B := (B1 , B2 ) : Ξ1 × Ξ2 → Y−1и C := (C1 , C2 ) : Y1 → Z1 × Z2 - линейные ограниченные операторы,B := (I, B2 ) : Y1 → Y2 - нелинейный оператор иφ̂(·, ·) := (g1 (·) + g2 (·, ·), φ2 (·, ·)) : Z1 × Z2 → Ξ1 × Ξ2 - некоторая нелинейнаяфункция.Тогда систему (2.1.1) – (2.1.3) можно записать в видеd(By) = Ay + B φ̂(z), z = Cy,dt(2.1.4)y(0) = y0 ,(2.1.5)где y = (y1 , y2 ), z = (z1 , z2 ), y0 = (y01 , y02 ).Решением (2.1.4) – (2.1.5) будем называть функциюy ∈ W(T1 , T2 , Y1 , Y−1 ) ∩ C(T1 , T2 ; Y0 ), (где пространство W(T1 , T2 , Y1 , Y−1 )вводится аналогично тому, как оно было введено в главе 1) удовлетворяющую уравнению (2.1.4) – (2.1.5) в вариационном смысле.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
