XI Волков И.К., Канатников А.Н. Интегральные преобразования и операционное исчисление (1081412), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Р 5. Иктегральные Ореобразования Полученная краевая задача для обыкновенного дифференциального уравнения имеет решение (У(у, р) = — 1 — сов(ра) ио сЬ(рр) р сЦр6) и нам, чтобы прийти к окончательному решению, достаточно применить формулу обращения 2ир ~~ 1 сЦрр) и(ж, у) = — — 1 — со8(ра) з1п(щ)4~. с1~(ф) Распределение тока иа полусфере Тонкая оболочка имеет форму полусферы и лежит иа плоском основании, изготовленном из хорошего проводника (рис. 5.4). Найти стационар- х ное распределение тока в обо- 90 .У лочке, если ток к оболочке подводится через точечный контакт, присоединенный к полусфере в точке с угловыми координатами д = до, у = О, а отводится через проводящее осно- Рнс.
5.4 ванне. Из физических соображений вытекает, что поле скоростей тока является безвихревым и потому может быть описано при помощи некоторой потенциальной функции и(д, ~р), зависящей от угловых сферических координат д и у. Для этой функции возникает краевая задача с точечной правой частью, описываемой при помощи двумерной Б-функции Дирака: 5.6, Приыененые нвтегральвых преобраэований 143 1 д . ди 1 дза — Х вЂ” Я1П д — + — =, Ю(д-д0, «~), а~вшддд дд азещздду~ «тЬа~ипд О<д< —, О<«р<2~, и —,у =О, О<у<2т, и~д, О+ О) = и~6,2гг — О), О < д < —, и', ~д, О+ О) = ц,' (д, 2к — О), О < д < —, где а — коэффициент проводимости материала; Ь вЂ” толщина сферической оболочки;,7 — плотность тока, подводиыого к оболочке.
Мы не рассматривали отдельно задачи с граничными условиями типа периодичности, как в сформулированной задаче. Можно однако показать, что с такиыи условиями оператору д~/ду соответствует интегральное преобразование с ядром 1 — и=О, ъ«2к 1 — сов~а«р), о > О, 1 — вш~яу~), и < О. д . Н4 — 31н д — = — Цд — до), дд дд ,~2 ~ь Цфг/2) = О. Весовая функция в данном случае является единичной. Используя указанное интегральное преобразование, получаем задачу для иэображения Ц,~д) искомой функции и(д, «р). При а= О 5. Интегральные преобраэованнл 144 При п>О д дц пг,у — 81П д — — —,~7„= Цд — дп), дд дд ип д " .,/гаЬ С (1г/2) =О, (5.39) я=1,2, Приа<О д~ дг — ипд —" —, У =Ю, дд дд а1п д ЕУ„(зг/2) = О, а=1,2, Задача (5.4О) имеет очевидное нулевое решение.
Решение задач (5.38), (5.39) должно быть ограниченным при д -ф Ю, так как ограниченной должна быть функция и. С учетом этого требования и свойств функции Дирака получаем решение задачи (5.38): до 1п ~д —, 2' д 1п 1ц— 2' ~'о(У) = /2тсгЬ 7Г дп<д<— 2 Непосредственной проверкой можно убедиться, что функции й~" (д/2) и ф "(д/2) образуют фундаментальную систему решений однородного дифференциального уравнения, соответствующего задаче (5.39).
Решение задачи (5.39) можно найти методом вариации произвольной постоянной. В итоге получим (опять с учетом ограниченности при д = О) 5. Интеграаьные преобразовани» ное осесиыметрическое распределение, а с противоположной — охлаждается внешней средой постоянной температуры, причем охлаждение идет )~ с постоянныы коэффициентом теплоотлачи. Требуется найти +~ такую толщину стенки, при которой в самой нагретой точке о г установится минимальная температура. Рис. б.б Осевая симметрия позволяет поставить плоскую (двумерную) задачу. В качестве переменных выберем г — расстояние вдоль оси, перпендикулярной к стенке, и г — расстояние от оси симметрии ~рис.
5.5). Тогда функция теплового потока будет иметь вид ~б2 2 д(г) = дое а математическая формулировка задачи для распределения температуры стенки Т~», я) в точке с координатами» и ~ сводится к следующему: »~0, -Л вЂ” ~»,О) = доехр( — Й г ), дТ 2 2 дл дТ ~ — ~»,Ь) = ~Т, — Т(»,Ь)), где Т, — температура внешней среды; о — коэффициент теплоотдачи стенки в окружающую среду; Л вЂ” коэффициент теплопроводности материала стенки. Иэ физических соображений мы можем считать, что Т, = О (т.е. фактически взять температуру окружающей среды эа Б.Б Применение интегральннх преобразований точку отсчета при измерении).
Применим к задаче преобразование Ганкеля индекса и = О по переменной г. Тогда для изображбния У(я,р) искомой функции Т(г,я) получим следующую задачу: Ц,— рзУ=О, О<~<Ь, У'(О, р) = — — ехр Чо Р 2ЛИ 4й~ О,'(Ь, р) + -У(Ь, р) = О. Л В правой часты граничного условия при л = О стоит иэобра жение функции д(г), так как +ОО з з р2 ехр(-й ) Хо( ) Ь' = — р — — - (5 42) 2О 412 Решением задачи (5.41) будет функция рсЬ~у(Ь вЂ” я)1+оЛ 'й~р(Ь вЂ” л)~ ~ уР ~ ЦМ 2М2р ЦРЬ) + -1 СЬ(РЬ) ~ 4ьз/ ' 0 < я < Ь. Для определения неизвестной функции Т(г,л) необходимо применить формулу обращения. Наиболее нагретой точкой поверхности будет начало выбранной системы координат л = = О, г = О.
Для этой точки находим: + рЛсЦрЬ) + оеЦрЬ) ~ р~ ~ (5.43 е рЛ вЬ(рЬ) + а сЦрЬ) ~ 4У,У Мы получили температуру в самой нагретой точке стенки как функцию ее толщины. Эта функция, вообще говоря, не 5. Интегральные преобразозанке является монотонной и может иметь точки локального экстремума. Анализируя функцию на локальный экстремум стандартными методами, мы можем найти такое значение Ьо, прн котором То минимальна. Дифференцируя интеграл в (5.43) по параметру, находим необходимое условие локального экстремума: 2Лйг ~То + (ргЛ' — ог)р р' ехр — — ир = О. Чо "~ о [рЛ вй(рЬ) + а сЦрЬ)) Так как Б~ ТДЬ) =+О, Б~ Т~Я = — 1 —— ! ио 4к Л +о — ~„+оо — Л заключаем, что функция То(Ь) будет иметь минимум, если о < 2ЙЛ.
Полу6есконечная упруаал пластинки Полубесконечная тонкая пластинка у > О, закрепленная по краю у = О, нагружена сосредоточенной силой Р в данной точке с координатами (О, 6) (рнс, 5.6), Требуется найти распределение погонных иэги- ь У бающего момента и перерезывающей силы вдоль линни закрепления пластинки. Рис. 5.6 Обозначим через и(х, у) смещение точки плиты с коордннатамн (ж,у) под воздействием нагрузки. Тогда относительно функции и(х, у) получим следующую задачу: д'и д'и д4и Р— + 2 — + — = — 6~а,у — Ь), -оо<х(-~оэ, у>О, д~4 д~г дуг,9у4 г) Ои и(к,О) = О, — (х,О) = О, ду 5.6.
Применение интегральных преобразований 149 где Р— цилиндрическая жесткость упругой пластинки, 6(ж, р) — двумерная о-функция Дирака. Будем искать решение, которое является бесконечно малой вместе со своими производными до 3-го порядка включительно, когда переменные з и д неограниченно возрастают. Для решения поставленной задачи применим экспоиенциальное преобразование Фурье по переменной з. Тогда для изображения Цу,р) искомой функции и(ж, у) получим задачу: д4У р ~Рб' Р— — 2р~ — + р~У = — 6(у — 6) у > О Цо,р) =О, — (О,р) =О д~У дф ре ~ь1~ ~~[р, р[ = — [[1+ ~[р[+ ~рр'1 ~[рд[ — рай[1+ ~[р[) ~[рд)[.
Для изображений М и М погонных изгибающего момента М~ж) и перерезывающей силы Ф(з) на закрепленном крае по- лучаем М = -Р— (О, р) = — РЬе [~~, в дф У= -Р— ~О,р) = РР+ 1р1Ь)е ~[, д'У ь дф Это задача для обыкновенного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. Знал общее решение соответствующего однородного уравнения, мы можем решить задачу методом вариации постоянных. Отметим, что решение должно быть четной функцией по р (этот параметр входит в задачу как р~). Учитывая граничные условия и требование ограниченности функции при у -+ +оо, находим, что при О~у~ф 5. Ивтегральные преобразования 150 Для получения окончательного результата применяем обратное преобразование Фурье: +оо р ~Я И~и) = М(р)е'~~Из = — — — р, и Р+жз' + -;„„2Р Ьз М(з) = Ф(р)е'"'~Ь =— 5.7.
Контрольные вопросы и упражнения 5.1. Что такое интегральное преобразование ? В чем состоит основная идея метода интегральных преобразований? 5,2. Объясните, что значит разделение переменных в дифференциальном уравнении. 5.3. Рассмотрим уравнение и~(ж, Ц+ Хо[иЦк, 8) = Дз, й), Ф > О, где дифференциальный оператор Ьо не связан с дифференцированием по переменной 1 и результат его применения не зависит от 1 (например, он является линейным дифференциальным оператором с коэффициентами, не зависящими от 1). Полагаем также, что область изменения набора переменных х не зависит от 1. Сформулируйте задачу для интегрального преобразования указанного уравнения по переменной 8 и найдите ее решение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
