5-Методическое пособие - изучение колебаний (1109783), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Затем22нужно сгруппировать члены так, чтобы можно было вынести за скобкиsin t и cos t . Если скобку, стоящую множителем при cos tприравнять нулю, а скобку, стоящую множителем при sin t ,приравнять F0 m , то левая часть уравнения (47) будет равна правой длялюбого момента времени t . В результате для определения A и получается два уравнения:A 02   2  sin  b A cos   0 ,mFbA 02   2  cos    A sin   0 .mm(51)Из первого уравнения сразу следует формула (50), а дляполучения формулы (49) надо оба уравнения (51) возвести в квадрат исложить, учитывая, что sin 2   cos 2   1 .Рассмотрим зависимость амплитуды вынужденных колебаний отпараметров системы и вынуждающей силы.

Из формулы (49) видно, чтоамплитуда вынужденных колебаний A пропорциональна амплитудевынуждающей силы F0 и зависит от соотношения частот междувеличиной собственной частоты системы 0 и величиной частотывынуждающей силы  . Когда частота вынуждающей силы стремится кнулю (очень медленные колебания), амплитуда вынужденных колебанийстремится к величине A0  F0 m02 . При увеличении  амплитуда Aсначала увеличивается, так как уменьшается знаменатель в формуле (49)(уменьшается величина разности 02  2 ), до тех пор, пока  неприблизится к 0 .

При дальнейшем увеличении  знаменатель вформуле (49) начинает увеличиваться. При этом амплитуда A стремитсяк нулю при  , стремящемся к бесконечности. На графике (рис. 9)зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частотывынуждающей силы изобразится кривой, имеющей максимум вблизи  0 . Явление, заключающееся в увеличении амплитудывынужденных колебаний, когда частота вынуждающей силы приближается к собственной частоте системы, называется р е з о н а н с о м , аграфик зависимости амплитуды от частоты вынуждающей силы —амплитудной резонансной кривой .Приравняв нулю производную по  подкоренного выражения вформуле (49), можно найти точное значение, при котором амплитуда Aдостигает максимума: рез  02 b2.2m 2(52)23Следовательно, только при условии, что можно пренебречьтрением (при 0  b m ) выполняется равенство  рез  0 .

Можно такжепоказать, что когда трение мало, амплитуда A имеет максимальноезначениеFFA рез  0  0 2 .(53)b  m Отсюда видно, что A рез обратно пропорциональна коэффициентутрения b или логарифмическому декременту затухания  [согласноформуле (42) §8   b 2mT  b m0  ]. Если бы мы не принимали вовнимание трения ( b  0 ) при выводе формулы (49), то мы получили бы,что при резонансе амплитуда становится бесконечной [нуль взнаменателе формулы (53)], чего на самом деле никогда не бывает.Если увеличить декрементзатухания, не изменяя остальныхпараметровсистемыивынуждающейсилы,торезонансная кривая на графикепойдет ниже (рис.

9,а). Резонансстановитсяменеерезковыраженным. При очень большомзатухании (    2 ) максимумвообще исчезает.Затуханиевсистемехарактеризуют также шириной резонансной кривой на высоте,A рез 2 .равнойРис. 9,апоказывает, что ширина кривойнаэтойвысотеприблизительно пропорциональналогарифмическомудекрементузатухания  .Если мы хотим добиться,чтобы система под действиемвынуждающих сил различнойчастоты сильно раскачиваласьтолько от силы с определеннойчастотой и мало реагировала надругие частоты, то нужно, вопервых, подобрать подходящуюсобственную частоту системы и,24во-вторых, позаботиться о том, чтобы трение было возможно меньше.Если же нам, наоборот, нужно, чтобы система под действиемпериодических вынуждающих сил колебалась возможно меньше,необходимо увеличить затухание.Когда на систему начинает действовать периодическиизменяющаяся сила, то амплитуда вынужденных колебаний постепенновозрастает до того значения, которое она должна иметь согласноформуле (49) для данного соотношения частот  и 0 .

Одновременно свынужденными колебаниями при включении вынуждающей силы (илипри любом изменении ее частоты или амплитуды) возникаютсобственныеколебаниясистемы,которыескладываютсясвынужденными колебаниями. Собственные колебания постепеннозатухают, и амплитуда вынужденных колебаний устанавливается. Еслидекремент затухания мал, то установление амплитуды происходитдолго. Часто в результате сложения вынужденных и собственныхколебаний (вблизи резонанса, когда собственная частота близка кчастоте вынуждающей силы) возникают биения.Графики зависимости фазы  вынужденных колебаний от  принулевой фазе вынуждающей силы называются фазовыми резонанснымикривыми. Из формулы (50) следует, что  arctgb.m  2  02 (54)Резонансные кривые, построенные с помощью этой формулы дляразличных значений логарифмического декремента затухания показаны на рис.

