l7 (1111272)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Лекция 7Формула Гаусса-ОстроградскогоФормула Гаусса-Остроградского является одной из наиболее важных формул ввекторном анализе. Она связывает поток векторного поля через замкнутую поверхность снапряженностью векторного поля внутри замкнутой поверхности. Для векотрного поля→F = (P; Q; R ) : ∂P∂Q∂R  dxdydz ,++∂∂∂xyzS внешVпричем поверхностный интеграл потока векторного поля берется по поверхности черезвнешнюю сторону (вектор нормали к поверхности направлен «наружу»). Правую частьформулы можно переписать в виде:→∫∫→F d s =∫∫∫→→ ∂P ∂Q ∂R ++dxdydz=divFdxdydz=∇Fdxdydz ,∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ∂x ∂y ∂ z V VVгде→∂P ∂Q ∂R∂ → ∂ → ∂ →– дивергенция векторного поля F , ∇ = ex + e y + ez – оператор+ +∂x ∂y ∂z∂y∂z∂xГамильтона (набла).Формула Гаусса-Остроградского справедлива, если выполняются два условия.

Вопервых, поверхность S должна быть кусочно-гладкой, т.е. такой, что в любой ее точкеможно провести касательную плоскость (поверхность задается дифференцируемымифункциями) и двусторонней (направление нормали при движении вдоль поверхности→→divF = ∇F =→сохраняется. Во-вторых, векторное поле F = (P; Q; R ) должно быть таким, что функцииP = P( x, y, z ), Q = Q( x, y, z ), R = R( x, y, z ) и их частные производные по x, y и z непрерывны вобласти V.Другие варианты формулы Гаусса-Остроградского.→Запишем выражение для вектора нормали: n = (cosα ; cos β ; cos γ ) , где α , β , γ – углы,которые вектор нормали составляет с осями координат.z→→γ ρds=n ds .yn+→βОтсюда ∫∫ (P cos α + Q cos β + R cos γ )ds = ∫∫∫ div F dxdydzαxSVКроме∫∫ (Pdydzтого,имеет+ Qdzdx + RdxdyS) = ∫∫∫ divместоследующаяформула:→F dxdydzVДоказательство формулы (1 вариант):→→∫∫ ( F ⋅ nS внешвнеш)d s = ∂P∫∫∫  ∂ x+→→V→∂Q ∂R dxdydz+∂ z ∂y→→Представим векторное поле в виде суммы→→векторных полей: F = F 1 + F 2 + F 3 , где F 1 = (0,0, R ), F 2 = (0, Q,0), F 3 = (P,0,0 ) , найдемпотоки этих векторных полей по отдельности, а затем сложим их.→Рассмотрим сначала случай поля F 1 .

Замкнутая поверхность является цилиндроидом,ограниченным сверху и снизу поверхностями, заданными в явном виде: z = z1 (x, y ) (снизу) иzz = z 2 ( x, y ) (сверху). Поверхность S состоит изнижней S1, боковой S2 и верхней S3 поверхностей.Рассмотрим поверхностный интеграл по S1. D –проекция S1 на плоскость xy.S3z=z2(x,y)S2yDxS1z=z1(x,y)Координатывекторанормали: ∂ z1 ∂ z1;; − 1  ∂x ∂y→n = ± ∂ z1 1+  ∂x 2. ∂ z1 +  ∂y 2Так как вектор нормали направлен вниз (координата по z отрицательна), то в формулеρ→→→R ( x , y , z1 ( x , y )).для n нужно выбрать знак «+». F 1 ⋅ n = (0,0, R ) ⋅ n = −2 ∂z   ∂z 1 +  1  +  1  ∂x   ∂y 2Дифференциалповерхностиds =равен:R ( x , y , z1 ( x , y )) ∂z ∂z 1 +  1  +  1 ∂x  ∂y2 ∂z ∂z ⋅ 1 +  1  +  1∫∫S ( F1 ⋅ n ) d s = ∫∫D −22 ∂x  ∂y ∂ z1 1 ∂ z1 1+  +  ∂x  ∂y →→222 ⋅ dxdy ⋅ dxdy =Отсюда∫∫ − R (x , y , z (x , y ))dxdy1D→Интеграл по боковой поверхности S2.

Вектор нормали n = (n1 ; n2 ;0) , так→ ρρкак нормаль параллельна плоскости xy. F1 ⋅ n = (0;0; R ) ⋅ n = 0 . Какая бы ниDбыла боковая поверхность, интеграл по ней равен нулю:→→∫∫ ( F1 ⋅ n ) d s = 0S2Интеграл по поверхности S3Рассматривается аналогично интегралу поповерхности S1 с той разницей, что вектор нормали направлен в ∂z 2 ∂z 2  −;−;1 ∂y  ∂x→противоположную сторону – вверх: n =произведение→F1 ∂z   ∂z 1 +  2  +  2  ∂x   ∂y на вектор нормали:22 ∂z   ∂z дифференциал поверхности: ds = 1 +  2  +  2  ⋅ dxdy ∂x   ∂y 2→→F 1⋅ n =2. СкалярноеR( x, y, z 2 ( x, y ))2 ∂z   ∂z 1 +  2  +  2  ∂x   ∂y 2,→→∫∫ ( F ⋅ n ) d s = ∫∫ R (x , y , z (x , y ))dxdy11S3DСложим интегралы по поверхностям S1, S2 и S3: → → → → → → → →FndsFndsFnds++⋅=⋅⋅∫∫∫∫∫∫∫∫ F1 ⋅ n ds = ∫∫ − R( x, y, z1 ( x, y ))dxdy + ∫∫ R( x, y, z 2 ( x, y ))dxdy = 1  1  1 S внешS1S2S3DD= ∫∫ ( R( x, y, z 2 (x, y )) − R( x, y, z1 ( x, y )))dxdyDРассмотрим тройной интеграл по объему V:z2 ( x , y )∂R∂Rdxdydz = ∫∫ dxdy ∫⋅ dz = ∫∫ R( x, y, z ) zz == zz12((xx,,yy)) dxdy = ∫∫ ( R( x, y, z 2 ( x, y )) − R( x, y, z1 ( x, y )))dxdy∫∫∫∂z∂zVDz1 ( x , y )DD()→Таким образом, для векторного поля F 1 = (0,0, R ) формула Гаусса-Остроградского∫∫S внеш→→F1 ⋅ d s =∫∫∫V∂Rdxdydz доказана.∂z→Аналогично доказывается формула, если взять поле F 2 , и в качестве замкнутой→поверхности взять цилиндроид, ось которого направлена вдоль оси y.

F 2 = (0, Q,0)→∫∫ F→2⋅d s =S внеш∫∫∫V∂Qdxdydz (доказывается аналогично)∂y→Аналогично и для поля F 3 = (P,0,0) :→∫∫ F ⋅ d3→s =S внеш→→→→Если взять поле F = F 1 + F 2 + F 3 , то∫∫∫V∫∫∂Pdxdydz∂yS внеш→→Fd s = ∂P∫∫∫  ∂ xV+∂Q ∂R dxdydz+∂y∂ z – формулаГаусса-Остроградского в общем виде верна.При доказательстве мы использовали замкнутую поверхность, которая может бытьпредставлена как цилиндроид с осью, направленной вдоль осей x,y или z. Такойповерхностью является прямоугольный параллелепипед.

Еслирассмотреть произвольную поверхность, то справедливостьформулы не очевидна.Разобьем произвольную поверхность на две – S1 и S2.Проинтегрируем векторное поле по каждойповерхности и сложим. Получатся интегралыпо S1, S2 и два интеграла по сечению.Интегралы по сечению отличаются только знаком (так как векторынормалей направлены в разные стороны), они уничтожаются присложении. Поэтому поверхность можно разбивать на части, интегрировать по ним,результаты складывать.Произведем сечение замкнутой поверхности большимчислом перпендикулярных плоскостей.

Формула ГауссаОстроградского будет верна всюду, кроме границповерхности, на границах становится справедливой приустремлении диаметра разбиения к нулю. Отсюда следует, что формула ГауссаОстроградского справедлива для любой кусочно-гладкой поверхности.Пример.→→→В качестве поля F возьмем радиус-вектор: F = r = ( x, y, z ) , S – сфера радиуса R с центромв начале координат.Для нахождения потока вектора воспользуемся формулой Гаусса-Остроградского:→→→3∫∫ r d s = ∫∫∫ div r dxdydz = ∫∫∫3dxdydz = 3V = 3Vсферы = 4πRS внешVVФормула Ньютона-Лейбница представляет интеграл по отрезку по значениямпервообразной на границах отрезка.

Формула Гаусса-Остроградского представляет собой,по существу, то же самое (вместо отрезка – объем, вместо границ отрезка – замкнутаяповерхность). Эту формулу, как и формулу Грина, можно считать обобщением формулыНьютона-Лейбница..

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций