№ 10а (1109790)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТимени М.В.ЛОМОНОСОВА____________________________________________________________Физический факультеткафедра общей физики и физики конденсированного состоянияМетодическая разработкапо общему физическому практикумуЛаб. работа № 10аКРЕСТ ОБЕРБЕКАОписание составилидоцент Белов Д.В. и ст. преп. Богданов А.Е.МОСКВА 2012Подготовил методическое пособие к изданию доц. Авксентьев Ю.И.3КРЕСТ ОБЕРБЕКАЦель работы.

Целью работы является определение моментаинерции креста Обербека при различных параметрах экспериментальнойустановки, а также проверка следствия из уравнения моментов и теоремы опараллельных осях (теоремы Гюйгенса-Штейнера). В процессе подготовкии выполнения задачи необходимо изучить механическую систему скрестом Обербека, а также освоить теоретические понятия и вопросы,связанные с вращательным движением твёрдого тела (момент инерции,теорема о параллельных осях, основное уравнение динамикивращательного движения твёрдого тела - уравнение моментов).Экспериментальный метод. Электронным секундомеромизмеряется время tдвижения груза нанити, намотаннойна шкив крестаОбербека.Черезвремя t выражаетсяускорение a груза,которое входит всистему уравнений,описывающихдинамикупоступательногодвижения груза ивращательногодвижениякрестаОбербека.Этасистема уравненийвключает в себявторойзаконНьютона, уравнениемоментов и связьмежду линейным иугловымускорениями.Еёрешение позволяетопределить моментРис.

1инерциикрестаОбербека.4ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИУстановка "Крест Обербека" представлена на рис. 1.Элементы установки размещены на кронштейнах 1, 2, 3, которыезакрепляютсянавертикальной стойке 4 при помощи винтов-барашков.Вертикальнаястойка 4 выполнена из металлической трубы, на которуюнанесена миллиметровая шкала.

Стойка жёстко закреплена в основании 5,снабжённом тремя регулируемыми опорами 6.Основной частью креста Обербека, размещённого на кронштейне 2,является крестовина, представляющая собой четыре одинаковыхвзаимно перпендикулярных стержня 7, закреплённых в валике 8.Крестовина вместе с двухступенчатым шкивом 9 (с радиусами R1 и R2,R2 > R1) может свободно вращаться вокруг оси А 10, перпендикулярнойплоскости рисунка и параллельной оси OZ системы координат 11.Свободное вращение с малым трением обеспечивается тем, что ось Акрестовины находится в узле подшипников (на рис. 1 не показан).

Накаждом стержне 7 при помощи винтов 12 закрепляется подвижныйцилиндр 13. Для проведения измерений необходимо, чтобы все четырецилиндра (13), закреплённые на стержнях, находились на одинаковомрасстоянии от оси А. Для удобства на стержнях через каждые 1 смнанесены риски. Таким образом, устройство крестовины позволяет легкоизменять расстояние от всех четырёх цилиндров 13 до оси вращения А, и,как следствие, менять момент инерции всего креста Обербека.

Здесь и вдальнейшем под крестом Обербека будем понимать совокупность частейустановки, которые вместе совершают вращательное движение вокруг осиА - крестовины с цилиндрами, двухступенчатого шкива, валика с осьюподшипника.На каждой ступени шкива 9 сделан зубец для закрепления одного изконцов нити 14, которую можно считать невесомой и нерастяжимой. Нитьнаматывается на шкив и проходит через верхний вспомогательныйблок 15, предназначенный для изменения направления движения нити.Блок 15 имеет значительно меньшую массу, чем масса креста Обербека, ипотому мало влияет на вращение креста. Ко второму концу нити крепитсянаборный груз 16.

Массу наборного груза 16 можно менять в пределах50 - 150 г. Груз 16 можно поднять на некоторую высоту, если намотатьчасть нити на шкив. Для этого крестовину надо вращать против часовойстрелки. Если после подъёма груза крест Обербека освободить отвнешнего воздействия, то он начнёт вращаться по часовой стрелке сугловым ускорением, направленным по оси OZ, "от читателя". Наборныйгруз будет двигаться с ускорением вниз, в направлении оси OY.Для указания начального положения груза используется флажок17, надетый на вертикальную стойку. Флажок 17 можно перемещать вдоль5стойки.Конечное положение груза фиксируется с помощьюфотодатчика, оптическая ось 18 которого изображена штрихпунктирной линией и направлена вдоль оси OX системы координат 11.Время движения груза от начального положения к конечному измеряетсяэлектронным секундомером 19, соединённым электрическимикабелями 20 и 21 с фотодатчиком и электромагнитным тормозом(э/м) соответственно.

Э/м тормоз находится за двухступенчатым шкивом ина рис. 1 не показан. Он предназначен для фиксации креста Обербека внеподвижном состоянии в начале эксперимента, выдачи электрическогосигнала начала отсчёта времени и торможения вращения системы вокругоси А после завершения отсчёта времени. Отсчёт времени движениянаборного груза электронным секундомером завершается автоматическипри пересечении грузом оптической оси фотодатчика 18.ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬВывод расчетных формул1. Формула для расчёта момента инерции крестаОбербека с использованием экспериментальных данныхrФормулу для момента инерции креста Обербека можно получить изсистемытрёхуравнений:r2T2 ra)уравненияr1поступательногодвижениягрузаT1 r(второйзаконT2NНьютона),Nb)уравненияr NмоментовдляAвращательногодвижениякрестаM g Обербека,T1c)формулыMgкинематической связиZмеждулинейным0ускорением груза иXугловым ускорениемmgкреста Обербека.

ДляYнаглядностисилы,действующиенадвижущиесятелаРис. 2установки,представлены также6на рис. 2.а). Уравнение поступательного движения груза. На груз16, висящий на нити, действуют две силы: сила тяжести mg и силанатяжения нити T1 . Запишем второй закон Ньютона для этого груза ввекторной форме: ma  mg  T1 ,(1)где m- масса груза, a - его ускорение, g - ускорение свободного падения.В проекции на ось OY уравнение (1) имеет вид:may  mg  T1 .(2)б). Уравнение моментов. В правой части уравнения моментовдля креста Обербека ( I   M iz ) фигурируют моменты относительноiоси вращения А, параллельной оси OZ, всех сил, действующих на крест.Напомним, что моментом силы F относительно некоторой оси OZназывается вектор M z  r , F , где r - вектор, проведённый от оси OZперпендикулярно к ней в точку приложения силы; F - составляющаясилы F , лежащая в плоскости, перпендикулярной оси OZ.

Модульмомента силы равен M z  r F sin  (  -- угол между векторами r иF ), а направлен он, согласно правилу буравчика, вдоль оси OZ в ту илииную сторону.Из рис. 2 видно, что моменты сил тяжести mg и реакции опоры N ,на которую насажен крест Обербека, равны нулю.

Для силы тяжестиr  0 , а в случае силы N  = 0 (как показано в правой части рис. 2).Силами трения в подшипниках и сопротивлением воздуха мыпренебрегаем, поэтому отличным от нуля остаётся только момент силы Mr,Tнатяжения нити T2 :z2 . Он имеет модуль M z  RT2(поскольку r  R , а sin = 1, так как  = 90 ) и направлен по оси OZ,так что его проекция на ось вращения OZM z  RT2 .(3)Таким образом, уравнение моментов для креста Обербека в векторнойформе имеет вид:7 I  r ,T2,(4)а в проекции на ось вращения OZI z  RT2 .(5)В этих формулах I -- момент инерции креста Обербека, R - радиус шкива,на который намотана нить,  и  z - угловое ускорение креста и,соответственно, его проекция на ось OZ.Аналогичные рассуждения приводят к уравнению моментов дляверхнего вспомогательного блока в проекции на его ось вращения,параллельную оси OZ:I r  rz  rT1r  rT2 r ,(6)где Ir -- момент инерции верхнего блока, r- его радиус, rz - проекцияуглового ускорения блока на ось вращения.

Знак "минус" у проекциимомента силы натяжения T2 r обусловлен тем, что этот момент силынаправлен против оси OZ. Момент инерции блока Ir настолько мал, что,как показывает оценка, в пределах точности опыта можно считатьI r  rz  0 . В этом приближении из (6) следует, что T1r  T2 r . В своюочередь, T1  T1r и T2  T2 r , так как силы натяжения на свободном участкенити (между её контактами с другими телами) одинаковы в силуневесомости нити.

