l4 (1111262)
Текст из файла
Лекция 4
Криволинейные интегралы.
Выделяют два типа интегралов: первого и второго рода.
Рассмотрим криволинейный интеграл первого рода.
Пусть требуется найти длину кривой на плоскости, определенной уравнением y=y(x).
Как было доказано во втором семестре:
так как y = y(x), то
x
Кривая y=y(x) имеет конечную длину, если
Пример непрерывной кривой, не имеющей конечной длины:
Кривая является синусоидой, заключенной между двумя прямыми и
.
Для функции условие непрерывности
в точке х=0
нарушается. Кривая, заданная уравнением: не имеет конечной длины (доказать самостоятельно)
Опр. По определению, криволинейным интегралом первого (I-го) рода на плоскости называется:
,где L – кривая, заданная уравнениями
. Докажем корректность определения:
Как видно из полученного выражения, определение не зависит от выбора параметра.
О пр. Кривая
, заданная параметрическими уравнениями
и
называется гладкой, если функции
и
имеют непрерывные производные, не обращающиеся одновременно в нуль.
Опр. Кусочнонепрерывной (кусочногладкой) кривой называется кривая, которая является непрерывной и состоит из нескольких гладких кривых.
Свойства кусочнонепрерывной кривой (без доказательства):
Аналогично кривая задается системой:
это уравнение кусочнонеперывной кривой
Кривую L будем называть кривой по пути АВ, т.е. начало
L кривой в точке А и конец в точке В.
А В
Заметим, что криволинейный интеграл первого рода не завистит от того, в каком направлении мы интегрируем по прямой от ,или от
.
Опр. Интеграл называется криволинейным интегралом первого рода по кривой в пространстве
.
Криволинейные интегралы второго типа.
Для начала, как и в случае криволинейных интегралов первого рода, интеграл второго рода будем рассматривать на плоскости (в ).
Криволинейным интегралом второго рода называется ,
А(x(a),y(a)) и B(x(b),y(b)) соответственно.
L+ означает, что выбрано положительное
направление движения по кривой, т.е. то направление, при котором интеграл от А до В имеет положительное значение.
Работа по перемещению тела из точки А в точку В
в поле выражается интегралом:
в этом и есть физический смысл интеграла.
Докажем корректность определения:
и P зависит от x,y, которые, соответственно, зависят от u, а значит интеграл можно представить в виде:
т.е. интеграл не зависит от выбора параметризации.
Свойства:
1 0 Является линейным по функции и аддитивным по множеству, т.е.
и
А
В
Физический смысл этого свойства заключается в следующем утверждении: работа сил в поле в одном направлении, равна работе сил со знаком минус в другом направлении
Связь между криволинейными
интегралами 1 и 2 рода.
Зададим касательный вектор движения по прямой
,а этот интеграл является интегралом первого типа.
Аналогично определим криволинейный интеграл второго рода в .
Рассмотрим векторное поле , для которого
является радиус вектором, тогда
По определению:
а это криволинейный интеграл второго рода в пространстве. Независимость от выбора параметра доказывается также, как и в .
Пример
Р ассмотрим пример, в котором точка с массой М находится в начале координат и неподвижна, а точка m, с массой m, движется по АВ.
Вычислить работу по перемещению точки m, приняв гравитационную постоянную равной .
точки А и В имеют координаты и
соответственно.
рассмотрим , тогда
, как производная сложной функции от нескольких переменных, будет равна
,для вычисления
, представим
и
в виде
тогда подставив эти выражения в уравнение для , получаем:
, а так как работа выражается через определенный интеграл, то подставив это выражение, получаем
Заметим, что работа в гравитационном поле не зависит от выбора пути, а зависит только от начальной А и конечной В точек этого пути.
Характеристики
Тип файла документ
Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.
Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.
Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.