5-Методическое пособие - изучение колебаний (1109783), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Рассмотрим здесь наиболее простой случай,который нам понадобится в дальнейшем, когда складываются двагармонических колебания с разными частотами, но с одинаковымиамплитудами и равными нулю начальными фазами:Их сумма(7)X1  Asin 1t , X 2  A sin 2t .Их суммаX  X1  X 2  A sin 1t  A sin 2t 1 1 2 A cos  2  1  t  sin  1  2  t 2 2(8)представляет собой произведение двух периодических функций11cos  2  1  t   cos 1t и sin  2  1  t   sin 2t22с круговыми частотами1 112  1  и 2  1  2  .22Если частоты 1 и 2 мало отличаются друг от друга, то 1является малой величиной, а период изменения косинуса T1  2 1будет величиной большой по сравнению с периодом колебания синусаT2  2  2 . За время одного колебания косинуса успеет произойти1много колебаний синуса.

В этом случае множитель 2 A cos 2  1 t 2можно принять за амплитуду, а величину  2 за частоту колебаний, т.е.9X  X1  X 2  A1 sin 2t(9)При этом амплитуда медленно изменяется с течением времени и1обращается в нуль, когда величина 1t  2  1 t кратна  , т.е. через2промежутки времени   2 2  1  . Такие колебания носят названиеб и е н и й (рис.

4). ВеличинаN1  2  1 2  12(10)называется ч а с т о т о й б и е н и й .5. УПРУГИЕ КОЛЕБАНИЯВообще колебания могут происходить в какой-либо системе, еслипри отклонении ее от положения равновесия возникают силы,стремящиеся вернуть систему в прежнее положение. Колебания,которые происходят под действием возвращающей силы, возникающейвследствие упругой деформации какого-либо тела, называютсяупругими колебаниями.Если груз, подвешенный на пружине, оттянуть вниз на некотороерасстояние, а затем отпустить, то он придет в колебательное движение.Возвращение груза в положение равновесия происходит под действиемдеформированной пружины, т.е.

поддействием упругой силы. По закону Гука,этасила,действующаянагруз,пропорциональнарастяжению(илисжатию)пружины(конечно,еслидеформации не слишком велики), а,следовательно,пропорциональнарасстоянию груза от положения равновесияв данный момент:f  kX(11)ЗдесьрасстояниеотX—положенияравновесия(величинаотклонения груза) (рис. 5), f — величинасилы, действующей на груз со стороны пружины в данный моментвремени t .

Знак минус поставлен, чтобы показать, что сила на груз10действует всегда в направлении, противоположном отклонению. k —коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентомжесткости пружины, имеющий размерность Н м и показывающий,какая сила требуется для растяжения данной пружины на единицудлины.Согласно второму закону Ньютона, движение под действиемсилы происходит ускоренно. Ускорение в любой момент времениопределяется выражениемma  f ,(12)где m — масса груза, a — ускорение. Подставляя в закон Ньютонавыражение для упругой силы (11) (мы не принимаем во внимание силутяжести, действующую на груз, так как она уравновешиваетсяначальным растяжением пружины) и заменяя ускорение второйпроизводной перемещения по времени, получимd2Xm 2  kX ,dtилиd2Xk X.2dtm(13)Применяя сокращенные обозначения, напишем это выражение в виде:kX  X  0 .mЗакон Ньютона, таким образом, выражен в виде уравнения, вкоторое входит неизвестная функция времени X t  и ее втораяпроизводная.

Это уравнение называется у р а в н е н и е м д в и ж е н и я .Так как мы знаем, что закон Ньютона в механике должен выполнятьсяв с е г д а , то в любой момент времени левая часть уравнения (13)должна быть равна правой. Следовательно, чтобы найти законколебаний груза (зависимость от времени величины его отклонения отположения равновесия), надо найти такую функцию времени X , длякоторой вторая производная по времени d 2 X dt 2 отличается от самойфункции постоянным, не зависящим от времени множителем k m изнаком, т.е.

найти такой закон движения, при котором ускорение влюбой момент времени пропорционально отклонению по величине ипротивоположно по знаку. Такой функцией является функция,описывающая гармонические колебания. В самом деле, если подставить11в левую часть уравнения (13) выражение для ускорения пригармонических колебанияхd2X 2 A sin t   ,2dtа в правую часть X  Asin t   , то легко найти, что левая часть будетв любой момент времени равна правой при условии, что2 Отсюдамыk.m(14)делаемвывод, что упругие колебания являютсяг а р м о н и ч е с к и м и колебаниями, причем их круговая частотаkm(15)зависит т о л ь к о от механических свойств (параметров) колеблющейсясистемы: массы груза и упругости (жесткости) пружины, но не зависитот амплитуды и времени.

Амплитуда и начальная фаза колебанийзависят от положения груза в начальный момент времени и начальноготолчка, который получил груз (его начальной скорости). Амплитуда независит от времени, если, конечно, не учитывать трения (см. ниже §8).Колебания, которые происходят в системе, выведенной какимлибо способом из положения равновесия и предоставленной затем самойсебе,называютсясобственнымиилисвободнымик о л е б а н и я м и системы, а частота собственных колебаний —собственной частотой.Гармоническиеколебаниямогутпроисходить не только под действием упругойсилы, но также под действием силы любогопроисхождения,лишьбыонабылапропорциональнаотклонениюсистемыотположения равновесия.

Такие силы называютсяквазиупругими силами.Если уравнение движения (второй законНьютона) можно привести к такому виду, что слевастоит вторая производная какой-то функции повремени, а справа — сама функция с постоянныммножителем и с обратным знаком, то движениеобязательнобудетпредставлятьсобойгармоническиеколебания,длянахождения12собственной частоты которых надо извлечь квадратный корень из этогомножителя.6.

КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯЕсли на упругой нити или проволоке подвесить за серединустержень, чтобы он занял горизонтальное положение, а затем закрутитьнить, повернув стержень в горизонтальной плоскости на какой-либоугол (рис. 6), и отпустить, то стержень начнет колебаться, поворачиваясьвокругвертикальнойоси.Такиеколебанияназываютсяк р у т и л ь н ы м и к о л е б а н и я м и . Величиной, характеризующейположение стержня в какой-то момент времени является угол, которыйон составляет в этот момент времени с его направлением в положенииравновесия. Этот угол  , изменяющийся с течением времени, и будет вэтом случае колеблющейся величиной.Согласно закону Гука, на стержень со стороны закрученной нитибудет действовать момент силы M , пропорциональный углу поворотастержня в данный момент времени:M  D .(16)Здесь D — коэффициент пропорциональности, называемый модулемкручения и показывающий, какой момент силы нужен для закручиванияданной нити на единицу угла (на один радиан).

Знак минус показывает,что момент силы направлен в сторону, противоположную отклонению.Напишем второй закон Ньютона для вращательного движениятвердого тела (уравнение моментов):J  M .(17)Здесь J — момент инерции стержня,   d 2 dt 2 — угловоеускорение. Заменив в выражении (17) момент силы по формуле (16), аугловое ускорение  второй производной угла по времени, получим:Jd 2Dd 2 .Dили22dtJdt(18)Это равенство и является в данном случае уравнением движения.В него входит неизвестная функция времени   t  . Здесь так же, каки в уравнении (13), в левой части стоит вторая производная функции по времени, а в правой — сама функция с постоянным множителем D Jи обратным знаком. Закон Ньютона и в этом случае будет выполняться в13любой момент времени, если  будет изменяться с течением времени погармоническому закону:  A sin t    ,(19)а круговая частота колебаний будет равнаD.J(20)Конечно, все это верно не только для стержня, но и для любоготела, подвешенного на нити с модулем кручения D , если его моментинерции относительно оси, проходящей через нить, равен J .Крутильные колебания, так же, как и колебания груза,подвешенного на пружине, являются упругими колебаниями.7.

ФИЗИЧЕСКИЙ И МАТЕМАТИЧЕСКИЙМАЯТНИКИФ и з и ч е с к и м м а я т н и к о м называется любое твердоетело, которое может вращаться вокруг горизонтальной оси O и центртяжести которого не лежитна этой оси. Такое телонаходитсявположенииравновесия, когда центртяжестинижеосиCвращения на вертикальнойлинииOX , проходящейчерез ось.Обозначимрасстояниемеждуосьювращения O и центромтяжестибуквойCR(рис. 7). Если вывести телоиз положения равновесиятак, что центр тяжести будетнаходиться в точке C  и линия OC  составляет с вертикалью угол  , тона тело будет действовать момент силы тяжести M , равныйпроизведению веса тела P  mg на плечо, т.е.

на расстояние R sin между осью O и направлением силы тяжести (рис. 7,б).M  PR sin  .(21)14Этот момент сил будет стремиться возвратить тело в положениеравновесия. Если отклоненное от положения равновесия тело отпустить,то оно начнет совершать колебания. Положение тела в любой моментвремени можно характеризовать углом  , который и является здеськолеблющейся величиной.Колебания физического маятника являются упругими, так какмомент силы, возвращающий маятник в положение равновесия,обусловлен не упругими силами, а силой тяжести. Вообще говоря,момент силы тяжести пропорционален не углу отклонения  , а синусуэтого угла. Однако при малых отклонениях sin    .

Характеристики

Список файлов лабораторной работы