9,б. Значения отрицательны для любых  , т.е.вынужденные колебания всегда отстают по фазе от колебанийвынуждающей силы. При любых значениях  фаза вынужденныхколебаний    2 при   0 . Если значение  мало, то при   0значения  малы, и вынужденные колебания имеют фазу, которая малоотличается от фазы вынуждающей силы. Вблизи резонанса значения  вэтом случае резко изменяются и после резонанса приближаются к   ,т.е. вынужденные колебания происходят практически в противофазе поотношению к колебаниям вынуждающей силы.Все выводы, которые мы сделали для вынужденных колебанийсистемы с упругой силой, верны, конечно, и для любых систем сквазиупругими силами.

Общий же характер поведения амплитудысистемы, совершающей вынужденные колебания, в зависимости отсоотношения между собственной частот ой системы и частотой внешнихвоздействий (резонанс) сохраняется для любых физических величин,хотя амплитуды при этом могут и не быть смещениями точки, а внешние25воздействия не представлять собой механических сил (например,величина силы тока, возникающего в контуре радиоприемника поддействием переменного электромагнитного поля).Нужно, однако, отметить, что в тех случаях, когда действующиев системе силы не пропорциональны первой степени смещения, илисилы трения не пропорциональны первой степени скорости (при такназываемых нелинейных колебаниях), резонансные кривые могутсильно отличаться от изображенных на рис.

9. Например, они могутбыть значительно более несимметричными, на них могут появитьсядополнительные максимумы и т.д.10. КОЛЕБАНИЯ СВЯЗАННЫХ СИСТЕМС в я з а н н о й с и с т е м о й мы будем называть с л о ж н у юсистему, в которой можно выделить несколько отдельных б о л е епростыхсистем,причемколебаниявкаждой из этих системвлияют на колебания вовсех остальных.Дляизученияколебаний, происходящихв связанных системах, вкачественаиболеепростойсвязаннойсистемы возьмем двагруза с одинаковымиm,массамикоторыеприкрепленыкдвумодинаковым пружинам скоэффициентамижесткости K и связанымеждусобойслабойпружинкойскоэффициентомжесткости k , как показанона рис.

10,а. Для тогочтобыисключитьизрассмотрениясилутяжести, будем считать, что грузы надеты на гладкий стержень. Силамитрения будем пренебрегать. Если бы пружинки k не было, то каждый изгрузов мог бы совершать колебания с собственной частотой260 K.m(55)Для изучения сложной системы часто бывает удобно разбить еена несколько отдельных систем, не связанных между собой. Это можносделать, обычно, несколькими различными способами. Одним из такихспособов для нашей системы будет закрепление одного из грузов вположении равновесия. Система, полученная из сложной, закреплениемвсех материальных точек, кроме одной, называется п а р ц и а л ь н о й .Собственнаячастотапарциальнойсистемыназываетсяпарциальной частотой.В нашем случае парциальная частота каждого груза будетопределяться его массой и действием двух пружин, большой K и малойk . Если в положении равновесия пружины не деформированы, а один изгрузов закреплен, то при смещении груза из положения равновесия однаиз пружин сжимается, а другая растягивается (рис.

10,б). Силы, скоторыми они действуют на груз, будут направлены в одну сторону — кположению равновесия. Поэтому их равнодействующая будетF  f K  f k   KX  kX    K  k  X ,(56)т.е. две пружины с коэффициентами жесткости K и k можно заменитьодной с коэффициентом жесткости K  k . Следовательно, парциальнаячастота груза будет определяться формулойпар K k.m(57)То же самое получится при закреплении второго груза. Ясно, чтопарциальные частоты будут больше собственных частот отдельныхгрузов без связывающей пружинки k .Рассмотрим теперь случай, когда оба груза не закреплены.Возбудить колебания в такой системе можно, например, выведя изположения равновесия оба груза, а затем их отпустив.

При этомкаждому грузу можно сообщить самые различные начальныеотклонения. Рассмотрим два случая из возможных начальныхотклонений:1) оба груза отклонены от положения равновесия на одинаковоерасстояние в одну сторону — либо оба вправо, либо оба влево;2) оба груза отклонены на одинаковое расстояние, но в разныестороны.27Легко заметить, что в первом случае в любой момент временипружинка k будет сохранять свою первоначальную длину l , так какрасстояние между грузами в процессе колебаний не будет изменяться,(грузы колеблются в одинаковых фазах с равными амплитудами)(рис. 10,в).

Характеристики

Список файлов лабораторной работы