Таким образом, все силы натяжения, задействованные виспользуемых уравнениях, имеют одинаковую величину T:T1  T1r  T2 r  T2  T .(7)в). Связь между линейным и угловым ускорениями(кинематическая связь)Найдём связь между проекциями линейного ускорения груза ay иуглового ускорения креста Обербека z. Напомним, что согласноопределению угловых скорости и ускорения их проекции на ось вращенияz и z определяются формулами:  z d zdи z .

При этомdtdtпредполагается, что положительное направление отсчёта угловойкоординаты  связано с направлением оси вращения OZ правилом"буравчика" (указано стрелкой с "оперением" на рис. 3). Поскольку нить8нерастяжима и не проскальзывает по шкиву, при малом смещении yгруза такой же путь S по дуге радиуса R совершит любая точка Bповерхности шкива (рис. 3): y = S. Из определения угла в радианах = S/R, так что(8)y  R .Разделив обе части равенства (8) на t и переходя к пределу при t  0,получим:dyddyd, то есть с учётом того, что v y и z ,Rdtdtdtdtv y  R z .(9)Дифференцируя по времени равенство (9), с учётомнаходим искомую связь между ускорениями:dv ydt ay иa y  R z .t)tB(t)S(10)г).

Расчётная формуладля момента инерцииУравнения (2), (5) и (10)с учётом (7) дают систему трёхуравненийдлятрёхнеизвестных величин I, z и Т:AB(t+d z z ,dtt+Z0Xtyma  mg  T I  RTa  R(11)(для краткости индексы уускорений опущены: a = ay, = z). Исключая из этихРис. 3уравнений неизвестные  иТ (например, выражая их соответственно из второго и третьего уравненийв (11) и подставляя полученные выражения в первое уравнение), получимследующую формулу для момента инерции креста Обербека:Y9gI  mR2 (  1) .a(12)Из этой формулы следует, что ускорение груза a постоянно и его можноat 2выразить по известной формуле h через время движения груза t и22hвысоту h: a  2 . Подставляя это выражение в (12), получимtокончательную формулу, которая используется в задачеэкспериментального определения момента инерции креста Обербека: gt 2 I  mR  1 . 2hдля2(13)2.

Формула для теоретического расчёта момента инерциикреста ОбербекаВыясним, из каких составляющих складывается момент инерции Iкреста Обербека. Момент инерции - величина аддитивная. Это значит, чтомомент инерции какого-либо тела равен сумме моментов инерции всехчастей, из которых состоит это тело. Представим величину I в виде суммыдвух величин: момента инерции IA креста без подвижных цилиндров ичетырёх одинаковых моментов инерции I' подвижных цилиндровотносительно оси вращения креста А:I=IA + 4I'.(14)Момент инерции каждого цилиндра I' также представим в виде суммы,используя теорему о параллельных осях (теорему Гюйгенса-Штейнера):I' = IA' + mC l2.(15)Здесь: IA' - момент инерции подвижного цилиндра относительно оси A'(см.

(22) на рис. 1), проходящей через центр масс цилиндра и параллельнойоси A, l - расстояние между осями А и А', mC - масса цилиндра.Подставляя соотношение (15) в (14), получим:I = IA + 4IA' + 4mC l2.(16)10Момент инерции IA креста без цилиндров рассчитаем как моментинерции четырёх одинаковых стержней относительно оси А, проходящейчерез конец каждого стержня:ml L2.I A теор  43(17)Здесь ml- масса стержня, L - его длина (см. Таблицу 1). Формула (17) неучитывает моментов инерции двухступенчатого шкива и валикаподшипника, но они значительно меньше момента инерции четырёхстержней.Момент инерции IA' цилиндра относительно оси А', проходящейчерез центр масс цилиндра перпендикулярно его аксиальной осисимметрии X (рис. 4), рассчитывается по формуле:11I A теор  mC RC2  mC L2C ,412(18)где RC - радиус основания цилиндра, LC - длина цилиндра (см.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лабораторной работы