Диссертация (1149211), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Тогда можно рассматривать вложение фазового пространства размерности m, состоящее източек: zjm = {θ0 (δj), θ0 (δ(j+1)), . . . , θ0 (δ(j+m−1))}, j = 1, 2, . . . , n = N −m+1.101Здесь N - достаточно большое натуральное число. Тогда мы можем вычислить корреляционный интеграл по следующей формуле:N1 XCm,N () = 2H( − kzim − zjm k),N(4.3.18)j,k=1где m ∈ [1, N + 1].Эта формула зависит от параметров m, n и . На следующем рисункепоказана связь между оценкой фрактальной размерности и параметром m.Рис.
1 Оценка корреляционной размеронсти однофазовой задачи нагрева с фиксированнымε = 1 и меняющимися µПо графикам оценки корреляционной размерности видно, что онаменьше 0,5. Также, в соответствии с замечанием из работы ([52]), при предположении, что решения нашей системы гладкие функции, показатель толщины τ (S, Y1 ), где S = A, Y1 = H 1 (0, 1) × L2 (0, 1) × L2 (0, 1) равняется 0.Таким образом, исходя из теоремы 4.1, при предположении превалентности, аппроксимация аттрактора одномерной системы нагрева может бытьвложена в пространство R3 по формуле (4.1.4) для различных параметровсистемы ε и µ.102На рисунках ниже приведены численные результаты аппроксимацииаттрактора рассматриваемой системы в пространстве R3 .
Рисунки показывают, что изменение параметров системы не сильно влияет на структуруаппроксимационного аттрактора. Аналогичные численные результаты были получены для двухфазовой задачи микроволнового нагрева в работе([23]).Рис. 2 Вложение аппроксимационного аттрактора в пространство R3 , ε = 1 и µ = 0.5.103Рис. 3 Вложение аппроксимационного аттрактора в пространство R3 , ε = 0.5 и µ = 1.104ЗаключениеВ диссертационной работе рассматриваются вопросы локализации инвариантных множеств и аттракторов эволюционных систем, связанных содно и двух-фазовой задачами нагрева.Доказано существование положительно инвариантного выпуклого множества для эволюционных систем с нелинейностью типа Клейна-Гордона.Получены достаточные условия ограниченности решений эволюционныхсистем с нелинейностью типа Клейна-Гордона.Доказана ограниченность решений дважды нелинейных парных эволюционных уравнений. Приведены условия ограниченности решений двухфазовой задачи нагрева.Предложен метод построения проекторов для эволюционной системы,порожденной системой микроволнового нагрева.
Доказано существованиепроектора из множества аменабельных решений эволюционных уравненийна некоторое подмножество конечномерного пространства.Описан модифицированный метод вложения Такенса-Робинсона с помощью которого получены численные результаты по аппроксимации аттрактора для одномерной задачи нагрева.105Литература1. Бабин А. В., Вишик М. И. Аттракторы Эволюционных Уравнений. –М.: Наукa, 1989. – 293 с.2. Березанский Ю.
М. Разложение по Собственным Функциям Самосопряженных Операторов. – Киев, Наукова думка, 1965. – 800 c.3. Блягоз З. У., Леонов Г. А. Частотные критерии устойчивости в большом нелинейных систем // Вестник ЛГУ. – 1978. – № 13, – C. 18–23.4. Брусин В. А. Уравнения Лурье в гильбертовом пространстве и их разрешимость // Прикл.
мат. и механика. – 1976. – Том 40, № 5. – С. 947–955.5. Буркин И. М., Якубович В. А. Частотные условия существования двухпочти периодических решений у нелинейной системы автоматическогорегулирования // Сибирск. математ. журн. – 1975. – Том 16, № 5. –С. 916–924.6. Бутковский А. Г. Методы управления системами с распределеннымипараметрами. – М.: Наукa, 1975.
– 568 с.7. Демидович Б. П. Лекции по Математической Теории Устойчивости. –М.: Наука, 1967. – 472 с.8. Ильяшенко Ю. С., Вейгу Ли Нелокальные бифуркации. – М.: МЦНМО,1999. – 416 с.1069. Ладыженская О. А. Об оценках фрактальной размерности и числаопределяющих мод для инвариантных множеств динамических систем// Зап. научн. сем. ЛОМИ. – 1987.
– Том 163. – С. 105–129.10. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные иКвазилинейные Уравнения Параболического Типа. – М.: Наука, 1967.– 736 с.11. Ландау Л., Лифшиц Е. Электродинамика Сплошных Сред. – М.: Наука, 1982. – 620 с.12. Леонов Г. А. Об ограниченности траекторий фазовых систем // Сибирск. математ. журн.
– 1974. – Том 15, № 3. – С. 687–692.13. Леонов Г. А. Фазовая синхронизация. Теория и приложения // Автомат. и телемех. – 2006. – Том 67, № 10. – С. 47–85.14. Леонов Г. А., Чурилов А. Н. Частотные условия ограниченности решений фазовых систем // Динамика систем. – 1976. – № 10. – С. 3–20.15. Лионс Ж. Л., Мадженес Э. Неоднородные Граничные Задачи и ихПриложения. – М.: Мир, 1971. – 372 с.16. Лихтарников А.
Л. Критерии абсолютной устойчивости нелинейныхоператорных уравнений // Изв. АН СССР. Сер. матем. – 1977. –Том 41, № 5. – С. 1064–1083.17. Лихтарников А. Л., Якубович В. А. Частотная теорема для уравненийэволюционного типа // Сибирск. математ. журн. – 1976. – Том 17,№ 5. – С. 1069–1085.10718.
Лихтарников А. Л., Якубович В. А. Дихотомия и абсолютная устойчивость неопределенных нелинейных систем в гильбертовых пространствах // Алгебра и анализ. – 1997. – Том 9, № 6. – С. 132–155.19. Нитецки З. Введение в дифференциальную динамику. – М.: Мир, 1975.– 304 с.20. Панков А. А. Ограниченные и почти периодические решения нелинейных дифференциально операторных уравнений. – Киев, Наукова думка, 1985. – 180 с.21. Попов С. А. Метод положительно инвариантных конусов для эволюционных систем с кубическими и периодическими нелинейностями //Дифференциальные уравнения и процессы управления. – 2014.
– № 3. –С. 1–21.22. Райтманн Ф., Юмагузин Н. Ю. Асимптотическое поведение решенийдвухфазовой задачи нагрева в одномерном случае // Вестник СанктПетербургского Университета. – 2012. – Сер. 1, Вып. 3. – С. 59–62.23. Целуйко Д. С. Применение метода Такенса для исследования аттрактора коцикла, порожденного двухфазной системой нагрева // Дипл.раб. – СПбГУ. – 2014.24.
Хенри Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений. – М.: Мир, 1985. – 376 с.25. Чуешов И. Д. Введение в теорию бесконечномерных диссипативныхсистем. – Харьков, Акта, 1999. – 433 с.10826. Якубович В. А. Частотная теорема в теории управления // Сибирск.математ. журн. – 1976.
– Том 14, № 2. – C. 384–420.27. Brézis H. Problemes unilateraux J. Math. Pures Appl. – 1972. – Vol. 51. –Pp. 1–168.28. Chafee N., Infante E. F. A bifurcation problem for nonlinear parabolicequations // J. Appl. Anal. – 1974. – Vol. 4. – Pp. 17–37.29. Chepyzhov V. V., Vishik M. I. Attractors for equations of mathematicalphysics. – American Mathematical Society Providence, RI, 2002. – Vol.
49.– 363 p.30. Datko R. Extending a theorem of A. M. Liapunov to Hilbert spaces // J.Math. Anal. Appl. – 1970. – Vol. 32. – Pp. 610–616.31. Duvant G., Lions J. L. Inequalities in Mechanics and Physics. – Berlin,Springer-Verlag, 1976. – 400 p.32. Eden A., Michaux B., Rakotoson J. M. Doubly Nonlinear Parabolic-TypeEquations as Dynamical Systems // Journal of Dynamics and DifferentialEquations. – 1991. – Vol.
3, № 1. – Pp. 87 – 130.33. Ermakov I. N., Kalinin Y. N., Reitmann V. Determining modes and almostperiodic integrals for cocycles // J. Differential Equations. – 2011. – Vol. 47,№ 13. – Pp. 1837 – 1852.34. Foias C., Sell G. R., Temam R. Inertial manifolds for nonlinear evolutionequations // J. Differential Equations. – 1988. – Vol. 73.
– Pp. 309 – 353.10935. Glassey R., Yin H.-M. On Maxwell’s equations with a temperature effect// Communications in Mathematical Physics. – 1997. – Vol. 194, № 2. –Pp. 343 – 358.36. Guo B. Z. On the boundary control of a hybrid system with variablecoefficients // Journal of Optimization Theory and Applications. – 2002. –Vol. 114, № 2. – Pp. 373 – 395.37. Kalinin Yu.
N., Reitmann V. Almost periodic solutions in controlsystems with monotone nonlinearities // Differential equations and controlprocesses. – 2012. – № 4. – Pp. 40–68.38. Kalinichenko D., Reitmann V., Skopinov S. Asymptotic behaviour ofsolutions to a coupled system of Maxwell’s equations and a controlleddifferential inclusion // Proc. 9AIMS Conference on Dynamical Systems,Differential Equations and Applications. – 2012. – Orlando, Florida, USA.39. Ladyzhenskaya O. A. Attractors for Semi-groups and Evolution Equations.– Cambridge, Cambridge University Press, 1991.
– 88 p.40. Leonov G. A., Reitmann V., Smirnova V. B. Non-Local Methods forPendulum-like Feedback Systems. – Stuttgart, Teubner, 1992. – 242 p.41. Louis J., Wexler D. The Hilbert space regulator problem and operatorRiccati equation under stabilizability // Annales de la Societe Scientifiquede Bruxelles. – 1991. – Vol. 105. – Pp. 137 – 165.42. Maitre E., Witomski P.
A pseudo-monotonicity adapted to doublynonlinear elliptic–parabolic equations // Nonlinear Anal. – 2002. – Vol. 50.– Pp. 223 – 250.11043. Manoranjan R. V., Yin H.-M. On two-phase Stefan problem arising from amicrowave heating process // Discrete and Continuous Dynamical Systems.– 2006. – Vol. 15. – P. 1155 – 1168.44. Noldus E. New direct Lyapunov-type method for studying synchronizationproblems // Automatika.
– 1977. – Vol. 13, № 2. – Pp. 139–151.45. + Popov S. A. Method of positively invariant cones for evolution systemswith cubic and periodic nonlinearities // Differential Equations. – 2015. –Vol. 50, № 13. – Pp. 1739–1751.46. Popov S. A. Taken’s time delay embedding theorem for dynamicalsystems on infinite-dimensional manifolds // Book of abstracts of G-RISCInternational Student’s Conference “Science and Progress 2011”.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
