5-Методическое пособие - изучение колебаний (1109783), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

В этом случаеможно считать, что(22)M  PR ,т.е. момент силы пропорционален углу отклонения (коэффициентомпропорциональности здесь будет произведение PR ), и, следовательно,прималыхуглахотклоненияколебанияможносчитатьк в а з и у п р у г и м и . Знак минус показывает, что момент силыстремится повернуть тело в направлении, противоположномотклонению.Напишем второй закон Ньютона для вращательного движениятвердого тела (уравнении моментов):J  M .(23)Здесь J — момент инерции тела относительно оси вращения,  d 2 dt 2 — угловое ускорение.

Заменив в выражении (23) моментсилы по формуле (22), а угловое ускорение — второй производной углапо времени, получим:Jd 2d 2PRPR.или22dtdtJ(24)В данном случае это равенство является уравнением движения. В неговходит неизвестная функция времени   t  . Здесь так же, как вуравнении (13), слева стоит вторая производная функции по времени, асправа — сама функция  с постоянным множителем PR J и обратнымзнаком. Закон Ньютона в этом случае будет выполняться в любоймомент времени, если  будет с течением времени изменяться погармоническому закону:   0 sin t   15а круговая частота будетPRmgR.JJ(25)В тех случаях, когда можно считать, что вся масса теласосредоточена в одной точке (центре тяжести), то маятник называетсям а т е м а т и ч е с к и м . Математическим маятником можно считатьшарик, подвешенный на длинной нерастяжимой нити, если длина нитизначительно больше диаметра шарика.

В этом случае расстояние от осивращения до центра тяжести (центра шарика) R можно считать равнымдлине нити l . Момент инерции шарика J — это момент материальнойточки, находящейся на расстоянии l от оси вращения. Относительноэтой оси он равенJ  ml 2 .(26)Здесь m — масса шарика (массой нити пренебрегаем).Для частоты колебаний математического маятника с помощьюформул (25) и (26) легко получить выражение:mglml 2g.l(27)Отсюда период колебаний математического маятникаT2 2l.g(28)Если имеется физический маятник с периодом колебанийT0  2J,mgR(29)то всегда можно подобрать математический маятник такой длины L , укоторого период колебаний также будет T0 . Длина такогоматематического маятника L называется п р и в е д е н н о й длинойданного физического маятника.

Так как, согласно формуле (28), дляэтого математического маятника16T0  2l,g(30)то, приравнивая формулы (29) и (30), найдем для приведенной длиныследующее выражениеLJ.mR(31)Ясно, что все физические маятники, имеющие одинаковуюприведенную длину, имеют и одинаковый период колебаний.По теореме Штейнера-Гюйгенса момент инерцииJотносительно данной оси связан с моментом инерции J 0 относительнооси, параллельной данной и проходящей через центр тяжести,формулой:J  J 0  mR 2 ,(32)где m — масса тела, R — кратчайшее расстояние между этимиосями.

С помощью формулы (32) выражение для приведенной длины(31) можно представить в виде:LJ0R.mR(33)Откуда видно, во-первых, что L больше R и, во-вторых, чтоLR J0.mR(34)Точка, лежащая на прямой, проходящей через центр тяжести иточку подвеса физического маятника, на расстоянии L от точки подвесапо другую сторону центра тяжести, называется ц е н т р о м к а ч а н и я .Если физический маятник подвесить в центре качания, то расстояние отцентра тяжести до новой точки подвеса будет L  R , и новуюприведенную длину можно найти по формулам (33) и (34)L J0J0JJ  L  R  0  R 0  L.m L  Rm  J 0 mR  mRmR(35)Оказывается, что L  L , и следовательно, если для физическогомаятника, подвешенного в какой-либо точке, найти центр качания, а17затем подвесить его в центре качания, то период колебаний остаетсяпрежним, а бывшая точка подвеса станет центром качания.8.

ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯЕсли не учитывать силы трения, то согласно формулам,полученным в §5, упругие и квазиупругие колебания будутгармоническими. Это означает, что их амплитуда не зависит от времени,и система, раз выведенная из положения равновесия, будет колебатьсябесконечно долго. На самом же деле, как известно из опыта, колебаниялюбой системы, если она не получает извне дополнительной энергии, вконце концов прекращаются, как говорят, затухают.

Это происходитпотому, что в реальных случаях всегда в системе имеются силы трения,благодаря которым энергия системы постепенно переходит в тепловуюэнергию.Если скорость движения невелика, то в ряде случаев (трение вхорошо смазанных подшипниках, сопротивление воздуха) трение можносчитать жидким, т.е. силы трения пропорциональными первой степенискорости:f тр  bV  bdX.dt(36)Здесь b — коэффициент пропорциональности (коэффициенттрения). Знак минус показывает, что сила трения направлена противдвижения (в сторону, противоположную скорости).Для изучения колебательного движения при наличии тренияобратимся снова к движению груза, подвешенного на пружине.

В этомслучае во второй закон Ньютона (12) кроме упругой силы (11) войдетеще сила трения (36):ma  f  f тр .(37)Откудаmd2XdX  kX  b2dtdtbkили X  X  X  0 .mm(38)Решение этого уравнения движения, т.е. нахождение функциивремени X  X t  , удовлетворяющий закону Ньютона в любой моментвремени, довольно сложно. Приведем здесь сразу окончательноевыражение:18X  t   Aebt2msin t    .(39)Здесь  определяется механическими свойствами системы (еепараметрами — упругостью пружины k , массой груза m икоэффициентом трения b ):2k  b  .m  2m (40)В справедливости этого решения можно убедиться, подставив в (38)выражение (39) и приняв во внимание (40).

При этом левая частьуравнения (38) окажется тождественно равна правой.Колебания, закон которых выражается формулой (39), уже небудут гармоническими. Вформулу (39) входят двамножителя, зависящих отвремени. Один из них —являетсяsin t   —периодической функциейвремени, а другой —bt2m—стечениемeвремени убывает. Есликоэффициент трения мал,2т.е.k  b  ,m  2m тоbt2mвеличинуA1  Aeможно считать амплитудой, которая уменьшается с течением временипо показательному (экспоненциальному) закону.

Отношение двухпоследовательных амплитуд (т.е. амплитуд, взятых через промежутоквремени, равный периоду T )btbTAnAe 2 m2meb t T An 1Ae 2 m(41)не зависит от времени, а зависит только от механических свойствсистемы и может служить характеристикой затухания колебаний. Этоотношение называется д е к р е м е н т о м затухания. Чем больше19декремент затухания, тем скорее уменьшается амплитуда. Частозатухание характеризуют натуральным логарифмом этого отношения:  lnAnbT.An1 2m(42)называетсялогарифмическимдекрементом затухания.При малом затухании логарифмический декремент  имеет оченьпростой физический смысл.

Он показывает, на какую долю своейвеличины амплитуда уменьшается за период. В самом деле, из формулы(41) следует, чтоВеличинаAn1  An eОтсюдаbT2m An e An  An1  An 1  e .И если воспользоваться формулойe   1   ,то получитсяAn  An1 .An(43)При очень больших коэффициентах трения b [когда k m  b 2m2 ],несмотря на наличие сил, возвращающих систему в положениеравновесия, колебания не возникают. Система возвращается вположение равновесия асимптотически (не переходя положенияравновесия).

Такое движение называется а п е р и о д и ч е с к и м . Нарис. 8 показан характер колебаний при различных декрементахзатухания.Затухание колебаний по показательному закону происходиттолько в том случае, когда сила трения пропорциональна скорости. Приэтом отношение двух последовательных амплитуд (декрементзатухания) остается постоянным.

При других типах сил трения и законзатухания получается другим. Могут быть колебательные системы, вкоторых жидкое трение пропорционально квадрату скорости; в иныхсистемах имеется сухое трения. Если на опыте получается, чтоотношение двух последовательных амплитуд не является постоянным,то это означает, что трение в этой системе не пропорциональноскорости.209. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯКолебания, которые происходят в системе под действиемпериодически изменяющейся силы, называются в ы н у ж д е н н ы м ик о л е б а н и я м и . Как показывает опыт, частота вынужденныхколебаний совпадает с частотой вынуждающей силы.В качестве примера системы, совершающей вынужденные колебания, рассмотрим колебания груза массы m , подвешенного на пружинес коэффициентом жесткости k .

Будем предполагать, что на груз действует вынуждающая сила, изменяющаяся по периодическому закону:F  F0 sin t(44)с угловой частотой  , периодом T  2  и амплитудой F0 . Мыпредположим еще, что на груз во время его движения действует силатрения f тр , пропорциональная первой степени скорости. Силу тяжести,действующую на груз, не будем принимать во внимание, так как онауравновешивается начальным натяжением пружины.Для нахождения положения груза X как функции времени напишем второй закон Ньютона с учетом всех сил, действующих на груз:dXсилы упругости пружины f  kX , силы трения f тр  bV  b,иdtвынуждающей силы F  F0 sin t :(45)ma  f  f тр  Fилиmd2XdX kX  b F0 sin t .2dtdt(46)Наконец, если мы разделим на m обе части уравнения (46) и оставимсправа только вынуждающую силу, то получим:Fd 2 X b dX 02 X  0 sin t .2dtm dtm(47)Здесь 0  k m — собственная частота колебаний груза (без учетатрения).

Выражение (47) представляет собой уравнение движения груза.21В случае свободных (собственных) колебаний амплитуда иначальная фаза определяются начальными условиями (величинойскорости и смещения в начальный момент времени), а частота зависиттолько от свойств самой системы (ее параметров k и m ).

Частотавынужденных колебаний определяется частотой вынуждающей силы.Поэтому можно предположить, что, если груз раскачивает сила,изменяющаяся по гармоническому закону, то груз будет колебатьсятакже по гармоническому закону с той же частотой, т.е. смещение грузабудетX  A sin t    .(48)Здесь  представляет собой разность фаз колебаний груза ивынуждающей силы. Амплитуда вынужденных колебаний A и разностьфаз  должны зависеть от величин, характеризующих систему (еепараметров m , k , b , 0 ), и величин, характеризующих вынуждающуюсилу ( F0 и  ). Эту зависимость можно найти следующим путем.Предполагая, что X имеет вид (48), найдем скорость и ускорение груза,т.е.

dX dt [см. формулы (5), (6) §3]. Так как закон Ньютона долженвыполняться в любой момент времени, то, подставляя X , dX dt ,d 2 X dt 2 в левую часть уравнения (47), мы должны подобрать такиезначения A и  , чтобы в любой момент времени левая часть уравнениябыла равна правой. Если мы сумеем это сделать, мы тем самым, кстати,докажем справедливость нашего предположения о том, что поддействием гармонической вынуждающей силы груз совершаетгармонические колебания.Оказывается, что уравнение (47) обращается в тождество, еслиX выражается формулой (48),F0Amиtg  202 2b2 2 2mb.m  2  02 (49)(50)Для вывода формул (49) и (50) нужно подставить в левую частьуравнения(47)иdX dt  A cost  X  Asin t   ,d 2 X dt 2  2 Asin t   и разложить выражения sin t   иcost   по формулам для синуса и косинуса суммы углов.

Характеристики

Список файлов лабораторной работы