l8 (1111274)
Текст из файла
Лекция 8.
Формула Стокса
Эта формула, как и формула Гаусса-Остроградского, является одной из важнейших в курсе. Для того, чтобы ее вывести, введем понятие ротора векторного поля:
Определение. Назовем ротором величину:
(Существует и другое обозначение ротора: 
. По существу, ротор является «векторным произведением» оператора Гамильтона на вектор 
в данной точке пространстве). Ротор является одной из характеристик поля.
|
Γ+ S
| Пусть задана поверхность S, выбрано направление вектора нормали. Считаем, что поверхность гладкая, а контур Γ+ – кусочно-гладкий. Формула Стокса имеет вид:
|
Связь ориентации нормали 
с направлением обхода можно осуществить при помощи «правила буравчика»: направление движения правого винта при вращении по направлению обхода Γ+ указывает направление вектора нормали . Другой способ: если смотреть из конца вектора , то обход Γ+ будет осуществляться против часовой стрелки. Перепишем формулу Стокса в другом виде:
Левая часть – это криволинейный интеграл второго типа, а правая – поверхностный интеграл первого рода.
Формула Стокса доказывается в предположении, что функции P, Q и R – непрерывно дифференцируемы, поверхность, как уже было сказано, гладкая, контур – кусочно-гладкий.
Представим поле в виде суммы: 
; 
; 
; 
. Доказательство проведем для каждого из полей 
, 
и 
по отдельности.
Р
отор поля : 
. Будем считать, что поверхность S задается системой уравнений: 
Обход контура ∂D+ осуществляется против часовой стрелки – область D остается слева от контура.
Правая часть формулы: 
Левая часть - 
, в пространстве переменных u,v будет иметь вид: 
. Отсюда по формуле Грина 
Вычислим производные по u и v. 
Совершенно аналогично выглядит доказательство для полей и .
Формула Грина является частным случаем формулы Стокса. Рассматривается случай плоской поверхности, вектор нормали имеет координаты 
Из формулы Грина вытекает следствие о независимости интеграла от пути интегрирования на плоскости. Аналогично можно вывести независимость криволинейного интеграла 2 типа от пути интегрирования в поверхностно-односвязной области в пространстве.
При каких условиях справедливо 
?
Для справедливости этого равенства в пространстве должны выполняться следующие условия:
1. 
2. 
3. 
(отличие случая пространства от плоскости)
4. Существует такая функция 
, что 
. Функцию называют потенциалом данного поля. 
В этом случае 
- разность потенциалов (аналог формулы Ньютона-Лейбница).
Для доказательства нужно воспользоваться формулой Стокса. Так как ротор равен нулю, то интеграл по замкнутой траектории также равен нулю и интеграл 
не зависит от траектории.
Условие односвязности является существенным. Приведем пример (на плоскости).
Вычислить 
(интеграл берется по окружности). Попробуем применить формулу Грина: 
. Вычислим произведение ротора поля на вектор нормали: 
. Следует ли отсюда, что интеграл по окружности равен нулю? Чтобы проверить это, сделаем параметризацию: 
Область должна быть односвязной, т.е. внутри окружности все функции должны быть непрерывны. Но 
и 
. Чтобы интегрировать, нужно удалить из рассмотрения точку (0,0), после чего можно применять формулу Грина. Такие же примеры можно привести и для пространства (гравитационное поле с центром в начале координат).
Характеристики
Тип файла документ
Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.
Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.
Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
