l9 (1111279)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

15.04.03Потенциальные, соленоидальные игармонические поля1. Потенциальное полеПусть есть две точки А и В.BAПусть F = ( P, Q, R) – поле.Поле называется потенциальным,если выполняется одно из условий:ρ1) rot F = 0ρ2) ∃U : grad U = F . Если этовыполнено, то U называетсяпотенциалом поля.ρ c ⋅ rρρρF = ρ 3 , где r = ( x, y, z ); | r |= x 2 + y 2 + z 2 – гравитационное поле является|r |ρcпотенциальным: U = ρ ⇒ grad U = F .|r |ρρρρ ρПоле F называется центральным, если F = f (| r |) ⋅ r .

Отсюда следует, что Fпотенциально:ijkρ∂∂∂=rot F = det ∂x∂y∂z  f (| rρ |) x f (| rρ |) y f (| rρ |) z  ∂ρρ ∂ρρ  ∂ρρ ∂∂∂f (| r |) z −f (| r |) y , f (| r |) x −f (| r |) z , f (| r |) y −f (| r |) x  .= ∂z∂x∂y  ∂x  ∂z ∂yρρρ yρ z∂∂f (| r |) z −f (| r |) y = z ⋅ f ′(| r |) ρ − y ⋅ f ′(| r |) ρ = 0 .|r ||r |∂y∂zρСледовательно, rot F = 0 и выполняется первое из условий потенциальностиρρ ρполя. Поэтому любое поле вида F = f (| r |) ⋅ r – потенциальное, значит, можнонайти его потенциал.ρРассмотрим функцию F (t ) = ∫ t ⋅ f (t )dt .

Докажем, что U = F (| r |) :При этом,ρ xρρ∂U∂U ρ=| r | ⋅ f (| r |) ρ = f (| r |) ⋅ x . Аналогично получим, что= f (| r |) ⋅ x и∂x|r |∂yρ∂U= f (| r |) ⋅ z . Следовательно, всякое центральное поле – потенциально.∂z2. Соленоидальное полеρПоле F = ( P, Q, R) – соленоидальное, если его дивергенция равна нулю:ρ ∂P ∂Q ∂Rdiv F =++= 0.∂x ∂y ∂zПо формуле Гаусса–Остроградского:ρρFdS=divFdxdydz = 0 ⇒ Поток соленоидального поля через любую∫∫∫∫∫SвнешнVповерхность равен нулю. Соленоидальные поля характерны для движенияпотоков жидкостей и газов.ρFS2Поток через боковую поверхностьρSбок всегда равен нулю, так как Fнаправлен по касательной к этойповерхности.Поток через S1 равен потоку черезS2 с обратным знаком – «скольковошло, столько вышло».S1ρУтверждение: Если поле F –соленоидальное, то оно являетсяρρρρρротором поля F1 , то есть если div F = 0 , то F = rot F1 , где F1 – векторныйρρпотенциал. Поэтому div(rot F1 ) = 0 ∀F1 . Докажем это:ρF1 = ( P1 , Q1 , R1 ) .Sбок iρ∂rot F1 = det ∂xP 1j∂∂yQ1k ∂   ∂R1 ∂Q1 ∂P1 ∂R1 ∂Q1 ∂P1 ,,,−−−=∂y ∂x ∂x∂z   ∂y∂z ∂zR1 ρ∂  ∂R ∂Q  ∂  ∂P ∂R  ∂  ∂Q ∂P div(rot F1 ) =  1 − 1  +  1 − 1  +  1 − 1  =∂y ∂x  ∂z  ∂x∂z  ∂y  ∂z∂x  ∂y∂ 2 R1 ∂ 2 Q1 ∂ 2 P1 ∂ 2 R1 ∂ 2 Q1 ∂ 2 P1≡ 0.−+−+−∂y∂x ∂z∂x ∂z∂y ∂x∂y ∂x∂z ∂y∂zρρДокажем также, что rot(grad F1 ) = 0 = (0, 0, 0) := i ∂U ∂U ∂U  ∂ ⇒ rot(grad U ) = det,,∀U : grad U =  ∂x ∂y ∂z  ∂x ∂U ∂xj∂∂y∂U∂yk ∂ =∂z ∂U ∂z  222222  ρ∂ U ∂ U ∂ U ∂ U ∂ U ∂ U=−−−≡ 0 .

Доказано.,, ∂y∂z ∂z∂y 1∂x4∂z 2 4∂z3∂x ∂x∂y ∂y∂x 1 44 2 4 43 1 4 2 4 3000ρρ∫∫ FdS = ∫∫∫ div FdxdydzSвнешVРассчитаем площадь поверхности сферы:Пусть дана сфера радиуса ε с центром в точке ( x0 , y 0 , z 0 ) .ε( x0 , y 0 , z 0 )Пол теореме о среднем:ρ∫∫ FdS =Sвнеш=ρρdivFdxdydz=|V|⋅divFx = x1∫∫∫Vy = y1z = z1Перейдем к пределу:ρ FdS  ∫∫ρV.div F ( x0 , y0 , z0 ) = limε→0  4 πε3  3Это выражение можно рассматривать, как определение дивергенции. Из неговидно, что дивергенция не зависит от системы координат, в которых решаетсязадача.Дивергенция – это интенсивность потока поля. Аналогично,ρротор – завихренность поля F . В некоторых учебниках роторназывается вихрь.Ротор является инвариантом относительно системыкоординат.ρrot FρF3.

Гармоническое полеГармоническим называется поле, для которого и ротор и дивергенция равнынулю.ρρrot F = 0 ∂U ∂U ∂U  и,,⇒ F = grad U = ρdiv F = 0 ∂x ∂y ∂z div(grad U ) =∂ 2U(∂x) 2+∂ 2U(∂y ) 2+∂ 2U(∂z ) 2= 0.Это выражение – уравнение Лапласа. Его решением является гармоническаяфункция, поэтому поле, обладающее такими свойствами, называетсягармоническим.ПРИМЕР:В качестве примера рассмотрим гравитационное поле, которое являетсяединственным центральным полем, одновременно имеющим свойствагармонического.Докажем, что всякое центральное гармоническое поле – гравитационное инаоборот.ρρρ ρ1. F = f (| r |) ⋅ r , rot F = 0 . Это условие проверено выше.ρ2.

div F = 0 . Используем это условие:ρρ∂t xϖϖϖ= .F = ( f (| r |) x, f (| r |) y, f (| r |) z ) . Пусть | r |= t , тогда∂x tρx2y2z2div F = f ′(t )+ f (t ) + f ′(t )+ f (t ) + f ′(t )+ f (t ) =ttt 6 44 =7t 24 48  2 x + y2 + z2 = f ′(t ) + 3 f (t ) = t ⋅ f ′(t ) + 3 f (t ) = 0.tОтсюда получаем:f ′(t )3= − . Интегрируя обе части по t, получим:f (t )tln f (t ) = −3 ln t + ln C ,ρCϖ. Отсюда, возвращаясь к | r | , получим, что f (| r |) = ϖ 3 .t|r |ρρ C ⋅ rρρ ρСледовательно, так как F = f (| r |) ⋅ r , окончательно получаем, что F = ρ 3 , а|r |это по определению – гравитационное поле.f (t ) =C3.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций