XI Волков И.К., Канатников А.Н. Интегральные преобразования и операционное исчисление (1081412), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Если ДФ) и Щ) — функции-оригиналы, ~® Ф Г(р), то У И) Ф РР(р) — У(+О), где Д+О) = 1пп Д$). М Иэ поставленных условий вытекает равенство Щ = Д+0)ц(й) + ~'(т)Ит. Нам остается к функции ~'(Ф) применить теорему об интегрировании оригинала и воспользоваться соотношением ц($) Ф ~,~-1 что и приводит к нужному соотношению. ~ Порядок интегрирования можно изменить потому, что несоб- ственный двойной интеграл от функции ~(т)е ~' по угловой области 0 < й < оо,О < т < Ф сходится абсолютно. В 6.
Операционное исчнсленяе Отметим, что прн дифференцировании оригинала главное, чтобы производная )"ф была оригиналом и чтобы для нее была верна формула Ньютона — Лейбница. 2 Пример 6.6. Функция ип(е ), будучи непрерывной и ограниченной, является оригиналом. Однако ~'($) = 2ае~ Х х я1п~е ) уже не будет оригиналом, так как имеет неограниченный рост, ф Дифференцирование оригинала может применяться многократно. Если функция Д~) имеет й — 1 производную, непрерывную при Ф > О, существует Й-я производна» всюду, кроме, быть может, некоторого дискретного множества, и если все эти производные являются оригиналами, то где Дй) Ф Р(р).
Интегрирование изображения Если функция Д$) — оригинал, Д1),=' Р~р), функция ~(1)/Ф ограничена в окрестности О, то она является оригиналом и — ~ЫФ УИ) Ф М Функция ДФ)/Ф может не быть оригиналом только по одной причине: если она не ограничена при $ -+ +О.
По условию Проинтегрируем написанное равенство по р от точки р0 = б.р Основные теоремы опера~иоии ~ о онного исчислеиил = ф+ й~ до оо по отрезку горизонтальнои прямои; +оо +оо ДФ)е ~'й= ( ц ур) -(а+ац)$ ~ Ре О +со +оо Д$)е '"~Й е 'йт = ( ания возможно, так как несобИзменение порядка интегрирования в ственныи двоиной и нтеграл сходится абсолютно. ~ Д ффе ениирование изображения Ясли функция Д1) — оригинал, Д ) Ф (р), $ Ф Ц ), то функция -Щ1) — тоже оригинал, причем У® = †.=' Ф(рИр= Р(р) м Р( ) = -ф(р), что и доказыДифференцируя по р, находим Г (р) = — ( ), вает это утверждение. в Свертка оригиналов (1) и ® называют Сеерткой двух функций-оригиналов Д1) и д( ) наз функци|о $ Д )д(~ — т)а .
е и но что функция Щ) является оригиналом, причем ~$0чевидно, что функция Д1)..П меним теорему об с тем же порядком рост, и оста что и ( .. ри () = Щ~). Если интегрировании изображен фу ия к ф нкции уф у(~) Ф Ф(р), то 6. Операционное ксчисаение Свертка оригиналов ~ и у является оригиналом, причем показатель роста свертки не превосходит максимального нз показателей для ~ и у. Если Д1) .=' Г(р), у(Ф) Ф С(р), то 4 Легко убедиться, что при Ф < О свертка обращается в О.
Докажем, что свертка кусочно непрерывных функций непрерывна. Рассмотрим приращение свертки в произвольной точке (У*у)И+~) — У*у)И) = Ят)у(й+ Ь вЂ” твайт — ~(т)у(~ — т)йт = о о — Ят)у~~+ Ь вЂ” т),т+ + ~(т)~у($+ Ь вЂ” т) — у(й — тф1т.
О На любом отрезке ~О, Т~ функции ДФ) и у(1) ограничены неко- торым числом М. Поэтому при $ < Т, ~Ь~ < Т вЂ” $ получаем ~ (~ ~ уф+ ь) — (~ е у) (г) ~ < ~у(В+ Ь вЂ” т) — у(Ф вЂ” т)~йт = = м~ь+ м ~у(ю+ ь) — у(них. о Непрерывность в точке $ будет доказана, если мы докажем, что 11щ ~у(ю+ Ь) — у(и)~й~ = О. л-+о Отметим, что зто соотношение верно для непрерывно дифФеренцируемых Функций, так как если ~у'(и)~ < К на отрезке ~О, Т], то по теореме Лагранжа о конечных приращениях 174 6. Одеры~ионное исчисление Вычислим изображение для свертки +ос Ф е ~~й Дт)д(1 — т)йт = О О +СО +00 Йт е ~ Цт)д(1 — т)~Й = О т Ят)йт е "'д(1 — т)й = Я(т)Ит е "~"+ 1у(и)йс =' +оо +со ~(т)е ~'Йт е ""д(а)да = Г(р)С(р). О О Эти выкладки имеют смысл при пер > п1ах(сг(,~), ~т(д)), так как тогда двойной несобственный интеграл от функции е "'Дт)д(1 — т) = ~е " ~(т)]~е "~ ~~(Ф вЂ” т)1 в области 8 > О, 0 < т < 1 сходится абсолютно.
Ь Замечание 6.8. Иэ соотношения (6.5) следует, что свертка коммутативна,, ~ «д = д «,~, так как и та, и другая функция имеют одно и то же иэображение, равное произведению изображений ~ и д. Замечаиие 6.9. Теорема о свертке показывает, что произведение изображений снова является иэображением. Замечаиие 6.10. Если ДФ) Ф К(р), д(Ф) Ф С(р), то рг(р)а(р) = барр(р) — У(+О)1 а(р) + П+О)а(р) .=' = — ' (У'*д) И) + У(+0)дИ) (в предположении, что,~'(Ф) — оригинал). С учетом симметрии получаем две близкие формулы: р~(р)с(р);- Л+О)д()+ У'( )д( — И рЦр)С(р); —.
д(+О)Д~) + Лт)д'М вЂ” т)Ы т. Каждую иэ этих формул называют иипзееуамом Д1оамел,и. 6.2. Основные теоремы операционного исчисления Предельные значения оригина.ы и изображения Для любой функции-оригинала ДК) с изображением Е(р) выполняется равенство йп рР"(р) = ~(+О), где предельный переход р -+ аа осуществляется внутри угло- вой области ! аги р! < а < т/2. Ф Утверждение сводится к случаю Д+О) = О, для чего вместо функции Д1) достаточно рассмотреть функцию Д(1) = Д1)— — Я+О)ц(~), имевэщую изображение Г0(р) = Е(р) — ~(+О)/р. Ирн этом равенство (6.7) будет означать„чта 1нв рГп(р) = О.
я +ОО < !р! Я)е "'й Д1)е "~й + !р! Ь' +ос < !р!ясона е "'Й+ !р! Ме "е ~'й < о 6 !р!е сова !р!М о" о — о'1 Я + М'о -(и-о1)6 (о' — а1) сан а Видно, чта число о может быть выбрано настолько большим, что !рЕ(р)! < 2.—. Так как числа е выбиралось произвольна, то зто значит, что рГ(р) — Ф О при р -+ Оа при условии, что ! агар! < о.
~ Итак, пусть Д+О) = О. Для произвольного е > О выберем такое о > О, чта Щ~)! < ясона при 0 < 1 < о (а — угол раствора области, о < л /2) . Тогда для р = ~т+ щ, о' > о1 > о'(Д, ! агар! < а, имеем !р! сова < о и 6. Операциоиное исчисление Если функция-оригинал ДФ) с иэображением Р(р) имеет предел ~(+со) = аппп Д~), то также существует аппп рГ(р) = Д+оо), где предельный переход у — > оо осуществляется внутри угловой области ~аграф < а < х/2.
Доказательство этого соотношения проводится по той же схеме, что и для (6.7), а поэтому мы его опустим. 6.3. Изображения элементарных функций-орик иналов Табяииа стакдартпных оригииалое и юо6ражеиий При помощи установленных свойств преобразования Лапласа можно найти изображения для ряда элементарных функций-оригиналов. Как мы уже видели, ~ф) .='у 1.
По теореме о дифференцировании изображения а в общем случае ь 1 «ръ+$ (строго эту формулу можно доказать при помощи метода ма; тематической индукции). Та же формула для изображения степенной функции может быть получена при помощи теоремы об интегрировании оригинала: 6.3. Изображения элементарных функций-аригииало» 177 МФ вЂ”. ФВ о , +г' е = е"'гу(й) Ф вЂ”.
м и гг — А Вспомним, что мм+е ыг сЬоЛ = 2 4МФ вЂ” е 8ЬьА = 2 Поэтому ,1 иЬсМ Ф— 2 1 юг ы1 Ф— 2 Аналогично сояг г~ = 2 е'~~ — е '~' 8гпмФ = 2Ф и мгг приходим к формулам сои и1 ф —. Р ~г2 + г ~2 ' И я!и ~А,=' —, я2+ ~ ~2 По теореме смещения для любого комплексного числа Л 6. Операционное исчисление В результате этих рассуждений мы получаем таблицу простейших оригиналов и их иэображений: п1 рП+ 1 1 р — Л' Ы + ~„~2 у цг+„,г р — Л е се~А Ф Ь Составные оригиналы С помощьм теоремы запаздывания и функции Хевасайда можно находить изображения сосшаеиью оуияинамов, часто встречающихся в задачах электротехники и радиотехники. Отметим, что функция ц(1 — а) — ц(й — 6), а < 6, имеет ступенчатый вид (рис.
6.3) О, ~ < а, ~(1 — а) — п(8-6) = 1, а < 1 < 6, О, ~>6. Рис. 6.3 Если функция У($) задана как составная в виде „61 (~), а~ < г < аг, Л(1), аг сФ<аз, 6. Операционное исчиСление Эту функцию можно представить в виде У(») (2»»2) ~,ф) ~(» ф (2»»2)~(») (2»»Х),ф 2) Первое слагаемое имеет изображение Найдем изображение второго слагаемого: (2$ — $~)Ч(» — 2) = 12(и+2) — (а+2) 1Ми)1 = — (2и+ и )ц(и)~„, Ф -е ~ — +— Таким образом, .
2 2 2 2 2 ~(») = — — — +е ~~ — +— Р2 Рз Р2 РЗ 2 Р2 = — (1+ е 2") — — (1 — е 2") . Замечание 6.11. 1 Р » — 1 Ф вЂ” — —, но (» — 1И(» — 1) Ф— Р Р Р2 Периодические оригиналы Пусть Я) — периодическая при» > О функция-оригинал, т.е. для некоторого Т > О выполняется равенство Д»+ Т) = = Д»), » > О.
Обозначим через Уо(») Функцию Тогда легко убедиться в равенстве 6. Операционное исчисление 182 Теорема 6.3 (1-я теорема разложення). Если функция Р«р) аналитична в окрестности оо, имеет в ос> нуль, то она является из~бражением. При этом, если — ее разложение Лорана в окрестности оо, то ~(Ю 'К~ ~ )~ в=1 т.е. оригинал для изображения Р«у) получается путем почлен- ного перехода к оригиналам в ряде Лорана. й Нам требуется показать, что ряд ~(1) = 2 а„ и=1 сходится для любого действительного числа 1 и представляет собой функцию-оригинал. И кроме того, надо показать, что иэображением этого оригинала является Г«р). Пусть Цр) аналитична в области ~р~ > В.
Выберем произвольное число й:1 > В, Тогда ряд сходится «это — значение функции Г(р) в точке В1) и потому последовательность Ци„~В ") ограничена, т.е. ~а„~ < МВ". Но 'тогда Ф" МН «В ~) ~а„1 < п (и — 1)! — «и- 1)1 ) 6А. Т~~»ремы разно»»~ения где выражение справа — это общий член ряда, сходящегося при любом значении ~. По признаку сравнения ряд (6.9) схо- дится абсолютно для всех значений $. Более того, ) ~ ~~ мй,(й,~)"-' 1)1 в=2 можно перейти к пределу при»» -+ оо под знаком интеграла. »»оложим в ~"'~=Е'"~р- ) ' й=» Тогда при В» > В.
Следовательно, если Йер = сг > Вр, где В2 > В», то е "~Д„(Ф)й < п»ах е '~Д„(1)~Й < и г < МВ» т -~йя -В1 )Т = МВ» -+0 2» т.е. функция Д$) имеет ограниченный рост, а так как В» > И выбиралось произвольно, то порядок роста Д$) не превосходит В. Функция ДФ), представимая степенным рядом, конечно, непрерывна. При $ < О полагаем Щ = О. Найдем изображение этой функции. Для этого нам достаточно показать, что в ра- венстве 6. Операционное исчисление при Т вЂ” ~ ао.
Значит, интеграл я1)е р~й сходится при Вер > В1 равномерно по и. Поэтому +ОО у„(~)е р'й = и, переходя в равенстве (6.10) к пределу при и -+ оо, получаем соотношение (6.9). 3» Приыер ВЛ0. Функция в1п(1/у) аналитична всюду в С, эа исключением точки р = О, являющейся для этой функции особой. По теореме 6.3 функция является изображениеы. При этом Теореыа В.4 (2-я теорема разложения). Каждая рациональная функция Е(р), у которой степень числителя меньше степени знаменателя, является изображением, при этом (6.11) где р»,..., р, — полюсы функции К(р) с кратностями р1,, и„ соответственно, Коэффициенты А ), могут быть вычислены но Формуле а-кю ~ цт~ ать п ~Р +1)~Р )~' 6.4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
