№ 11 (1109791)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТимени М. В. ЛомоносоваФизический факультеткафедра общей физики и физики конденсированного состоянияМетодическая разработкапо общему физическому практикумуЛаб. работа № 11ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ТЕЛ ИПРОВЕРКА ТЕОРЕМЫ ШТЕЙНЕРА МЕТОДОМКРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙОписание составил доцент Белов Д.В.Москва - 2012Подготовил методическое пособие к изданию доц. Авксентьев Ю.И.3ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ТЕЛ И ПРОВЕРКАТЕОРЕМЫ ШТЕЙНЕРА МЕТОДОМ КРУТИЛЬНЫХКОЛЕБАНИЙЦелью работы является определение момента инерции тел и проверкатеоремы о параллельных осях методом крутильных колебаний.ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ЭКСПЕРИМЕНТАЕсли для однородных тел простой формы моментинерции можно без особых затруднений вычислитьтеоретически, т.е. по определению, то для тел сложной формыили с неравномерным распределением массы прямойтеоретический расчет может оказаться сложным и дажепрактически неосуществимым.

Поэтому большой интереспредставляют экспериментальные методы определениямомента инерции. Один из них - метод крутильных колебанийтрифилярного подвеса - изучается в настоящей задаче.Трифилярный подвес представляет собой круглуюплатформу, подвешенную на трех нитях к неподвижному диску меньшегорадиуса (рис.1). Если платформу, пустую или с грузом, повернуть на малый уголвокруг вертикальной оси и отпустить, то она будет совершать движение,представляющее собой два одновременно происходящих колебания: колебание"вверх-вниз" в вертикальном направлении и крутильное колебание относительновертикальной оси симметрии подвеса. Легко видеть, что период Т крутильных4колебаний вдвое больше периода вертикальных колебаний (рис.2): за один и тотже промежуток времени (t3 - t1) подвес совершит половину крутильногоколебания (пройдя из положения с максимальным углом отклонения +0 вположение с максимальным по модулю углом отклонения -0 впротивоположном направлении) и одновременно целое колебание ввертикальном направлении (из наивысшего положения с h = h0 через наинизшееположение с h = 0 снова в наивысшее положение).Выведем формулу, связывающую момент инерции системы "платформа +груз" с периодом крутильных колебаний.

Сначала воспользуемся закономсохранения механической энергии. На систему "платформа + груз" действуютсилы тяжести, силы натяжения нитей и силы трения. Силы тяжестиконсервативны; работа сил натяжения равна нулю, так как сила натяженияперпендикулярна направлению движения точки ее приложения, т.е. точкизакрепления нити на платформе; силами трения ввиду их малости пренебрегаем.Поэтому, согласно закону изменения и сохранения механической энергии,механическая энергия рассматриваемой системы должна сохраняться.В тот момент (t1 на рис.2), когда платформа находится в наивысшемположении, система обладает потенциальной энергией1Епот mgh0 ,где m - масса системы и g - ускорение свободного падения, в то время как ее( 1)кинетическая энергия Eкин= 0, так как в этот момент система останавливается. Вдругой момент времени, когда система проходит положение равновесия (t2 на(2)рис.2), наоборот, Eпот= 0, так как h (t2) = 0, в то время как кинетическаяэнергия системыJ 022Екин 2где J - момент инерции системы относительно осивращения, а 0 - ее угловая скорость в моментпрохождения положения равновесия.Приравниваяпозаконусохранениямеханическойэнергиизначенияполноймеханической энергии в моменты t1, и t2, имеемJ 02mgho 2(1)Выразим теперь угловую скорость 0 черезмаксимальный угол отклонения 0 .

Считаякрутильные колебания гармоническими, имеем 2  t   0 sin  t    Tгде 0 - амплитуда, Т - период и  - начальная фаза.5Угловая скорость , согласно определению, выразится так:d2 2 t   0cos  dtT T 2t     1, для максимального значения Из последней формулы, полагая cos  Tимеем:20  0TПодставляя это выражение в формулу (1), получим1 20 mgh0   J  2 T 2(2)Наконец, найдем связь между величинами h0 и 0 в формуле (2). На рис.

3изображены положения точки закрепления нити в момент прохожденияположения равновесия (А) и в момент максимального подъема (А1). Здесь R = AO =A1O1 - радиус платформы; r = C1O1 - радиус верхнего диска; l = AB = A1B - длинанити; h0 = 001 = СС1 - максимальная высота подъема; 0 - максимальный уголповорота. Как видно из рисунка, h0= СС1 = ВС - BC1. Используем формулу дляразности квадратов:( BC ) 2  ( BC1 ) 2h0  BC  BC1 .BC  BC1(3)2Входящие сюда величины легко вычислить: (ВС) найдем по теоремеПифагора из треугольника ABC(ВС)2= (АВ)2 - (АС)2= l2 - (R - r)2,(ВС1)2 выразим по теореме Пифагора из(4) A1BC1, используя также теоремукосинусов для стороны A1C1 треугольника A1C1O1(BC1)2 = (A1B)2 - (A1C1)2 = l2 - (R2 + r2 - 2Rr cos 0).(5)При малых углах отклонения и при условии R ~ r выражение взнаменателе формулы (3)BC + BC1 ~ 21.(6)6Подставляя полученные выражения (4)-(6) в формулу (3), имеем:h2 Rr 1  cos 0 2l2 Rr sin 2lТак как для малых углов sin  , то sin202 .02024, так чтоRr02h0 2l(7)Подставляя соотношение (7) в формулу (2), получим:mgRr02 1 4 202 J2l2T2откудаJmgRr 2T4 2l(8)По этой формуле, зная соответствующие параметры системы и измеривпериод колебаний, можно вычислять моменты инерции.Упражнение 1ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ПУСТОЙПЛАТФОРМЫПредварительно успокоив платформу, сообщают ей слабый вращательныйимпульс, слегка дернув за веревку, прикрепленную к верхнему диску.

Амплитудавозникших крутильных колебаний должна быть столь малой, чтобымаксимальное отклонение точки закрепления нити в каждую сторону непревышало 1 см, поскольку при больших амплитудах колебания могутсущественно отличаться от гармонических. Кроме того, следует по возможностиизбегать поперечных колебаний платформы. В один из моментов,соответствующих максимальному отклонению платформы от положенияравновесия, включают секундомер и измеряют время t двадцати полныхколебаний. Чтобы исключить возможную ошибку в счете числа колебаний, опытповторяют пять раз, добиваясь того, чтобы измеренные значения времени tотличались друг от друга не более, чем на (0,2-0,4) с.7Чтобы избежать вычисления периода колебаний и упростить процедуруоценки погрешности, целесообразно ввести в формулу (8) вместо периода Тнепосредственно измеряемое время t (T = t/20)J пл mgRrt 21600 2l(8a)Подставляя сюда в единицах СИ среднее значение t и других величин,входящих в формулу (указаны в табличке на столе), вычисляют моментинерции платформы Jпл.

Оценив погрешности, записывают окончательныйрезультатJпл = (......) кг м2 ;J= ...%.JУпражнение 2ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ЦИЛИНДРАОТНОСИТЕЛЬНО ЕГО ОСИДва одинаковых цилиндра массой М каждый располагают на платформеодин на другом так, чтобы их оси совпадали с осью симметрии платформы - дляэтой цели на платформе нанесена система концентрических окружностей.Формула (8а), где в качестве массы системы теперь следует взять сумму масс (m+ 2M) платформы m и двух цилиндров 2М, определит момент инерции всейсистемы, т.е.

сумму момента инерции платформы Jпл и двух одинаковыхмоментов инерции J0 цилиндров относительно их осейJ пл  2 J 0m  2M  gRrt 21600 2lОтсюда для искомого момента инерции цилиндра относительно его оси имеем21   m  2M  gRrtJ0  Jпл 21600 2l(8б)Суммарная масса двух цилиндров 2М определяется взвешиванием.Время t двадцати колебаний системы измеряется так же, как в упражнении I.Оценив погрешности, представляют окончательный результат в видеJ0 = (......) кг м2 ;J 0=J0...%.8Рекомендуется также, измерив диаметр цилиндра D, рассчитать момент2инерции цилиндра по теоретической формуле J0 = 1/2 m (D/2) и результатысопоставить.Упражнение 3ПРОВЕРКА ТЕОРЕМЫ О ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ОСЯХРасполагают цилиндры по обе стороны от оси платформы так, чтобы ихцентры находились на одной прямой с центром платформы на одинаковыхрасстояниях от него (рис.4).

Определяют расстояние d от оси цилиндров до осивращения:D  Dd2где D - диаметр цилиндра, aD'расстояниемеждумаксимальноудаленными друг от друга точкамицилиндров.ДиаметрDизмеряетсяштангенциркулем,расстояниеD'линейкой.Точно так же, как в предыдущемупражнении, измеряют в пяти опытахвремя t двадцати колебаний системы и поформуле (8b) вычисляют момент инерцииJэксп цилиндра относительно оси, параллельной оси цилиндра и отстоящей нарасстоянии d от нее.Затем рассчитывают тот же момент инерции теоретически, пользуясьтеоремой о параллельных осяхJ теор  J 0  Md 2Входящие сюда масса цилиндра М и расстояние d измерены ранее, амомент инерции J0 цилиндра относительно его оси вычислен в упражнении 2.Оценив погрешности для обоих способов, сопоставляют результатыJэксп = (......) кг м2 ;Jтеор = (......) кг м2 ;J 0= ...%.J0J 0= ...%.J09Упражнение 4ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИПРЯМОУГОЛЬНОГО ПАРАЛЛЕПИПЕДА ОТНОСИТЕЛЬНОЕГО ОСЕЙ СИММЕТРИИРасполагая параллелепипед на платформе так, чтобы с осью симметрииподвеса совпадала одна из его осей симметрии, например, ось 1 на рис.5,определяют его момент инерции J1 относительно этой оси тем же способом,каким определялся момент инерции цилиндра в упражнении 2, по формулеm  M  gRrt 2J1  J пл .1600 2l,Масса параллелепипеда М определяетсявзвешиванием."Аналогично находят моменты инерции J2 и J3 параллелепипедаотносительно осей 2 и 3.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лабораторной работы