l8 (1111276)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Лекция 8.Формула СтоксаЭта формула, как и формула Гаусса-Остроградского, является одной из важнейших вкурсе. Для того, чтобы ее вывести, введем понятие ротора векторного поля:НазовемроторомОпределение.ρρ ρijkρ ∂∂∂  ∂R ∂Q ∂P ∂R ∂Q ∂P величину: rotF =−−−=;;∂x ∂y ∂z  ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y P Q Rρ[ρ] [ ρ]ρ(Существует и другое обозначение ротора: rot F = ∇ × F = ∇ F = ∇ × F .

По существу,ρротор является «векторным произведением» оператора Гамильтона на вектор F в даннойточке пространстве). Ротор является одной из характеристик поля.SПусть задана поверхность S, выбрано направление вектора нормали.Считаем, что поверхность гладкая, а контур Γ+ – кусочно-гладкий.Формула Стокса имеет вид:ρn+Γ+∫Γ+ρ ρFdr =∫∫ρ ρrot F d sS+ρСвязь ориентации нормали n + с направлением обхода можно осуществить при помощи«правила буравчика»: направление движения правого винта при вращении поρнаправлению обхода Γ+ указывает направление вектора нормали n + .

Другой способ: еслиρсмотреть из конца вектора n + , то обход Γ+ будет осуществляться против часовой стрелки.Перепишем формулу Стокса в другом виде:ρ ρ∫ (Pdx + Qdy + Rdz ) = ∫∫ rot F ⋅ n + ds(Γ+)SЛевая часть – это криволинейный интеграл второго типа, а правая – поверхностныйинтеграл первого рода.Формула Стокса доказывается в предположении, что функции P, Q и R – непрерывнодифференцируемы, поверхность, как уже было сказано, гладкая, контур – кусочногладкий.ρ ρ ρ ρ ρρρПредставим поле в виде суммы: F = F1 + F2 + F3 ; F1 = (P;0;0) ; F2 = (0; Q;0) ; F3 = (0;0; R ) .ρ ρρДоказательство проведем для каждого из полей F1 , F2 и F3 по отдельности.ρρ  ∂P ∂P Ротор поля F1 : rotF1 =  0; ;−  .

Будем считать, что поверхность S задается системой ∂z ∂y  x = x(u , v ),уравнений: S :  y = y (u , v ),Обходконтура∂D+ z = z (u , v ).осуществляется против часовой стрелки – область Dостается слева от контура.Правая часть формулы:ρ ρ∫∫ rotF ds = ∫∫ x′1uSDρ ρF1 d r =∫Левая часть -∂P∂zy u′0Γ+∫ Pdxxv′−y v′∂P∂yz u′ dudvz v′, в пространстве переменных u,v будет иметь вид:Γ+∂x ∂x  ∂x ∂xP du +du  = ∫  P du + P dv  .∂u  ∂D+  ∂u∂v  ∂u∂D+∫ Pdx = ∫Γ+∂x∂x ∂  ∂x ∂ ОтсюдапоформулеГрина∂x  ∫  P ∂u du + P ∂v dv  = ∫∫  ∂u  P ∂v  − ∂v  P ∂u  dudv =∂D+D ∂P ∂x∂ x ∂P ∂x∂2x  ∂P ∂x ∂P ∂x dudv = ∫∫ = ∫∫ ⋅ +P−⋅−P⋅ −⋅ dudv∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂uv∂uvvu∂u uvuvvD DВычислимпроизводныепоuиv. ∂P ∂x ∂P ∂y ∂P ∂z  ∂x  ∂P ∂x ∂P ∂y ∂P ∂z  ∂x  ∂P ∂x ∂P ∂x dudv=⋅−⋅∫∫D  ∂u ∂v ∂v ∂u ∫∫D  ∂x ⋅ ∂u + ∂y ⋅ ∂u + ∂z ⋅ ∂u  ∂v −  ∂x ⋅ ∂v + ∂y ⋅ ∂v + ∂z ⋅ ∂v  ∂u du20 ∂P  ∂x ∂z∂x ∂z ∂P  ∂x ∂y∂x ∂y  ∫∫  ∂z  ∂v ⋅ ∂u − ∂u ⋅ ∂v  − ∂y  ∂u ⋅ ∂v − ∂u ⋅ ∂v  dudv = ∫∫ x ′uDDx v′∂P∂zy u′y v′−∂P∂yz u′ dudvz v′ρρСовершенно аналогично выглядит доказательство для полей F2 и F3 .Формула Грина является частным случаем формулы Стокса.

Рассматривается случайρплоской поверхности, вектор нормали имеет координаты n + = (0,0,1)ρ ρ ∂Q ∂ProtF ⋅ n =−∂x ∂yИз формулы Грина вытекает следствие о независимости интеграла от путиинтегрирования на плоскости. Аналогично можно вывести независимостькриволинейного интеграла 2 типа от пути интегрирования в поверхностно-односвязнойобласти в пространстве.ρ ρρ ρПри каких условиях справедливо ∫ Fdr = ∫ Fdr ?Γ1Γ2Для справедливости этого равенства в пространстве должны выполняться следующиеусловия:ρρ1.∫ Fdr = ∫ FdrΓ12.Γρ ρ 2∫ Fd r = 0ΓρrotF = 0 (отличие случая пространства от плоскости)Существует такая функция u ( x, y, z ) , что du = Pdx + Qdy + Rdz .

Функцию u ( x, y, z )ρназывают потенциалом данного поля. F = gradu = ∇u3.4.В этом случаеρ ρ∫ Fdr = u(B ) − u( A) - разность потенциалов (аналог формулы Ньютона-ABЛейбница).Для доказательства нужно воспользоваться формулой Стокса. Так как ротор равенρ ρFнулю, то интеграл по замкнутой траектории также равен нулю и интеграл∫ dr неABзависит от траектории.Условие односвязности является существенным.

Приведем пример (на плоскости).xdy − ydx(интеграл берется по окружности). Попробуем применитьВычислить22∫x+y22x + y =1формулу Грина: P = −yx;Q = 2; R = 0 . Вычислим произведение ротора поля2x +yx + y22ρ∂Q ∂P x 2 + y 2 − 2 x 2 x 2 + y 2 − 2 y 2−=+F на вектор нормали:= 0 . Следует ли отсюда,∂x ∂yx2 + y2x2 + y2что интеграл по окружности равен нулю? Чтобы проверить это, сделаем параметризацию:2π2π x = cos t ,xdy − ydx(cos td sin t − sin td cos t )==(cos 2 t + sin 2 t )dt = 2π ≠ 02222∫∫∫y=sintx +ycos t + sin t00x 2 + y 2 =1Область должна быть односвязной, т.е. внутри окружности все функции должны быть∂Q ∂Pнепрерывны.

Но P, Q ∉ C (0,0) и,∉ C (0,0) . Чтобы интегрировать, нужно удалить из∂x ∂yрассмотрения точку (0,0), после чего можно применять формулу Грина. Такие жепримеры можно привести и для пространства (гравитационное поле с центром в началекоординат)..

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций