l1 (1111254)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Лекция N 1Кратные интегралыДвойные интегралыnОпр: множество К ⊂ R называется компактом, если К- ограничено и замкнуто, т.е. лежитв ограниченном объеме и содержит все свои предельные точки.Пример: отрезок, квадрат вместе с границей, окружность и эллипс вместе сграницами.nОпр: множество D ⊂ R называется связным, если не выполняется следующее свойство:∃ D1 , D2 – открытые непустые множества: D1 ∩ D ≠ Ø, : D2 ∩ D ≠ Ø , D ⊂ D1 ∪ D2,D1 ∩ D2 =Øрис.1 несвязное множество DПример связного множества: связный компакт на прямой– отрезок, связныекомпакты на плоскости– квадрат и круг с границами.Свойства компактов К1 и К2:1.

К1 ∪ К2 также является компактом.2. К1 ∩ К2 –компактПлощадь компакта Крис.2Пусть К⊂ Pn , где Pn–многоугольник; либо совокупность многоугольников, если Ксостоит из нескольких несвязных частей. Площадь многоугольника Pn можно найтисложением площадей составляющих его треугольников (рис. 2): Sn= ∑ S ∆ .Определение: площадью S(K) компакта K называется : S (K)=inf S (Pn).Эта нижняя граница всегда существует, т.к. площадь– величина неотрицательная иограничена снизу нулем.Свойства S (K):1. S(K) ≥ 02. S(К1 ∩ К2 )=0⇒ S(К1 ∪ К2 )= S(K1) + S(K2)Примеры:График непрерывной функции y = f(x) ∈ С[a,b]:1. K = {(x,y): x∈ [a,b] ; y = f(x)}; докажем, что S(K) = 0.рис.3Делим отрезок [a,b] на n равных частей, пусть mi = min f(x);∆ib−a∆inf(x) равномерно непрерывна на [a,b] (теорема Кантора)⇒∀ ε > 0 ∃ n0 ∀n ≥ n0: M i - mi<ε .Рассмотрим K ⊂ Pn :∆i =M i = max f(x);n∑(MS (Pn)=nni =1i =1− mi ) i < ∑ ε ⋅ ∆i = ε ∑ ∆i = ε (b − a) → 0 при ε → 0ii= 1Следовательно, S(K)=0.2.

f(x) ∈C[a,b]; f(x)>0; K={(x,y): x∈ [a,b] ;0 ≤ y ≤ f(x)}; Площадь под кривой y =f(x), x∈ [a,b] .bДокажем, что S(K) =∫ f ( x )dxaрис.4M i = max f(x)∆ibn∑MS (Pn)=iii=1→ ∫ f ( x) dx (интеграл существует, т.к. всякая непрерывнаяaфункция интегрируема).на рис.5 изображен компакт К.Дадим определение ∫∫ f ( x, y )dxdy :KЗададим разбиение Т компакта К:nТ –разбиение компакта К: {K = Υ K i ; Ki: S(Кi ∩ Кj ) = 0, i≠ j}i= 1Выбираем некоторую точку Р(ε i ,ηi ), принадлежащую компакту Кi , i = 1,..., n и зададиминтегральную суммуS (T)=n∑ f (εi,η i ) S ( K i ) ,i= 1Обозначим: d(Ki)=max( ( x′, y ′), ( x′′, y ′′) , ( x ′, y ′) ∈ K i ; ( x ′′, y ′ ) ∈ K i ),где ( x′, y ′), ( x′′, y ′′) = ( x ′ − x ′ ) 2 + ( y ′ − y ′ ) 2 -расстояние и диаметр разбиения: d(T) =maxi di .Определение: Двойным интегралом от ограниченной функции f(x,y) по компакту Кназывается:∫∫ f ( x, y )dxdy = lim S (T ) , если такой предел существует.Kd ( T )→0Если такого предела не существует то функция неинтегрируема (например, функцияДирихле, D(x,y), которая в рациональных точках принимает значение 1, а виррациональных точках значение ноль).Свойства двойного интеграла (1-5)1.∫∫ f ( x, y )dxdy = S(K), еслиf(x,y) ≡ 1K2.

S(K) = 0⇒∫∫ f ( x, y )dxdy =0, где f- любая ограниченная функцияK3.∫∫ (λf ( x, y ) + µg( x , y ))dxdy = λ ∫∫ f ( x, y )dxdy + µ ∫∫ g ( x, y )dxdyKK4.S(К1 ∩ К2 )=0⇒K∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫∫ f ( x, y )dxdy + ∫∫ f ( x, y )dxdyK1 ∪ K2K1K2∫∫ f ( x, y )dxdy ≤ M S(K)5.m ≤ f(x,y) ≤ M ⇒ mS(K) ≤K6. Если К- связный компакт и f(x,y)∈C(K), то∃(ξ 0 ,η 0 ) ∈ K : f (ξ 0 ,η 0 ) ⋅ S ( K ) = ∫∫ f ( x, y )dxdyKдоказательство свойств 1-5:1.∫∫ f ( x, y )dxdy = lim S (T )d ( T )→0Kn∑ S (K ) = S ( K ) ⇒ ∫∫ f ( x, y )dxdy =S(K)S (Т)=ii= 1K2. S(K)=0, следовательно, для любого разбиения Т: S(Ki)=0 , i = 1,2,...nS (Т)=n∑ f (ξ ,η ) S ( K ) = 0 ⇒ ∫∫ f ( x , y ) dxdy = lim S (T ) = 0iiii= 13. S (Т)=d ( T )→0Kn∑[λf (ξ ,η )S (K ) + µg (ξ ,η )S ( K )] = λ S(T,f) + µ S(T,g)iiiiiii= 1→ λ ∫∫ f ( x, y )dxdy + µ ∫∫ g ( x, y )dxdy .KK4. S (Т)=n∑n∑f (ξ i ,η i ) S ( K i ) +K i ∈K 2f (ξ i ,η i ) S (K j ) +K j ∈K 2n∑ f (ξit, ηtt ) S ( K t ) →K t ⊂ K1 ∩ K 2∫∫ f ( x, y )dxdy + ∫∫ f ( x, y )dxdyK1K25.

m ≤ f(x,y) ≤ Mn∑ f (ξ ,η ) S ( K )mS(K)=m ∑ S (K ) ≤ S (T ) ≤ M ∑ S (K ) =M S(K)mS(K) ≤ ∫∫ f ( x , y )dxdy ≤ M S(K)S (Т)=iiii= 1iiK6. m ≤принимает все∫∫ fdxdyKS(K)≤ M , где функция f определена на связном компакте изначения между M и m.⇒ ∃(ξ 0 ,η 0 ) ∈ K ⇒ f (ξ 0 , η0 ) =∫∫ fdxdyKS(K)Геометрический смысл двойного интеграла функции f(x,y) на компакте К:(f(x,y)>0)V= ∫∫ f ( x, y )dxdy – объем цилиндроида, изображенного на рис.6Kрис.6Теорема без (док-ва): Если f(x,y)-непрерывна на К, то существует∫∫ f ( x, y )dxdy .KТеорема: Если К = К1 ∪ К2 и S(K2)=0, то можно отбросить К2, т.к. S(K2)=0⇒ ∫∫ f ( x , y ) dxdy = ∫∫ f ( x, y )dxdyKK1.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций