l4 (1111262)

Файл №1111262 l4 (Лекции doc и pdf)l4 (1111262)2019-05-06СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Лекция 4

Криволинейные интегралы.

Выделяют два типа интегралов: первого и второго рода.

Рассмотрим криволинейный интеграл первого рода.

Пусть требуется найти длину кривой на плоскости, определенной уравнением y=y(x).

Как было доказано во втором семестре:

y
|L|=∫dl

так как y = y(x), то

L

x

Кривая y=y(x) имеет конечную длину, если

Пример непрерывной кривой, не имеющей конечной длины:

,где


Кривая является синусоидой, заключенной между двумя прямыми и .

Для функции условие непрерывности в точке х=0

нарушается. Кривая, заданная уравнением: не имеет конечной длины (доказать самостоятельно)

Опр. По определению, криволинейным интегралом первого (I-го) рода на плоскости называется:

,где L – кривая, заданная уравнениями . Докажем корректность определения:

Сделаем замену: ,где и

,где и ,

тогда ,аналогично и

,

Как видно из полученного выражения, определение не зависит от выбора параметра.

О пр. Кривая , заданная параметрическими уравнениями и называется гладкой, если функции и имеют непрерывные производные, не обращающиеся одновременно в нуль.

Опр. Кусочнонепрерывной (кусочногладкой) кривой называется кривая, которая является непрерывной и состоит из нескольких гладких кривых.


Свойства кусочнонепрерывной кривой (без доказательства):

(свойство аддитивности)

Аналогично кривая задается системой:

это уравнение кусочнонеперывной кривой

Кривую L будем называть кривой по пути АВ, т.е. начало

L кривой в точке А и конец в точке В.

А В

Заметим, что криволинейный интеграл первого рода не завистит от того, в каком направлении мы интегрируем по прямой от ,или от .

Опр. Интеграл называется криволинейным интегралом первого рода по кривой в пространстве .



Криволинейные интегралы второго типа.

Для начала, как и в случае криволинейных интегралов первого рода, интеграл второго рода будем рассматривать на плоскости (в ).

Криволинейным интегралом второго рода называется ,

где и , .

Т очки А и В имеют координаты

А(x(a),y(a)) и B(x(b),y(b)) соответственно.

L+ означает, что выбрано положительное

направление движения по кривой, т.е. то направление, при котором интеграл от А до В имеет положительное значение.

Обозначим - радиус вектор и

Работа по перемещению тела из точки А в точку В
в поле выражается интегралом:

в этом и есть физический смысл интеграла.

Докажем корректность определения:

Делаем замену t=t(u) и ,

и P зависит от x,y, которые, соответственно, зависят от u, а значит интеграл можно представить в виде:

т.е. интеграл не зависит от выбора параметризации.

Свойства:

1 0 Является линейным по функции и аддитивным по множеству, т.е. и

А

20 L+ L- L+=AB
L-=BA

В

Физический смысл этого свойства заключается в следующем утверждении: работа сил в поле в одном направлении, равна работе сил со знаком минус в другом направлении


Связь между криволинейными
интегралами 1 и 2 рода.

В

Зададим касательный вектор движения по прямой

,

А

,а этот интеграл является интегралом первого типа.

Аналогично определим криволинейный интеграл второго рода в .

Рассмотрим векторное поле , для которого является радиус вектором, тогда

, и



Кривая L задается системой .

По определению:

,

а это криволинейный интеграл второго рода в пространстве. Независимость от выбора параметра доказывается также, как и в .

Пример

Р ассмотрим пример, в котором точка с массой М находится в начале координат и неподвижна, а точка m, с массой m, движется по АВ.

Вычислить работу по перемещению точки m, приняв гравитационную постоянную равной .

, т.е.







точки А и В имеют координаты и соответственно.

рассмотрим , тогда , как производная сложной функции от нескольких переменных, будет равна

,для вычисления , представим и в виде

, и ,соответственно,

тогда подставив эти выражения в уравнение для , получаем: , а так как работа выражается через определенный интеграл, то подставив это выражение, получаем

Заметим, что работа в гравитационном поле не зависит от выбора пути, а зависит только от начальной А и конечной В точек этого пути.

Характеристики

Тип файла
Документ
Размер
207,5 Kb
Материал
Тип материала
Высшее учебное заведение

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6390
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее