l2 (1111258)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Лекция N 2Сведение двойного интеграла к повторномуK= {( x, y ) : x ∈ [a, b], y ∈ [ϕ 1 ( x), ϕ 2 ( x)] }Если ϕ 1 ( x), ϕ 2 ( x) ∈ C[a, b] ; f(x,y) ∈ C(K), то:bϕ2 ( x)a1 ( x)∫∫ f ( x, y)dxdy = ∫ dxϕ ∫ f ( x, y)dyKДоказательство:Рассмотрим частный случай области интегрирования– прямоугольник D(изображен на рис.7 и разбит на прямоугольники Кij).рис.7Интегрирование функции f по ординате осуществляется при постоянном x:dF(x) =∫ f ( x, y)dycbПокажем, что ∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫ F ( x)dx .DaРазобьем стороны большого прямоугольника D на мелкие отрезки:∆i = [ xi −1 , xi ], i = 1,2,...nδj = [ y j −1 , y j ], j = 1,...nТогда, тогда прямоугольник D разобьется на маленькие прямоугольникиKij={(x,y):x ∈ ∆i, y ∈ δj }(b − a)(d − c)S(Kij) =→ 0 , при измельчении разбиения сторон (m, n → +∞ ).nmb−ad −c∆i =δj =nmS (Т)=∑i, jnmnmndi =1j =1i =1cf (ξ i ,η j ) S ( K ij ) =∑∑ f (ξ i ,η j ) ∆i δj = ∑ ∆i (∑ f (ξ i ,η i ) δj ) ≈ ∑ ∆i ( ∫ f (ξ i , y )dy )i =1 j =1bФиксируем ξ i : S(T)= ∑ F (ξ i ) ∆i → ∫ F ( x)dx .aИз непрерывности функций (по условию) следует:m ≤ f(x,y) ≤ Mc ≤ ϕ 1 ( x) < ϕ 2 ( x) ≤ dрис.8Введем новую функцию f1(x,y) f ( x, y ), ( x, y ) ∈ Df 1 ( x, y ) = , где D–0, ( x, y ) ∉ Dпрямоугольник: {( x, y ) : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d }∫∫f ( x, y )dxdy =Kbdbϕ2 ( x)aca1 ( x)f1 ( x, y )dxdy = ∫ dx ∫ f1 ( x, y )dy = ∫ dx∫∫Df ( x, y )dy∫ϕРассмотрим другой случай криволинейной трапеции:рис.9Значение интеграла не меняется при вычислении в другом порядке.dψ 2 ( y)c1( y)∫∫ f ( x, y)dxdy = ∫ dyψ ∫ f ( x, y)dx .DСледствие: пусть область интегрирования D – прямоугольник, а функция f(x,y)представима в виде f(x,y)=h(x) g(y) , тогдаb d ∫ g ( y )dy h(x)g(y)dxdyh(x)dx=∫∫D∫a cДоказательство:b d∫a dx ∫c h( x) g ( y)dy = ∫a h( x)dx ∫c g ( y)dy =  ∫a h( x)dx  ∫c g ( y)dy Где h(x) выносим как константу в первом интеграле.

Если область интегрированияD другая, то разбиваем ее на криволинейные трапеции и складываем в силуаддитивности интеграла.bdbdВычисление двойных интеграловЗамена переменныхПри замене переменных в двойном интеграле фактически происходит некотороеотображение Ф одной двумерной области интегрирования D1 в другую D, такжедвумерную.x = ϕ (t )При однократном интеграле на функцию ϕ накладывают условие монотонности инепрерывной дифференцируемости, чтобы замена x = ϕ (t ) была однозначной, ичтобы было легко переходить от одной области к другой (обратимый переход).Аналогично для двойного интеграла при отображении Ф двумерной области D1 вдвумерную D: x = x(u, v)Ф: y = y (u, v)ФD1 →Dтакже потребуем взаимооднозначности отображения Ф.Если якобиан отображения:∂y  ∂x∂u∂u ≠ 0 , тогда отображение Ф будет взаимооднозначным.I (u, v) = det ∂x∂y ∂v  ∂vЕсли x(u,v) и y(u,v) непрерывно дифференцируемы, то∫∫ f ( x, y)dxdy = ∫∫ f ( x(u, v), y(u, v)) I (u, v) dudvDD1Дополнительный множитель I (u , v) появляется при переходе от двух переменныхx, y к другим двум переменным u, v; и он служит коэффициентом преобразованияплощади.Доказательство: рассмотрим отображение Ф:A1–(x(u,v),y(u,v))B1 –(x(u,v+ ∆ v),y(u,v+ ∆ v))D1–(x(u+ ∆ u,v),y(u+ ∆ u,v))C1–(x(u+ ∆ u,v+ ∆ v),y(u+ ∆ u,v+ ∆ v))По формуле Тейлора с точностью до первого порядка малости:∂x∂xx(u,v+ ∆ v) ≈ x(u, v) + ∆vx(u+ ∆ u,v) ≈ x(u, v) +∆u∂u∂v∂y∂yy(u+ ∆ u,v) ≈ y (u, v) +∆uy(u,v+ ∆ v) ≈ y (u, v) + ∆v∂u∂v∂x∂x∆u + ∆vx(u+ ∆ u,v+ ∆ v) ≈ x(u, v) +∂u∂v∂y∂yy(u+ ∆ u,v+ ∆ v) ≈ y (u, v) +∆u + ∆v∂u∂vA2= A1∂x∂yB2= ( x(u, v) + ∆v , y (u , v) + ∆v)∂v∂v∂x∂x∂y∂y∆u + ∆v , y (u, v) +∆u + ∆v )C2=( x(u, v) +∂u∂v∂u∂v∂x∂yD2=( x(u, v) +∆u , y (u, v) +∆u ), где A2 B2 C2 D2–параллелограмм.∂u∂uНайдем площади элементов разбиения областей D` и D:SABCD= ∆ u ∆ v (в координатах u, v)∂y ∂x∆u  ∆u∂u ∂u=I(u,v) ∆ u ∆ v (в координатах x,S(A1,B1,C1,D1) ≈ S(A2,B2,C2,D2)= det ∂x∂y∆v  ∆v∂v ∂vy)∂x∂yA2 B2 =( ∆v, ∆v )∂v∂v∂x∂yA2 D2 =( ∆u, ∆u )∂u∂uЕсли рассмотреть небольшой участок площади (прямоугольник ABCD), тогдаSABCD= ∆ u ∆ vS(A1B1C1D1) ≈ I (u , v) ∆ u ∆ v, где I (u , v) коэффициент преобразования площади(якобиан), т.к.

при преобразовании координат изменяется площадь.Отсюда следует формула замены переменных:S (d i ) ≈ ∑ f ( x(u i , vi ), y (u i , vi )) S (d i ' ) , где d i , d i ' –элементы соответствующихiразбиений.∑ f ( x(u , v ), y(u , v )) = I (u , v ) ∆u ∆viiiiiiiii∫∫ f ( x, y)dxdy = ∫∫ f ( x(u, v), y(u, v)) I (u, v) dudvDD1Если I(u,v)=0 на некоторых точках или на множествах с нулевой площадью, тоинтеграл от этого не меняется.Пример: (в полярных координатах)∂x ∂ycos ϕ sin ϕ x = r cos ϕ∂r ∂r==rI (r , ϕ ) =∂x ∂y − r sin ϕ r cos ϕ y = r sin ϕ∂ϕ ∂ϕr всегда больше нуля, кроме начала координат, где якобиан замены равен нулю.Нельзя интегрировать по областям, содержащим начало координат, но если такихточек конечное множество, либо они образуют нулевую площадь, то интегрироватьможно, так как интеграл не меняется.Площадь круга 2π  RS = ∫∫ dxdy =  ∫ dϕ  ∫ rdr  = πR 20 0x2 + y2 ≤R2При линейной замене якобиан замены легко считается и равен константе:x = a1u + b1va1 a 2⇒I== consty = a 2 u + b2 vb1 b2Но в параболических заменах якобиан также константа:uv = x 2vx = y 2Площадь в три раза меньше в параболических координатах, чем в декартовых..

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций