XI Волков И.К., Канатников А.Н. Интегральные преобразования и операционное исчисление (1081412), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Тогда все переменные, кроме х~, можно рассматривать как параметры, и мы, применив формулу (5.1), получим в качестве изображения функцию У(х~,,х~ 1,р,х~+~,...,х„), у которой переменная х~ заменена на новую переменную р. В данном случае говорят об интегральном преобразовании функции многих переменных ао переменной х~. Еще раз повторим, что необходимым условием применения интегрального преобразования по одной переменной к функции многих переменных является независимость области изменения указанной переменной от остальных.
Главная идея метода интегральных преобразований состоит в следующем. При помощи интегрального преобразования дифференциальный или интегральный оператор преобразуется в оператор в пространстве изображений. Поставленная задача решается в пространстве изображений и тем самым находится изображение искомого решения. Решение восстанавливается по найденному изображению, Реализация изложенной идеи требует, во-первых, чтобы оператор в пространстве изображений имел простой вид, позволяющий решить задачу в иэображениях. Во-вторых, интегральное преобразование на пространстве оригиналов должно быть обратимым, т.е. разным оригиналам должны соответствовать и разные изображения. При этом для практических целей необходимо также, чтобы обратное преобразование, по изображению восстанавливающее оригинал, было в каком-то смысле непрерывным, т е.
незначительное изменение изображения не должно приводить к радикальному изменению оригинала. 5,2. Диффернщиальный оператор 2-го иорядка У(н) = к'(т, н)и(ж) сь приводит к функции У(п) натурального аргумента, т.е. к последовательности, являющейся последовательностью коэффициентов Фурье для разложения и(ж) по системе ~К„(жЦ. Ксли (К„(ж) ~ — зто ортонормнрованная система собственных функций оператпора Штурма — Лирвилля Е с собственными значениями Л„, то преобразование (5.2) переводит оператор Е, действующий в пространстве оригиналов, в оператор Е в пространстве иэображений.
Оператор А имеет простой вид; ЦЦп)1 = А„У(н), т.е, сводится к умножению изображения на известную функцию. ф Этот пример показывает, что разложение функций по собственным функциям в регулярной задаче Штурма — Дирвилля можно интерпретировать как специальный вид интегрального преобразования. Сингулярная задача Штпуряа — Лиувилля имеет аналогичную интерпретацию. Для каждого линейного.
оператора, действующего на функциональном пространстве, необходимо свое упрощающее интегральное преобразование. Поиск такого интегрального преобразования может быть задачей не менее сложной, чем исходная. Однако в некоторых случаях метод интегрального преобразования оказывается весьма эффективным. Мы рассмотрим частный случай применения этого метода, играющий важную роль в уравнениях математической физики. 5.2. Интегральное преобразование для линейного дифференциального оператора 2-го порядка Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение в частных производных 2-го порядка дв дн ац~ж) -~-~ 6;~х) — +с(х)и~и) = Дх), ~53) ~=1 а=1 ~ 1=1 5. Интегральные нреобразованпи определенное в некоторой области С С К", х = (х~,..., х„) т Е б С.
Предположим, что выполнены следующие условия: 1) для некоторого фиксированного индекса Й переменная х» может меняться и интервале (а, 6) независимо от значений других переменных, т.е. область С имеет внд С = (а,6) хвое., 2) ай~(х)— : о й(х) ь О при р ф Й всюду в С; 3) коэффициенты а; (х) при ~д ф й и коэффициенты 6;(х) при з ф Й не зависят от хй, 4) айй(х) и 6»(х) зависят только от переменной хй,.
5) функция с(х) представима в виде с(х) = со(х) + сй(хй), причем со(х) не зависит от хй. Если выполнены все эти условия, мы. будем говорить„что переменные у = (х1,..., хй 1, хй+1,...,х„) и хй разделились. Обозначив оператор в левой части (5.3) через Ци], получим Ци~ = АрЯ+ хй~я1, (5.3а) где д~н дн Ей~и) = айй(хй) — + 6»(хй) — + сй(хй)и, хй дхй д2в дв ~ой=~~" амЫ +) ь,(и) — +саЫи. ,уе6й вой " ~ ~фй Оператор Ьо действует в области Со С Й" ', причем х» выступает как параметр, ат которого не зависят ни коэффициенты оператора Ло, нн область определения функций, к которым применяется этот оператор.
Аналогично оператор Ей действует на интервале (а, Ь), его коэффициенты не зависят от блока переменных р, которые можно рассматривать как параметры. В дальнейшем для упрощения выкладок мы будем считать, что Й = 1 и, соответственно, у = (хр,..., х„), что, впрочем, не ~Формально такая зааись верна лишь ври Й.= ~з, но дли нас в данном случае норидок переменных не ивлиетси существенным.
5, Инте~ральние преобразования ь (р,у) = — а(х1, р)К(х1, р)р(х1)дх1 —— дх; д2 д2Ц В1и! =— дх;дх~ дх;дх~ Поэтому ВАМ = ~оВЯ = Хоай. Оператор 4 (5.3а) представляет собой линейный дифференциальный оператор 2-го порядка по переменной х1 (см. 2.2) „в то же время оператор интегрального преобразования В можно определить при помощи скалярного произведения с весом р вида (2,6): В[и~ = (и, К(-, р)). Если вес р удовлетворяет дифференциальному уравнению (апР)' — 61Р = О и, следовательно, имеет вид а', (х1) — 6~(х~) 6Ь1 С11 (х1) р(х1) = ехр то оператор 4 относительно укаэанного скалярного произве- дения будет самосопряженным в пространстве Я (см. 2.2).
В этом случае Так как применение оператора В связано с интегрированием по переменной х1, в то время как частные производные берутся по другим переменным, заключаем согласно предположению о равномерной сходимости интегралов (5.5), что $.2. ДиФференциальный оператор 2-го порядка где р(х1) = а11(х~) р(х1). Дополнительное слагаемое Я(Ь) — И(а) = р(Ь)И~~и(, у); К(-, рЦ(Ь) — р(а) И'~и(, у); К(-, ри(а) в полученной формуле появилось потому, что функции в(-, р) и К(, р) могут не попадать в пространство Ц, т.е.
удовлетворять однородным граничным условиям по переменной х,. Потребуем, чтобы ядро К(х~,р) интегрального преобразования В удовлетворяло уравнению 11~К(-, р)] = — р~К(.,р) или дК(х1, р) р(х~) где д(х1) = — с1(х1)р(х1). Тогда исходное уравнение сведется к следующему; Если теперь мы сумеем определить каким-либо образом последнее слагаемое в правой части (5.8), то получим уравнение относительно Г(р,р) по переменной р алгебраическое, а не дифференциальное.
Таким образом, размерность исходного уравнения оказалась пониженной на 1. Указанное слагаемое можно определить, исходя из граничных условий, которыми . должно быть дополнено уравнение (5.3) для корректной постановки математической задачи, Но чтобы это стало возможным, требуется выполнение двух условий: 1) граничные (начальные) условия распадаются на две группы, первая из которых не содержит производных по х1 и зависящих от х~ коэффициентов, а вторая не содержит производных по переменным х, «> 2, и представляет собой условия на концах интервала (а,Ь); 2) если граничные условия первой группы содержат операторы дифференцирования по переменным х., «> 2, то порядок применения этих операторов и оператора интегрирования по х1 может быть изменен.
б. Интегральные преобразования Если выполнены сФормулированные условия, то граничные условия первой группы могут быть перенесены на иэображение неизвестной Функции и, а условия второй группы учитываютс» в преобразованном уравнении (5.8). Например, если граничное условие имеет вид ди о~у) — + Д(у)и = у(х1,..., х~ 1, х~+1,..., х„), дх,. ж-=аЯ 5 то его можно преобразовать в граничное условие для иэобра- жени» У: 5.3. Интегральное преобразование на отреэке а,— — ф и оь — + чьи ! = м.Ь) Ж1=Я = дьЬ) Поставим задачу Штурма — Лиувилл», дополнив уравнение ~5-7) однородными граничными условиями: 1 Разумеется, зто не единственный способ задания граничных условий, но, упрощая задачу, мы оставляем без рассмотрения другие способы.
Если оператор А1 является регулярным, т.е. его коэффициенты а~ь~х1), 61(х~), с~(х1) не имеют особенностей в концах отрезка [а,6~, то граничные условия по переменной х1 могут быть поставлены так же, как и в рееулдриой задаче Штурма— Лиуеил ю1: 5. Интегральные преобразования 1пе Замечание. Эти свойства вытекают иэ вышеприведенных результатов (см. 2), если мы в задаче (5.10) сделаем замену переменной и = и/ /р. Тогда эта задача преобразуется в регулярную задачу Штурма — Лиувилля (см.
2.2). ф~ Иетрудно видеть, что выражение (5.12) определяет интегральное преобразование для всякой функции и(т1, д), для кс торой и(, у) Е А~~[а, Ь1 для любого у б Сп. С другой стороны. ~7(у,р„) зто коэффициенты Фурье функции и(,у), и этими коэффициентами функция определяется однозначно. Равенство (5.Щ, которое понимается в рамках пространства Х,~~[а, Ь], позволяет восстановить функцию и(., у) по ее коэффициентам Фурье или, другими словами, восстановить функцию- оригинал по ее изображению. Таким образом, формула (5.12) задает интегральное преобразование функций иэ фа, Ь) в пространство изображений, определенных на множестве Р = = ~р„), причем это преобразование взаимно однозначно. Иэ граничного условия, поставленного в задаче (5.10) в точке а, следует, что столбцы (К(а, р), К' (а,р)) и (а„~3 )~ пропорциональны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
