Глава 17. Атом в окружении заряженных частиц (1121337), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

.

В пространстве импульсов удобно перейти к сферической системе координат. С учётом изотропии интегрирование по угловым переменным сводится к умножению на 4π:

.

Электрон в нашей модели еще не утратил окончательно связи с конкретным атомом. Следовательно, с ним связана область, равная удельному объему иона, который получился из возбуждённого атома:

Подставляя (6.3) в (6.2), получим результат интегрирования по пространственным переменным:

.

Интеграл в правой части выражается через гамма–функцию. Напомним известную в математике формулу

.

В данном случае ν = 2 и α = (2m_eT)^–1. Следовательно,

.

Учитывая, что

,

окончательно получим следующую формулу:

.

Изначально мы опирались на формулу Больцмана для невырожденных уровней. Для учёта вырождения необходимо каждую из трёх величин: N_e, N_i и N₀ — разделить на её статистический вес. Это выполняется с помощью следующих замен:

.

Здесь g_i и g₀, — статистические веса иона и атома в основном состоянии, а статистический вес электрона полагаем равным двум — числу ориентаций его спина. Произведя замены, получим формулу Сахá:

.

Перепишем её, выразив множитель в скобках через длину волны де Бройля (1.2.8):

Здесь _D=λ_D/(π^1/2). Произведение определяет число квантовых состояний, связанных с пространственным перемещением свободных электронов. Возможны два случая:

1. Это означает, что длина волнового пакета, значительно меньше среднего расстояния между электронами. В такой среде новые свободные электроны легко находят своё место, и степень ионизации газа может оказаться значительно больше экспоненты в правой части (6.2).

2. В этом случае волновые пакеты электронов перекрываются, и вероятность найти вакансию для нового электрона становится очень малой. В результате отношение определяется только экспоненциальным множителем.

Присутствие параметра отличает формулу Сахá от формулы Больцмана. Возможна заметная степень ионизации химического элемента при сравнительно низких температурах. Например, водород заметно ионизован в атмосферах звёзд класса А0, хотя температура там почти в пятнадцать раз меньше его потенциала ионизации.

17.7 Сумма по состояниям

Приведём без вывода точное выражение для формулы Сахá, полученное методами химической термодинамики:

.

В знаменателе левой части стоит N_a — полная плотность числа атомов, просуммированная по всем его возможным состояниям. Величина N_i теперь равна сумме числа ионов во всех состояниях. В правой части статистические веса иона и атома в определённом (основном) состоянии заменены статистическими суммами:

Здесь индекс k нумерует все энергетические уровни иона или атома.

Расходимость суммы по состояниям

Как мы уже знаем, уровни возбуждённых состояний сходятся к пределу ионизации. Примем за точку отсчёта энергию основного состояния. С такой точкой отсчёта энергия k–го уровня атома водорода равна

.

Если температура низка в сравнении с потенциалом ионизации, то слагаемые суммы (7.2) быстро уменьшаются по величине и после немногих первых членов становятся пренебрежимо малыми. Может возникнуть впечатление, что сумма по состояниям сходится. Но это не так, в чём легко убедиться, заменив в (7.2) все энергии уровней на потенциал ионизации. Сумма ряда, если она существует, от такой операции может только уменьшиться. Следовательно, справедливо неравенство

,

из которого вытекает расходимость суммы по состояниям.

Этот результат справедлив для всех ионов и атомов, так как их возбуждённые состояния вблизи границы ионизации хорошо описываются в модели атома водорода. Причина расходимости ряда (7.2) ясна из предыдущего материала. Бесконечное множество уровней существует только в уединённом атоме, следовательно, сумма (7.2) содержит только конечное число слагаемых.

По существу рассматриваемый вопрос выходит за рамки формальной термодинамики, и его решение требует строгого определения того, какой электрон считать свободным и какой — связанным. Это определение в свою очередь зависит от конкретной постановки задачи, для которой рассчитывается ионизационное равновесие. Так, в задаче о проводимости плазмы свободными надо считать электроны, способные проводить электрический ток.

В задаче об излучении плазмы связанными следует считать электроны, испускающие дискретные линии, а свободными — электроны, дающие непрерывный спектр. Если электрон находится на одном из верхних возбуждённых уровней, то у него есть определенная вероятность либо «свалиться» на какой-нибудь из нижних уровней с испусканием кванта дискретного спектра, либо подвергнуться ионизации, в результате которой он окажется свободным и сможет испустить квант непрерывного спектра. Наиболее последовательным представляется решение вопроса методами физической кинетики. Находятся вероятности переходов между дискретными уровнями, вероятность излучения с переходом на все нижележащие уровни и вероятность ионизации с учетом всех возможных процессов. К ним относятся удары электронов и быстрых ионов, а также ионизация тепловым и резонансным излучением, воздействие флуктуирующих микрополей. С учетом всех перечисленных процессов вычисляются заселенности высших возбужденных уровней. В расчет входят величины, характеризующие уже не равновесие, а вероятности различных процессов. В последующих главах мы рассмотрим эти процессы, а также покажем сравнительно простой способ вычисления всех необходимых вероятностей.

Наибольшей вероятностью обладают переходы между соседними уровнями (при которых как главное, так и ази­мутальное квантовые числа меняются на единицу). Поэтому основное значение имеет процесс, который можно назвать диффузией электрона по верхним возбужденным уровням. Ионизация быстро движущихся атомов может происходить и под действием постоянного магнитного поля. В сопутствующей системе координат на атом действует электрическое поле. Если это поле создает на длине, равной радиусу электронной орбиты, разность потенциалов, достаточную для ионизации, то постоянное магнитное поле может оторвать электрон с высокого возбужденного уровня (лоренцева ионизация).

Итак, для расчётов состояния газа требуется знать структуру ионов и атомов, а также характер их взаимодействия друг с другом и с полем излучения.

13

Характеристики

Список файлов лекций