XI Волков И.К., Канатников А.Н. Интегральные преобразования и операционное исчисление (1081412), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Если Д~) — оригинал и имеет показатель роста оа, то интеграл ~6.1) сходится абсолютно всюду в полуплоскости Кеу > од. При этом сходимость равномерная в 6. Операционное исчисление любой области Ке р > с~ > оо. Функция Е(р), являющаяся изо- бражением Д~), аналитична в полуплоскости Йер > со. ч1 Выберем произвольные «т и о1, оо < о1 < о.
Существует такое значение М, что ~Д(1)~ < Ме " при ~ > О. Следовательно, функция Ще " ограничена на действительной оси. Поэтому для любого р = ~+ гр, ~ > с, получаем М~ (~ ~~)««~ф (6 2) о т.е. подыитегральная функция имеет мажоранту — сходящийся интеграл, не зависящий от р. Это значит, что несобственный интеграл сходится всюду в полуплоскости Иер > и абсолютно и равномерно.
Можно показать, что допустимо дифференцирование интеграла (6.2) по параметру р. Значит, функция Г(р) является аналитической. и Рассмотрим основные свойства изображений по Лапласу. 1. Изображение Р(р) является функцией комплексного переменного, аналитической в полуплоскости Ве р > сто, где оо— показатель роста оригинала. Это следует из теоремы 6.1. 2. Существует предел Действительно, возвращаясь к доказательству теоремы 6.1, получаем при Ве р > с > ао откуда сразу следует нужное утверждение. 3.
Если функция-оригинал Д1) удовлетворяет условиям Дирихле, то имеет место формула обращения 6.1. Преобр Ова Л где по определению г+юао Ф+ВШ Цр)е"~Ир = йп ~Ш-++СО 0'-ФОО Е(р) е" ~Ир, а ~ > ао может быть выбрана произвольно. Равенство (6,3) ч выполняется в каждой точке 1, в которои функция Щ непрерывна. Формула (6.3) может быть получена при помощи интеграла Фурье. Если У(8) — оригинал преобразования Лапласа, то у у(й) ~' и ~~ > е является оригиналом экспоненциального преобразования Фурье (5.27), Соединяя прямое и обратное преобразования Фурье, получаем Ят)е ~~е "~Йт или +оо +со еи+'~~ й~ Дт)е ~~+'~~'0т = +Со ЕК+ )еК+щ)ФИ Это равносильно нашему утверждению. Замечание 8.3.
Формула обращения (6.3) верна и в общем случае, если функции рассматривать как элементы пространства ХР(-оо,+со), т.е. если считать идентичными функции, различающиеся лишь на множестве мери О. Замечаиие 6.2. Интеграл в правой части формулы обращения (6.3) называют ммтвееуимом Меллияа, а саму формулу — формулой Римана — Меллима. 6. Операционное исчисление Замечание 6.4. Иэ формулы обращения с учетом замечания 6,3 заключаем, что каждая функция-оригинал однозначно восстанавливается по своему изображению с точностью до эна; чений в точках разрыва.
Действительно, две функции, различающиеся на множестве меры О, должны совпадать во всех точках непрерывности. 4 Свойства 1 и 2 являются необходимыми для того, чтобы функция комплексного переменного Е(р), определенная в некоторой правой полуплоскости, являлась изображением по Лапласу. Однако зтн свойства не являются достаточными. Следующая теорема дает достаточные условия для иэображений по Лапласу, чуть более жесткие, чем 1 и 2.
Теорема 6.2. Пусть функция комплексного переменного Р"(р) удовлетворяет условиям: 1) Р(р) определена и аналитична в полуплоскости Ке р > по., 2) в любой полуплоскости Ке р > о, о > аа существует предел 'йп~ е'(р) = О; 3) функция Е(р) абсолютно интегрируема вдоль всякой прямой Ве р = сг, ~т > сто, т.е. функция Р(®+ щ) абсолютно интегрируема по переменной ц. Тогда Е(р) является изображением некоторой функции- оригинала У(1), имеющей показатель роста не более оо, которая может быть найдена по формуле обращения (6.3).
~$ Нам надо показать, во-первых, что формула (6.3) корректно определяет некоторую функцию ДФ), во-вторых, что эта функция является оригиналом и, в-третьих, что иэображением Д1) является даннал функция Р(р). Отметим, что, хотя в определение Д1) входит свободный параметр и, на самом деле Д1) от него не зависит, например, вследствие единственности оригинала для данного изображения (см. замечание 6.4). 6.1.
Преобразозакие Лапласа Интеграл сходится согласно условию 3 теоремы, так как подынтегральная функция имеет мажоранту: Ща+ щ)е~'+'"~'~ = ~Г(а+ и~)~е '. Поэтому функция ДФ) определена корректно. Отметим, что интеграл (6.4) сходится равномерно по й на любом отрезке ~11, 1~~ действительной осн. Поэтому функция ~(Ф), определяемая соотношением (6.4), непрерывна. Более того, Ща+ иД~е" Й~ = Се~', так что Дй) имеет ограниченный рост, и показатель роста не превосходит ао (потому что а > ап может быть выбрана произвольно).
Чтобы убедиться, что функция ~® является оригиналом, нам осталось проверить условие Д~) = О при 1 < О. Рассмотрим контур Гд, состоящий из отрезка вертикальной прямой ~а — ~ыд,а+ Йид) и дуги Су~ окружности ф = .Я, расположенной в нолуплоскости Кер > а (рис. 6Л). Так как в области, ограниченной контуром Гн, функция Г(р) аналитична, то при Ф < О 6.1. Йреобразование Лапласа можно поменять порядок интегрирования. Получим +со б+юоо Цр~ ) — е Ю Г~р)е мар†о + со ст+ аоо — а РУ) -ь -й'Рр= о О+аОО +СΠ— ~Кр ~®е ~Р' Р)'~Н = 27ГВ ~Ы 2я.~;„р — ро Рассмотрим контур Гн, описанный выше. Так как < мах Щр)! < пах !Е(р)! Ир! 27гй Ф=н !р! - !ро! Ь!= й - Ь !' то согласно условию 2 теоремы интеграл по дуге Сд стремится к О при й — ~+оо.
Поэтому — = ген —, р = ро — — Р(ро). РИФ ~~р) 2~Г~ ~;~ р — ро р- ро' Мы тем самым доказали, что Цр) является иэображением функции Д1). ° Замечание 6.5. Условие 2 в теореме 6.2 можно ослабить, потребовав, чтобы существовала последовательность радиусов В„ -+ +со такая, что Игп тпах(!Цр)!,!р! =Л„,Вер > ст~ =О. Пример В.5. Рассмотрим функцию комплексного переменного -Й Г(р) = — е ~"'Р, й > О, Л 6. Операционное исчисление определенную в плоскости С с разрезом вдоль Отрицательной части действительной оси, В этой области функция ю = /р имеет однозначную ветвь которая определяет ветвь, вообще говоря, многозначной функции Цр).
Функция Цр) удовлетворяет условиям теоремы 6.2 и потому является изображением. Действительно, выполнение первых двух условий очевидно, так как ф в полуплоскости йер > О не имеет ни особых точек, ни нулей, а функция ехр( — Й ф) в этой полуплоскости ограничена. Далее, если р= с+щ, ~ > О„то — ехр [ — ~/Р+ц~ сов (-"ассад-")~ < < — ехр и функция Г(р) абсолютно интегрируема вдоль прямой Кеу = =ст> О.
Для вычисления интеграла Меллина рассмотрим контур Гя, изображенный на рис. 6.2. Он составлен из отрезка АВ вертикальной прямой Кер = с, и > О, дуг ВС и ЕА окружности ~р~ = В, В > о,отрезков С,О и ЕГ на разных берегах разреза и окружности С: ~р~= р, р< а. С Так как внутри контура функция Г~р) особых точек не имеет, получаем Рис. 6,2 6,1. Преобрдпопаппе Лапласа Легко убедиться, что < — е~~2~Гр -+ 0 Г(р) е"~Нр Ке,' > Р в рассматриваемой области при р -~ О.
Бьк как «ф Щр) ~ -+ О при р — ~ оо. По лемме Жордана Р~р)е~'Нр -+ О ВСОР'А прн В -+ оо. + Таким образом, переходя к пределу прн  — ~+оо и р -+ О, заключаем, что ~+~+ АВ СЮ БГ -+ О, -ь,я — «~~,) 27ГЭ е Ф «Д 27Г так как на этом берегу ф = «Я' по нижнему берегу разреза равен 1 + ~ф;, а > О. Интеграл ОО 1 й~«/ж -~~ ц -т«~ж 0 же-'" = -~-„/ы, а > О.
Разность так как на этом берегу /р = же = — *-„ между этими интегралами равна О +со +оо «Ь 2 „~ф е ~'2совй«~д — =— О Л я' о 1 Л~) =— М лина равен разности между д у в мя интеграи интеграл ел и ательной ч~~ти деиствнтельн М Ной Оси По лами, взятыми по отриц е бе ег разреза разным берегам разреза. разреза. Интеграл по верхнему ерегу р равен +Оо 6. Опврационное исчисление Учитывая, что подынтегральная функция четна, а +ОО е " 'в~пйий~ = 0 как интеграл от нечетной функции по симметричному проме- жутку, получаем +0О е " '(сояйи+ Майи)Ии= 2 + $ е " сояйиИи= 7Г ц 2 1 -и Ф+зймд Й е ~~"' ) ои= +СО 1 а'~ Фм ~и яД я2 = — е « 7Г 1 ф.~ = — е «.
Таким образом, 1 „. 1 а.'. — е "~'~~ .=' — е « . 6.2. Основные теоремы опернционноео исчислении Линейность Если ~1(~),..., ЯФ) — функции-оригиналы, Д($) .=' К,(Р), 1 = 1, „й, то для любых числовых коэффициентов о1, ..., а~ б С функция а1 Л (Ц+ .. -+ а~ЯФ) есть функция-оригинал и й А T. ьЬИ .-- ~ ь ЫИ. Замечание 6.6. Рассмотренный пример показывает, что непосредственное использование формул ы Римана — Меллина является делом сравнительно трудоемким, так как приводит к вычислению сложных интегралов.
6,2. Основные теоремы операционного исчисления Это свойство есть констатация того, что преобразование Да~маса линейно (это верно для всех рассматриваемых нами интегральных преобразований, и мы не будем на этом останавливаться). Теорема подобия Если ~($) — функция-оригинал, то для любого положительного числа ск функция ДсИ) — чоже оригинал, и если Д1) .=' Г(р), то ~(а~) Ф вЂ” Р(-) . ° Ф Выполнив в интеграле замену переменной т = аФ, получим Дг)е «аг = -г' ~ — ) . о О О Теорема смещения Если Я) — функция-оригинал, ф) Ф Е(р), то для любого комплексного числа А функция ел'дФ) — тоже оригинал и л~д ) ° ~(„ 4 Утверждение теоремы вытекает иэ следующей выкладки: Д~)е ~~ ~~'й= Г(р — Л), Ф Теорема запаздывания Если Д$) — функция-оригинал, Д1) Ф Е(р), то для любого положительного числа а функция,ф — а) — тоже оригинал и ,ф — а).= е '"Г(р), +СО у( ) — ~(т+д) ~ -вр Ят)е " йт = е '~Р(р).
Э о Замечение 6.7. Теоремы смещения и запаздывания являются двойственными. Однако если в теореме смещения параметр Л вЂ” любое комплексное число, то в теореме запаздывания параметр а должен быть действительным положительным. Итпегрирование оригинала Если Д1) — Функция-оригинал, Д4) Ф Г(р), то Функция у(Ф) = ~(т)йт является оригиналом и я Действительно, первые два условия для функции-оригнн иа, очевидно, выполняются. Проверим условие 3). Имеем ~(т)ит < Щт)~йт < < Ме 'Йт = — (е — 1), о 17 Мы можем считать, что <т > О. Тогда е Условия 1) — 3) определения оригинала, очевидно, выполняются.
Учитывая, что Д1 — а) = О при 1 с а, при помощи замены переменной т = 1 — и получаем 6.2. Основные теоремы оперецнонного нсчислещя Отсюда, в частности, заключаем, что показатель роста функ- ции у не превосходит мах(о(~Г), О». Проверим формулу пере- хода к первообразной: +Ос -р~ У(г) — 4 = -РЫ. р у +со +ео йт е р'ят)й= Дифференцирование ориеин~иа Пусть функция,'® непрерывна при Ф > О, имеет производную всюду, кроме некоторого дискретного множества точек (т.е. множества, имеющего конечное число точек на любом конечном интервале).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
