Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

15.04.03

Потенциальные, соленоидальные и

гармонические поля

1. Потенциальное поле

Пусть есть две точки А и В.

П усть – поле.

Поле называется потенциальным, если выполняется одно из условий:

1)

2) . Если это выполнено, то U называется потенциалом поля.

, где – гравитационное поле является потенциальным: .

Поле называется центральным, если Отсюда следует, что потенциально:

При этом, . Следовательно, и выполняется первое из условий потенциальности поля. Поэтому любое поле вида – потенциальное, значит, можно найти его потенциал.

Рассмотрим функцию . Докажем, что :

. Аналогично получим, что и . Следовательно, всякое центральное поле – потенциально.

2. Соленоидальное поле

Поле – соленоидальное, если его дивергенция равна нулю:

.

По формуле Гаусса–Остроградского:

Поток соленоидального поля через любую поверхность равен нулю. Соленоидальные поля характерны для движения потоков жидкостей и газов.

П оток через боковую поверхность S_бок всегда равен нулю, так как направлен по касательной к этой поверхности.

Поток через S₁ равен потоку через S₂ с обратным знаком – «сколько вошло, столько вышло».

Утверждение: Если поле – соленоидальное, то оно является ротором поля , то есть если , то , где – векторный потенциал. Поэтому . Докажем это:

.

,

Докажем также, что :

. Доказано.

Рассчитаем площадь поверхности сферы:

Пусть дана сфера радиуса ε с центром в точке .

П ол теореме о среднем:

Перейдем к пределу:

.

Э то выражение можно рассматривать, как определение дивергенции. Из него видно, что дивергенция не зависит от системы координат, в которых решается задача.

Дивергенция – это интенсивность потока поля. Аналогично, ротор – завихренность поля . В некоторых учебниках ротор называется вихрь.

Ротор является инвариантом относительно системы координат.

3. Гармоническое поле

Гармоническим называется поле, для которого и ротор и дивергенция равны нулю.

и

.

Это выражение – уравнение Лапласа. Его решением является гармоническая

функция, поэтому поле, обладающее такими свойствами, называется гармоническим.

ПРИМЕР:

В качестве примера рассмотрим гравитационное поле, которое является единственным центральным полем, одновременно имеющим свойства гармонического.

Докажем, что всякое центральное гармоническое поле – гравитационное и наоборот.

1. . Это условие проверено выше.

2. . Используем это условие:

. Пусть , тогда .

Отсюда получаем:

. Интегрируя обе части по t, получим:

,

. Отсюда, возвращаясь к , получим, что . Следовательно, так как , окончательно получаем, что , а это по определению – гравитационное поле.

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов лекций