l3 (1111261)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Лекция 3Интеграл Пуассона (интеграл вероятности)+∞I = ∫ e − x dx20Вычислим с помощью двойного интеграла.+∞I = ∫e− y2dy = lim ∫ e − x dx (по определению)2R → +∞ 00R+∞I = ∫ e − x dx , I = lim I ( R) , I 2 = lim I 2 ( R)2R → +∞0RRR → +∞( I ( R )) 2 = ∫ e − x dx ∫ e − y dy = ∫∫ e − x e − y dxdy = A( R ) , где D1–квадрат, D1 ⊂ D220{222D10D2 : ( x, y ) : x + y ≤ 2 R , x ≥ 0, y ≥ 0}e− x2 − y22dxdy > 0 ⇒2∫∫ e− x2 − y 2dxdy <D1∫∫ e− x2 − y 2dxdy =В(R)D2D1 ⊂ D2 ⊂ D322C(R)= ∫∫ e − x − y dxdyD3A(R)<B(R)<C(R)x = r cos ϕy = r sin ϕ π2  R2 π  e −r R  π2−r 2− x2 − y2 = 1 − e −Redxdy =B(R)=π =  ∫ dϕ  ∫ re dr  =  −∫∫0≤ϕ ≤ 0  0 2 2 0 4x2 + y 2 ≤2 R 22x≥0y ≥00≤r≤RA(R) ≤()π(1 − e ) → ( R → +∞) ≤ C ( R)44π−R2A(R) и C(R) имеют один предел при R → ∞ , т.к.

C ( R) = A( 2 R ) . Следовательно,∃ lim ( A( R)) = lim (C ( R)) =R →∞R →∞π4⇒ I2 =π4⇒I=π2Тройные интегралыИнтегрирование на компакте К∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydzKОпределение объема компакта:1⇒+∞∫e0− x2dx =π2Разобьем многогранник Pn , содержащий К, на пирамиды. Суммируя объемы пирамид,найдем объем этого многогранника. Тогда объем заключенного компактаV ( K ) = inf V ( Pn ), K ⊂ PnV(K) ≥ 0свойство: если V(K1 ∩ K2)=0, тогда V(K1 ∪ K2)= V ( K 1 ) + V ( K 2 )Следовательно, возможно только такое разбиение компакта, при котором объем границнулевой (по аналогии с двойным интегралом).

В этом случае разбиение трехмерногокомпакта осуществляется поверхностями с нулевым объемом (например, плоскостями):Т– разбиение компакта: K = K 1 ∪ K 2 ∪ ...K nдля ∀i, j : V ( K i ∩ K j ) = 0 .dT–диаметр разбиения: ( xi , y i , z i ) ∈ K i , i = 1,..., n )nS(T)= ∑ f ( xi , y i , z i )V ( K i )i =1∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydz =Klim ( S (T ))d (T ) → 0Все свойства для двойных интегралов справедливы для тройных интегралов(доказательства аналогичные). Физический смысл тройного интеграла заключается в том,что если плотность вещества задана функцией f, то масса вещества в определенномобъеме– это тройной интеграл функции f по этому объему.Вычисление тройных интеграловК– компакт-цилиндроидz2 ( x , y )by2 ( x )z1 ( x , y )ay1 ( x )∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydz = ∫∫ dxdy ∫ f ( x, y, z )dz = ∫ dx ∫KDz2 ( x, y )dy∫ f ( x, y, z )dzz1 ( x , y )Если область интегрирования К– прямоугольный параллелепипед, а функция представима ввиде произведения: f(x,y,z)=f1(x)f2(y)f3(z), тогда( x, y, z ) : a ≤ x ≤ bK = c ≤ y ≤ de ≤ z ≤ g2b∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydz = ∫ f ( x)dx ∫ f1aKgd2c( y )dy ∫ f 3 ( z )dzeЗамена переменныхАналогично двукратному интегралу, отображение должно быть взаимооднозначным и,следовательно, якобиан∂z  ∂x ∂y∂u  ∂u ∂u ∂x ∂y∂z I (u , v) = det ≠0∂∂∂vvv∂z  ∂x ∂y ∂w ∂w ∂w ∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydz = ∫∫∫ f ( x(u, v, w), y(u, v, w), z (u, v, w)) I dudvdwK'KПример 1: (цилиндрические координаты)x x = r cos ϕ y ⇒  y = r sin ϕzz = z( x, y , z ) → ( r , ϕ , z )I(r, ϕ ,z)=rПример 2: (сферические координаты)r≥00 ≤ Θ ≤ 2πФормулы связи:0≤ϕ ≤π2πVшара=πx2 + y2 + z2 ≤R2002πR∫∫∫ dxdydz = ∫ dΘ∫ dϕ ∫ r0 x = r sin ϕ cos Θ y = r sin ϕ sin Θ z = r cos ϕ2πI= r 2 sin ϕ (якобиан замены)R4sin ϕdr = ∫ dΘ ∫ sin ϕdϕ ∫ r 2 dr = πR 33000Пример 3:Плоская область D ∈ XOZ, вращаем ее вокруг оси Oz в цилиндрических координатах.3Объем тела вращения:2πV= ∫ dϕ ∫∫ rdzdr = 2π ∫∫ rdrdz0DDMz= ∫∫ rdrdz (статический момент инерции области В относительно оси Oz)DMz=S(D)rc, где rc – расстояние от центра тяжести D (плотность области D равна 1).V= 2πrc S ( D)Таким образом, объем тела вращения области D вокруг неподвижной оси z равенпроизведению S(D) на длину окружности, описанной центром тяжести области D.Пример 4: (тор)b>aVтора= 2πbπa 2 = 2π 2 a 2 b , где rc=b.4.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций