l5 (1111266)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Лекция 5Формула Грина.В настоящем разделе рассмотрим формулу, связывающую двойной и криволинейныйинтегралы.∫ Pdx + Qdy , интеграл ∫называется интегралом по замкнутому контуру.Г+Условимся называть положительным направлением обхода простогозамкнутого контура то, при котором ближайшая к наблюдателю частьобласти, ограниченной контуром, оказывается лежащей слева отнаблюдателя.ρ∂P ∂QПусть F = ( P, Q) и P, Q, ,∈ C ( D) , т.е.непрерывны на (D) и Г- замкнутый∂y ∂xкусочногладкий контур, тогда имеет место формула: ∂Q ∂P ∫Г Pdx + Qdy = ∫∫D  ∂x − ∂y  ,которая называется формулой Грина.+Для вывода формулы будем сводить вычисление интеграла по замкнутой кривой кинтегралу от области, заключенной внутри этой кривой.Разобьем вывод на несколько пунктов:1) Область D есть криволинейная трапеция:Докажем равенство∂P∫Г Pdx = − ∫∫D ∂y dxdy+Мы знаем, что∫= ∫+ ∫+ ∫+ ∫ иГ+Г1Г2Г3Г4b∫ P( x, y)dx = ∫ P( x, ϕ ( x))dx , где1Г1Г 1 : y = ϕ 1 ( x) ,a∫ Pdx = 0,x = b, dx = 0Г2∫ P( x, y)dx =Г3∫ Pdx = 0 ,abbaГ 3 ; y = ϕ 2 ( x) = ∫ P( x, ϕ 2 ( x))dx = − ∫ P( x, ϕ 2 ( x))dxx = a, dx = 0Г4Запишем теперь интеграл по контуру в видеbbbaaa∫ Pdx = ∫ P( x, ϕ1 ( x))dx − ∫ P( x,ϕ 2 ( x))dx = ∫ ( P( x,ϕ1 ( x))dx − P( x, ϕ 2 ( x)))dx , а двойнойГ+интеграл будет выглядеть соответственно:ϕ2 ( x)bb∂P∂P− ∫∫ dxdy = − ∫ dx ∫dy = − ∫ dx P( x, y )∂yϕ1 ( x ) ∂yDaa(by = p2 ( x )y = p1 ( x )= ∫ (P( x, ϕ 1 ( x)) − P( x, ϕ 2 ( x)) )dx , следовательно,a) = −∫ (P( x,ϕ ( x)) − P( x,ϕ ( x)))dx =b2a1∂P∫ Pdx = −∫∫ ∂y dxdyГ+- первая часть равенства доказана.D2) Докажем теперь и вторую часть равенства.Пусть D – криволинейная трапеция, изображеннаяна рисунке:∂Q∫Г Qdy = ∫∫D ∂x dxdy+Запишем теперь интегралы от отдельных участковкривой, причем интегралы от Г2 и Г4 будут равнынулю:∫ Qdy = ∫ Qdy = 0 , y = const, dy = 0 .Г2Г3Интегралы от Г1 и Г3 будут равны соответственно:c∫ Q( x, y)dy = ∫ Q(ψГ1d1d( y ), y )dy = − ∫ Q(ψ 1 ( y ), y )dycd∫ Q( x, y)dy = ∫ Q(ψГ32( y ), y )dy , тогдаcd∫ Qdy = −∫ Q(ψГ+d1cd( y ), y )dy + ∫ Q(ψ 2 ( y ), y )dy = ∫ (Q(ψ 2 ( y ), y ) − Q(ψ 1 ( y ), y ) )dy Запишемccdψ 2 ( y)d(∂Q∂Qдвойной интеграл в виде ∫∫dxdy = ∫ dy ∫dx = ∫ dx Q( x, y )∂xψ 1 ( y ) ∂xDccd= ∫ (Q(ψ 2 ( y ), y ) − Q(ψ 1 ( y ), y ) )dy , следовательно, мы доказали, чтоc∂Pdxdy , следовательно,ранее мы также доказали, что ∫ Pdx = ∫∫y∂Г+Dпредставить как ∂Qx =ψ 2 ( y )x =ψ 1 ( y ))=∂Q∫ Qdy = ∫∫ ∂x dxdy , ноГ+D∫ Pdx + Qdy можноГ+∂P ∫ Pdx + Qdy = ∫∫  ∂x − ∂y  .Г+DПусть D – произвольная область, ограниченная кусочногладкой кривой.

Разобьем D нанесколько областей прямыми, какпоказано на рисунке.Интеграл по границе двух элементов (1)равен нулю, так как он вычисляетсядважды в противоположныхнаправлениях, следовательно, суммавсех криволинейных интегралов будетравна интегралу по границе D.Рассмотрим теперь некоторые следствия из формулы Грина.Следствия:1) Пусть Q = x, P = − y ,∂Q∂Pтогда=−= 1 и ∫ xdy = ydx = 2∫∫ dxdy = S ( D)∂x∂yГ+D2) Пусть P = C1 , Q = C 2 , C1 ,C 2 - константы, ∂Q ∂P dxdy = 0 .−тогда ∫ C1 dx + C 2 dy = ∫∫ ∂x ∂y ГD Условия независимости криволинейного интегралаот пути интегрирования в односвязнойобласти на плоскостиОпределение односвязности:Опр.

Область D называется односвязной, если для простойзамкнутой кривой, являющейся границей области D1 следуетD1 ⊂ D .Следующие четыре условия – являются условиямиэквивалентности:1) ∫ Pdx + Qdy = ∫ Pdx + Qdy (кривые Г1 и Г2 имеютГ1Г2одинаковое начало – точку А и одинаковый конец – точку В)2) ∫ Pdx + Qdy = 0 справедливо для любой кусочногладкойГ+замкнутой кривой Г.∂P ∂Q3)=, ∀( x, y ) ∈ D .∂y ∂x4) ∃U ( x, y ) : dU = Pdx + Qdy , в этом случае∫ Pdx + Qdy = U ( B) − U ( A) .Г ABДоказательство:1)~2) ∫ Pdx + Qdy = −Г1 ( A→ B )∫Pdx + Qdy +∫Pdx + Qdy =Г 2 ( A→ B )∫ Pdx + QdyГ1 ( B → A )∫ Pdx + Qdy = ∫ Pdx + Qdy = 0Г1 ( B → A )Г1 ( A→ B )2)~3)Г1 Г 2∫ Pdx + Qdy .Г 2 ( B → A)∫ PdxQdy = 0 , применим формулу Грина:Г+ ∂Q∂P ∫∫  ∂x − ∂y dxdy = 0 ,следовательно,D0=∫ Pdx + Qdy =Гε ∂Q ∂P   ∂Q ∂P  = −−πε 2 = 0 , но∂∂∂∂xyxy  x = x1 , y = y1( x − x0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 ≤ε 2 ∫∫∂Q∂P( x1 , y1 ) =( x1 , y1 ) , а при ε → 0, ( x1 , y1 ) → ( x0 , y 0 ) ,следовательно,∂x∂y∂Q∂P( x0 , y 0 ) =( x0 , y 0 ) .∂x∂y x = x(t )Г :,это можно представить в y = y (t )du ∂u∂ux ′(t ) +y ′(t ) = Pdx + Qdy , итак,виде:=dt ∂x∂ydu∫Г Pdx + Qdy = AB∫ dt dt = U ( B) − U ( A) .AB4)~1)Дифференциальное выражение Pdx + Qdy похоже навыражение полного дифференциала функции F ( x, y )∂U∂Udx +dy ,котороеот двух переменных dU =∂x∂yотождествляется с Pdx + Qdy , если положить∂U∂U= P,= Q.∂x∂y∂U∂U∫Г Pdx + Qdy = U ( x, y) ,докажем, что ∂x = P, ∂y = Q , следовательно du = Pdx + Qdy .U ( x + ∆x , y ) − U ( x , y )1∂U= lim= lim∆x∂x∆x → 0∆x → 0 ∆xдляx + ∆x∫xPdx = lim∆x → 0P ( x , y ) ∆x= P ( x, y ) ,а выражение∆xU ( x, y + ∆y ) − U ( x, y )1∂U∂Uпримет вид= lim= lim∂y∆y∂y∆y → 0∆y → 0 ∆yy + ∆y∫ Qdy = Q( x, y) ,yследовательно, du = Pdx + Qdy является точным дифференциалом..

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций