Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Лекция N 1

Кратные интегралы

Двойные интегралы

Опр: множество К Rⁿ называется компактом, если К- ограничено и замкнуто, т.е. лежит в ограниченном объеме и содержит все свои предельные точки.

Пример: отрезок, квадрат вместе с границей, окружность и эллипс вместе с границами.

Опр: множество D Rⁿ называется связным, если не выполняется следующее свойство:

D₁ , D₂ – открытые непустые множества: D₁ D Ø, : D₂ D Ø , D D₁ D₂, D₁ D₂ =Ø

рис.1 несвязное множество D

Пример связного множества: связный компакт на прямой– отрезок, связные компакты на плоскости– квадрат и круг с границами.

Свойства компактов К₁ и К₂:

1. К₁ К₂ также является компактом.

2. К₁ К₂ –компакт

Площадь компакта К

рис.2

Пусть К P_n , где P_n–многоугольник; либо совокупность многоугольников, если К состоит из нескольких несвязных частей. Площадь многоугольника P_n можно найти сложением площадей составляющих его треугольников (рис. 2): S_n= .

Определение: площадью S(K) компакта K называется : S(K)=inf S(P_n).

Эта нижняя граница всегда существует, т.к. площадь– величина неотрицательная и ограничена снизу нулем.

Свойства S(K):

1. S(K) 0

2. S(К₁ К₂ )=0 S(К₁ К₂ )= S(K₁) + S(K₂)

Примеры:

График непрерывной функции y = f(x) С[a,b]:

1. K = {(x,y): x [a,b] ; y = f(x)}; докажем, что S(K) = 0.

рис.3

Делим отрезок [a,b] на n равных частей, пусть m_i = f(x);

M_i = f(x);

f(x) равномерно непрерывна на [a,b] (теорема Кантора)

> 0 n₀ n₀: M_i - m_i< .

Рассмотрим K P_n :

S (P_n)= при

Следовательно, S(K)=0.

1. f(x) C[a,b]; f(x)>0; K={(x,y): x [a,b] ;0 y f(x)}; Площадь под кривой y = f(x), x [a,b] .

Докажем, что S(K) =

рис.4

M_i = f(x)

S (P_n)= (интеграл существует, т.к. всякая непрерывная функция интегрируема).

на рис.5 изображен компакт К.

Дадим определение :

Зададим разбиение Т компакта К:

Т –разбиение компакта К: {K = K_i: S(К_i К_j) = 0, i j}

Выбираем некоторую точку Р( ), принадлежащую компакту К_i , и зададим интегральную сумму

S (T)= ,

Обозначим: d(K_i)=max( ),

где -расстояние и диаметр разбиения: d(T) = .

Определение: Двойным интегралом от ограниченной функции f(x,y) по компакту К называется:

= , если такой предел существует.

Если такого предела не существует то функция неинтегрируема (например, функция Дирихле, D(x,y), которая в рациональных точках принимает значение 1, а в иррациональных точках значение ноль).

Свойства двойного интеграла (1-5)

1. = S(K), если f(x,y) 1

2. S(K) = 0 =0, где f- любая ограниченная функция

3. = +

4.S(К₁ К₂ )=0 +

5.m f(x,y) M mS(K) MS(K)

6. Если К- связный компакт и f(x,y) C(K), то

доказательство свойств 1-5:

1. =

S (Т)= =S(K)

2. S(K)=0, следовательно, для любого разбиения Т: S(K_i)=0

S (Т)= = 0

3. S (Т)= = S(T,f) + S(T,g) + .

4. S (Т)= + +

+

5. m f(x,y) M

S (Т)=

mS(K)=m =MS(K)

mS(K) MS(K)

6. m , где функция f определена на связном компакте и принимает все

значения между M и m.

Геометрический смысл двойного интеграла функции f(x,y) на компакте К: (f(x,y)>0)

V= – объем цилиндроида, изображенного на рис.6

рис.6

Теорема без (док-ва): Если f(x,y)-непрерывна на К, то существует .

Теорема: Если К = К₁ К₂ и S(K₂)=0, то можно отбросить К₂, т.к. S(K₂)=0

=

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов лекций