Глава 17. Атом в окружении заряженных частиц (1121337), страница 2
Текст из файла (страница 2)
По предположению, они находятся в тепловом равновесии. Следовательно, их распределение по координате описывается формулой Больцмана:
Посредством Ni,e(x) мы обозначили плотность числа ионов и электронов как функцию координаты, а N, как и выше — некоторое «фоновое», усреднённое значение. Подставляя выражения для Ni(x) и Ne(x) в уравнение Пуассона, получим
.
Однако в таком нелинейном виде пользоваться уравнением нельзя. Вспомним, что распределение Больцмана даёт усреднённое по времени значение концентрации. Если φ — соответствующее среднее значение потенциала, то в правой части (4.3) средние значения функций Ni(x) и Ne(x) оказывается заменённым функцией среднего значения. Такая операция допустима исключительно для линейных функций, следовательно, уравнение (4.3) приобретает смысл только после линеаризации. Другими словами, оно справедливо только в случае малого по модулю отношения eφ/T. Раскладывая экспоненты в ряд с точностью до линейных слагаемых, приходим к уравнению
,
в котором введено обозначение
.
В случае плоской симметрии уравнение (4.4) имеет вид
.
Его решением является линейная комбинация
Из требования конечности потенциала определяем константу С2:
,
а из граничного условия (4.2) — константу С1:
.
Окончательно получаем:
.
В рассматриваемой модели длина экранирования равна
.
Она в 
раз меньше, чем (4.1). Различие обусловлено тем, что в упрощённой модели принималось во внимание экранирование только электронами, а в (4.4) учтены также ионы.
Перейдём к наиболее полной модели, в которой учитывается трёхмерное распределение заряда, а также присутствие произвольного числа компонент плазмы. Произвольно выберем некоторую частицу, заряд которой обозначим q, а её положение примем в качестве центра сферической системы координат. Условие электронейтральности плазмы для «фоновых» значений плотности в общем случае может быть записано в форме
,
где α нумерует компоненты плазмы. Параметр Zα равен заряду частиц сорта α в единицах элементарного заряда e. Например, для электрона 
. В новых обозначениях уравнение Пуассона (4.3) принимает вид
.
После линеаризации с учётом (4.6) снова получаем уравнение (4.4) для самосогласованного поля, но с другим выражением для κ:
.
Решение уравнения (4.4) в случае сферической симметрии выполняется методом, аналогичным тому, который был применён в разделе (16.5). Для функции
уравнение самосогласованного поля приводится к виду:
.
Его убывающее на бесконечности решение равно
.
Константа C теперь определяется из условия, что потенциал вблизи частицы, имеющей заряд q, должен стремиться к кулоновскому:
.
Для электрона
,
а для иона
.
Итак, приходим к окончательному выражению
Последняя формула даёт математическое описание «шубы» размера lD, состоящей из частиц с противоположным зарядом и схематически изображённой на рис.17.4.1. На расстояниях меньше дебаевского радиуса поле каждой частицы определяется кулоновским потенциалом, а при r > lD оно практически полностью экранируется «шубой».
Теперь мы можем дать более точное определение плазмы как полностью ионизованного газа, рассматриваемого в масштабах, значительно бόльших дебаевского радиуса и на временах, более длительных, чем обратная ленгмюровская частота.
17.5 Снижение потенциала ионизации
Электрон, находящийся в основном состоянии, несомненно, принадлежит своему атому. Но по мере перехода на всё более возбуждённые состояния он удаляется от ядра, и на него начинают влиять соседние заряженные частицы. Электроны, окружающие атом, всё сильнее экранируют поле ядра, и когда радиус электронной орбиты превышает масштаб экранирования, сила притяжения атомного электрона к ядру начинает падать с расстоянием по экспоненциальному закону (4.9).
Согласно разделу (16.4), бесконечное число уровней вблизи границы ионизации существует только в том случае, если потенциал падает с расстоянием не быстрее, чем 1/r2. В поле (4.9) при r > lD связанные состояния не реализуются, и электрон становится свободным при энергии возбуждения, меньшей потенциала ионизации изолированного атома. Происходит как бы снижение потенциала ионизации. Главное квантовое число последнего возбуждённого состояния можно оценить из условия
или
.
В объектах таблицы 17.5.1 штарковское уширение уровней приводит к большему сдвигу границы серии, чем понижение потенциала ионизации: nSt<nD. Оценим плотность газа, при которой оба эффекта дают один и тот же результат. Из условия
следует уравнение
Его решением является плотность числа частиц
.
Столь большая величина Nequal реализуется только для весьма ограниченного круга объектов.
Численные оценки
Выполним численные оценки описанных выше параметров плазмы для нескольких конкретных объектов: установки лазерного термоядерного синтеза (ЛТС), управляемого термоядерного синтеза (УТС) с магнитным удержанием плазмы, солнечной короны (СК) и солнечного ветра (СВ).
Таблица 17.5.1.
| ЛТС | УТС | СК | СВ | |
| TэВ | 104 | 104 | 100 | 10 |
| Ne(см–3) | 1022 | 1014 | 108 | 10 |
| nSt |
| 30 | 180 | 1500 |
| nD | 10 | 103 | 104 | 3·105 |
| ω0, 1/с | 6·1015 | 6·1011 | 6·108 | 2·105 |
| 2π/ω0, с | 10–15 | 10–11 | 10–8 | 3·10–5 |
| τ, с | 10–9 | 1 | 103 | 8·104÷3·105 |
| lD, см | 10–6 | 10–2 | 1 | 103 |
| L, см | 10–2 | 102 | 1010 | 109 |
В последней строке таблицы приведены пространственные масштабы систем, а τ — характерное время длительности процессов. Хорошо видно, что во всех случаях плазменная частота настолько велика, что флуктуации заряда за промежуток времени τ многократно сменяют знак и, тем самым, приводят к «фоновому» значению плотности заряда. Сравнение двух последних строк показывает, что в перечисленных объектах представление об электронейтральной плазме соответствует действительности.
17.6 Ионизационное равновесие
В условиях термодинамического равновесия степень ионизации газа однозначно определяется его температурой и плотностью. Построение теории, необходимой для вывода уравнений ионизации и диссоциации, было проведено химиком ван’т Хоффом. В 1919 году Эггертом эти идеи были применены к веществу звёздных недр, а в 1920 году Сахá установил, что формула для равновесной ионизации даёт ключ к пониманию спектральной последовательности звёзд. Исключительная важность этой работы Сахá для астрономии привела к тому, что уравнение носит его имя. Последовательный вывод формулы Сахá проводится методами химической термодинамики и выходит за рамки настоящего курса. Здесь мы покажем, как её можно получить путём не вполне строгих, но физически обоснованных рассуждений.
Равновесные населённости невырожденных уровней Nn и N0 описываются формулой Больцмана:
.
Рассмотрим электрон, который переходит из сильно возбужденного уровня в континуум, где он обладает энергией E. Распространим формулу Больцмана на непрерывный спектр:
В левую часть входит элемент объема в фазовом пространстве, введённый в формуле (1.2.3) первой главы. Выпишем его ещё раз:
.
Подставив (1.2.3) в (6.1), получим распределение свободных электронов по импульсам:
.
Проинтегрируем это выражение по импульсам и координатам:
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
