l4 (1111264)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Лекция 4Криволинейные интегралы.Выделяют два типа интегралов: первого и второго рода.Рассмотрим криволинейный интеграл первого рода.Пусть требуется найти длину кривой на плоскости, определенной уравнением y=y(x).Как было доказано во втором семестре:y|L|=∫dlтак как y = y(x), тоdl = 1 + ( y ′( x)) 2 dxL y = y (t ), x = x(t )dl = ( x ′(t )) 2 + ( y ′(t )) 2 dtxКривая y=y(x) имеет конечную длину, если y ( x) ∈ C[a, b]Пример непрерывной кривой, не имеющей конечной длины:0, x = 0y=,где x ∈ [0,1]1 x sin x , x ≠ 0Кривая является синусоидой, заключенноймежду двумя прямыми y = x и y = − x .1Для функции x sin , x ≠ 0 условиеxнепрерывности y ′(x) в точке х=0нарушается.

Кривая, заданная1уравнением: y = x sin не имеет конечнойxдлины (доказать самостоятельно)Опр. По определению, криволинейным интегралом первого (I-го) рода на плоскостиназывается:a x = x(t )22=fdl∫L∫b f ( x(t ), y(t )) ( x′(t )) + ( y ′(t )) dt ,где L – кривая, заданная уравнениями  y = y(t ) .Докажем корректность определения:t = t (u )t (α ) = aСделаем замену:,где α ≤ u ≤ β иt ′(u ) ∈ c[a, b]t(β ) = b(x(t (u )))u/ = xt/ ⋅ t u/( y (t (u )))u/ = yt/ ⋅ t u/,где t u/ > 0 и dt = t u/ ⋅ du ,тогда xu/ = xt/ ⋅ t u/ ⇒ xt/ =xu/y u//,аналогичноиy=tt u/t u/22β xu/   y u/  /fdl=f(x(t(u)),y(t(u)))⋅+tdu=f ( x(t (u )), y (t (u ))) ⋅ ( xu/ ) 2 + ( y u/ ) 2 du ,∫L∫a∫ t/   t/  u u   u αКак видно из полученного выражения, определение не зависит от выбора параметра.bОпр.

Кривая ( K ) = ( AB) , заданнаяпараметрическими уравнениями x = ϕ (t ) иy = ψ (t ) называется гладкой, если функции ϕ иψ имеют непрерывные производные, необращающиеся одновременно в нуль.Опр. Кусочнонепрерывной (кусочногладкой)кривой называется кривая, которая являетсянепрерывной и состоит из нескольких гладкихкривых.Свойства кусочнонепрерывной кривой (без доказательства):10 ∫ = ∫ + ∫ + ∫ + ∫L20L1∫ (c1LL2L3L4f + c 2 g )dl = c1 ∫ f 1 dl + c 2 ∫ f 2 dl (свойство аддитивности)LLАналогично кривая L ⊂ ℜ 3 задается системой: x = x(t )это уравнение кусочнонеперывной кривойL :  y = y (t ) z = z (t )Кривую L будем называть кривой по пути АВ, т.е. началокривой в точке А и конец в точке В.LАВЗаметим, что криволинейный интеграл первого рода не завистит от того, в какомнаправлении мы интегрируем по прямой от A → B ,или от B → A .bОпр.

Интеграл ∫ f ( x, y, z )dL = ∫ f ( x(t ), y (t ), z (t )) ( x ′(t )) 2 + ( y ′(t )) 2 + ( z ′(t )) 2 dt называетсяLaкриволинейным интегралом первого рода по кривой в пространстве ℜ 3 .Криволинейные интегралы второго типа.Для начала, как и в случае криволинейных интегралов первого рода, интеграл второгорода будем рассматривать на плоскости (в ℜ 2 ).ρ ρ bКриволинейным интегралом второго рода называется ∫ Fdr : ∫ ( Px ′ + Qy ′)dt ,L+aρгде F = ( P, Q) и L+ = AB , dr = (dx, dy ) .Точки А и В имеют координатыА(x(a),y(a)) и B(x(b),y(b)) соответственно.L+ означает, что выбрано положительноенаправление движения по кривой, т.е.

тонаправление, при котором интеграл от А до В имеетположительное значение.ρОбозначим r = ( x, y ) - радиус вектор и x = x(t )L+ :  y = y (t )Работа по перемещению тела из точки А в точку Вρв поле F выражается интегралом:ρ ρA = ∫ FdrL+в этом и есть физический смысл интеграла.Докажем корректность определения:t (α ) = a,Делаем замену t=t(u) и t ( β ) = bxu/ / y u/, y t = / и P зависит от x,y, которые, соответственно, зависят от u, а значитt u/tuинтеграл можно представить в виде:βρ ρ β  xu/y u/  ///∫L Fdr = α∫  P t u/ + Q t u/ t u du = α∫ (Pxu + Qyu )du+xt/ =т.е. интеграл не зависит от выбора параметризации.Свойства:10 Является линейным по функции и аддитивным по множеству, т.е.ρ ρρ ρ ρρ ρρ ρρ ρρ ρ(F+G)dr=Fdr+Q∫∫∫ dr и ∫ Fdr = ∫ Fdr + ∫ FdrL+L+L1+ ∪ L+2L+L1+L+2А20ρ ρρ ρFdr=−F∫∫ drL+L+L-L+=ABL−ВL-=BAФизический смысл этого свойства заключается в следующем утверждении: работа сил вполе в одном направлении, равна работе сил со знаком минусв другом направленииСвязь между криволинейнымиинтегралами 1 и 2 рода.ВЗададим касательный вектор движения по прямой( xt/ , y t/ )ρ(dx, dy )e+ ==dl(dx) 2 + (dy ) 2ρρr ′ = ( xt/ , y t/ )exρρρe+ dl = r ′dt , r dt = dlρρFe+ = fАρ ρρρ ρρρ∫ Fdr = ∫ ( Fe+ ) r ′ dt = ∫ ( Fe+ )dl = ∫ fdl ,а этот интеграл является интегралом первого типа.( )L+LLLАналогично определим криволинейный интеграл второго рода в ℜ 3 .ρРассмотрим векторное поле F = (P( x, y, z ), Q( x, y, z ), R( x, y, z ) ) , для которогоρr = ( x, y, z ) является радиус вектором, тогдаρdr = (dx, dy, dz) , иρdl = dr = dx 2 + dy 2 + dz 2 x = x(t )Кривая L задается системой L :  y = y (t ) . z = z (t )По определению:bρ ρ/()Fdr=Pdx+Qdy+Rdz=∫∫∫ Px′ + Qy ′ + Rzt dt ,(L+L+)aа это криволинейный интеграл второго рода в пространстве.

Независимость от выборапараметра доказывается также, как и в ℜ 2 .ПримерРассмотрим пример, в котором точка с массой Мнаходится в начале координат и неподвижна, аточка m, с массой m, движется по АВ.Вычислить работу по перемещению точки m,приняв гравитационную постоянную равной γ .ρ − γmMrρ, т.е.F=ρz3ρmMγ ( x, y, z )F =−3x2 + y2 + z2()ρ ρ− xdx − ydy − zdzA = ∫ Fdr = mMγ ∫3L+x2 + y2 + z2)( x = x(t )L+ :  y = y (t ) ,а z = z (t )точки А и В имеют координаты A( x(a ), y (a ), z (a ) ) и B ( x(b), y (b), z (b) ) соответственно.bA = mMγ ∫a− x(t ) x ′(t )dt − y (t ) y ′(t )dt − z (t ) z ′(t )dt( ( x(t ))2+ ( y (t )) 2 + ( z (t )) 2рассмотрим U ( x(t ), y (t ), z (t ) ) =)31), тогда U ′(t ) , как производная+ ( y (t )) 2 + ( z (t )) 2сложной функции от нескольких переменных, будет равна∂u ∂u ∂u∂u∂u∂u, и в видеU ′(t ) =x ′(t ) +y ′(t ) +z ′(t ) ,для вычисления U ′(t ) , представим∂x ∂y ∂z∂x∂y∂z∂u∂u∂uxyz=−,=−и=−,соответственно,333222222222∂x∂∂yzx +y +zx +y +zx +y +z)(( ( x(t))2)()(тогда подставив эти выражения в уравнение для U ′(t ) , получаем:− x(t ) x ′(t ) − y (t ) y ′(t ) − z (t ) z ′(t )U ′(t ) =, а так как работа выражается через определенный3222( x(t )) + ( y (t )) + ( z (t ))интеграл, то подставив это выражение, получаем)(bA = mMγ ∫ U ′(t )dt = mMγ ⋅ U (t ) ba = mMγ [U ( x(b), y (b), z (b))) − U ( x(a), y (a), z (a))] =a= mMγ [U ( B) − U ( A)] =mMγ−mMγ( x(b)) 2 + ( y (b)) 2 + ( z (b)) 2( x(a )) 2 + ( y (a )) 2 + ( z (a )) 2Заметим, что работа в гравитационном поле не зависит от выбора пути, а зависит толькоот начальной А и конечной В точек этого пути..

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций