l6 (1111268)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

25.03.03Площадь поверхностиЕсли определять площадь поверхности объемной фигуры по аналогии с плоской поверхностью, как точная нижняя грань суммы площадей граней описанногомногогранника, то полученный результат будет неверным.

Докажем это:Пусть дан цилиндр с радиусом r и высотой h. По известнойформуле площадь его боковой поверхности равна:S = 2πrhНайдем теперь площадь цилиндра, как точную нижнююгрань площадь описанного многогранника.Разобьем цилиндр на m дисков, каждый диск – на nтреугольников со стороной а (см. рис.). Их суммарная площадьбудет равна 2nmS ∆ , а площадь цилиндра равна:S ц = lim 2nmS ∆m →∞n →∞Из треугольника на рисунке →видно, чтоaππ= r sin ⇒ a = 2r sinnn22aπ= r sin , получим2nb 2 − 2rb + r 2 sin 2aТак как (2r − b) ⋅ b =   , значит, поскольку2πππ= 0 и b = r ± r cos ⇒ b = r − r cos (т.к.

b < r ).nnn2πHh =   + r 2 1 − cos nm2и221π Hπ2S ∆ = ah = 2r sin  + r 1 − cos  .2n m1 4 4 2 4 n4 3= 4 sin 4π2n?рπНеобходимо проверить, что 2πrH = lim 2mr nsinH 2 + r 2 4m 2 sin 4.n ,m→∞n2n123→π12πH. Отсюда получим, выбирая m = n2:Это равно: lim 2πrm   + r 2 4 sin 4n , m→∞2nmрlim 2πr H 2 + r 2 4n 4 sin 4≠ 2πrH . Этот пример называется сапог Шварца.2n1 4 2 43n , m →∞→π216Поэтому для определения площади используют следующую модель. Пусть:f ( x, y ),∂f ∂f, ∈ C ( D) .∂x ∂yФункция f(x,y)дифференцируема в любой точкеиз D, следовательно, в любойточке S существует касательнаяплоскость.z=f(x,y)SDiТеперь разобьем компакт D испроектируем разбиение на S.

В iм элементе разбиения возьмемDточку M i (ξ i , ηi ) и построим в нейкасательную плоскость. Теперьспроектируем i-й элемент Diкомпакта D на эту плоскость. Получим плоскую область Si. Площадь Sопределяется, как S = lim ∑ S i , если существует интегральная суммаd (T )→0ilim I (T ) = S , где I зависит от разбиения T (см.

рис.).d (T )→0ρn = (n1 , n2 , n3 ) – нормальный вектор, ni – косинусы углов наклонаэтого вектора к осям координат:zγSiρnn1 = cosα, n2 = cosβ, n3 = cosγ .y MiМежду Di и Si существуетследующая связь:Di = S i ⋅ cosγ ,где γ – угол наклона нормали к оси z.Отсюда получим:DixНормаль имеет следующие координаты:2Si =Di.| cosγ |ρn=± ∂f ∂f ; ;−1 ∂x ∂y2 ∂f   ∂f   +   ∂x   ∂y 2.± в этом выражении появляется из-за того, что нормаль может иметь два противоположных направления – «вверх» и «вниз», поэтому для определенности рассматриваются двухсторонние поверхности.Определение: двухсторонней поверхностью называют такую поверхность, вкаждой точке которой нормаль определена однозначно.При движении по любой кривой на этойповерхности нормаль к поверхностиопределяется однозначно.ρn+ПРИМЕР:Односторонняя поверхность – лентаМебиуса:Для определенности вρрасчетах будем использовать n+ .Si =Di,cos γ1cos γ =2 ∂f  ∂f 1 +   +   ∂x  ∂y ⇒ S = ∑ Si = ∑ii⇒2x = ξ i точка My = ηi 2222 ∂f  ∂f  ∂f  ∂f 1 +   +   ⋅ Di  → ∫∫ 1 +   +   dxdyd (T )→0 ∂x  ∂x  ∂y  ∂y DПлощадь поверхности, заданной уравнением z = f ( x, y ) вычисляется поформуле:S = ∫∫D22 ∂f  ∂f 1 +   +   dxdy ∂x  ∂y (1)В общем случае, площадь поверхности определяется в параметрическом виде:3 x = x(u , v)S =  y = y (u , v) z = z (u , v)zρnУравнение нормали.ρe1yОбозначим ρ  ∂x ∂y ∂z e1 =  ∂u , ∂u , ∂u  ρ  ∂x ∂y ∂z e2 =  ∂v , ∂v , ∂v ρ ρ ρ ρn ⊥ e1 ; n ⊥ e2.ρe2v=constu=constxЗафиксируемпеременную v.

Тогда x, y, z – функции, зависящие от и, и задающие наповерхности S координатную линию. Аналогично, фиксируя u, получим другуюкоординатную линию на поверхности. В результате последовательногофиксирования v и u получим координатную сетку на S.ρ ρρ ± (e1 × e2 )(2)n= ρ ρ| e1 × e2 |ρ ρЕсли e1 × e2 = 0 , то поверхность S – вырождена.Перепишем уравнение (1), учитывая (2):ρ ρS = ∫∫ e1 × e2 dudv1 4 2 4 3D Дифференциалповерхности =dSρ ρМодуль векторного произведения e1 × e2 можно представить так:ρ ρρ ρρ ρe1 × e2 = e1 ⋅ e2 ⋅ sin γ = e1 ⋅ e2 ⋅ 1 − cos 2 γ =(ρ ρρ ρ= e12 e22 − e12 e22 cos γ)ρ ρρρ= e12 e22 − (e1e2 )2ρ ρПусть z = f ( x, y ) и x = u .

Тогда уравнения для e1 и e2 будут выглядеть так:42ρ ∂f e1 = 1, 0, ∂x ρ ρи e1 × e2 =∂f ρ e2 =  0, 1, ∂x 22 ∂f   ∂f   ∂f ∂f 1 +  ⋅ 1 +  −  ∂x   ∂y   ∂x ∂y 2 КАК ?!!=22 ∂f  ∂f = 1 +   +   . ∂x  ∂y ПРИМЕРЫ:1) Площадь боковой поверхности цилиндра. x = R cos u y = R sin ur = vzиyρe1 = (− R sin u, R cos u, 0)ρe2 = (0, 0, 1)HRТогда:eρ12 = R 2ρ ρ⇒ (e1 , e2 ) = 0ρe22 = 1x2πH00S=∫ du ∫ Rdv = 2πRH .2) Площадь сферы. x = R sin ϕ cos θ y = R sin ϕ sin θ , где z = R cos ϕzy0 ≤ ϕ ≤ π 0 ≤ θ ≤ 2π ,ρe1 × e2 = R 2 sin ϕ , поэтомуRxS=2ππ0022∫ dθ∫ R sin ϕdϕ == 2π ⋅ 2 R = 4πR 2 .5Поверхностные интегралыПоверхностные интегралы первого рода:ρ ρ∫∫ f ( x, y, z )dS = ∫∫ f | e1 × e2 | dudv .1D 4 44 2 4 4 43SЕсли поверхность заданапараметрически x = x(u , v)S =  y = y (u , v) – невырожденная поверхность. z = z (u , v)Если f = 1 ⇒ ∫∫ dS = S .SПоверхностные интегралы второго рода:Пусть есть вектор функция F ( P, Q, R ) .

Выберем положительную нормаль:ρ ρe1 × e2n+ = ρ ρ , тогдаe1 × e2ρρρ ρρρ ρ ρ ∫∫ FdS = ∫∫  1F ⋅4[e21 ×4e32 ]dudv = ∫∫ < F , e1 , e2 >dudv , гдеS+S  смешанное D произведение Pρρ ρ∂x< F , e1 , e2 >=∂u∂x∂vЕсли S такова, что z = f ( x, y ) , тогда:x = uP⇒ 1y = v z = f (u , v )0Q01получаем:Q∂y∂u∂y∂vR∂z.∂u∂z∂vR∂f∂f∂f= −P−Q+ R . Таким образом,∂x∂x∂y∂f∂yρ∂f∂f ∫∫ FdS = ± ∫∫  R − P ∂x − Q ∂y dxdyS+DПРИМЕР:ρ ρF = r = ( x, y , z ) .Уравнение поверхности сферы: S = x 2 + y 2 + z 2 = R 2 .

Зададим сферическиекоординаты:6 x = R sin ϕ cos θ y = R sin ϕ sin θ . Тогда z = R sin ϕρ ρr∫∫ dS =SR sin ϕ cos θI = R cos ϕ cos θπ00∫ dθ∫ I dϕ , гдеR sin ϕ sin θ R cos θR cos ϕ sin θ − R sin ϕ =− R sin ϕ sin θ R sin ϕ cos θ[= R [sin ϕ sin2π0]= R 3 sin ϕ sin θ(sin 2 ϕ sin θ + cos 2 ϕ sin θ) + sin ϕ cos θ(sin 2 ϕ cos θ + cos 2 ϕ cos θ) =32]θ + sin ϕ cos 2 θ = R 3 sin ϕ .Следовательно, поверхностный интеграл запишется, как:ρ∫∫ r dS =S2ππ0033∫ dθ∫ R sin ϕdϕ = 4πR = 3VR .7.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций