XI Волков И.К., Канатников А.Н. Интегральные преобразования и операционное исчисление (1081412), страница 12
Текст из файла (страница 12)
— + ЛК= О. дум Выберем а = О и тогда в соответствии с граничными условиями (5.25) и (5,26) получим К~(х, Л) = со8(хЛ), Кз(х, Л) = — ип(хЯ), 1 * /Л где 1щ Л > О, а величина р = ~/Л берется с неотрицательной мнимой частью. Решения Вейля имеют вид (ж Л) Къ (х Л) — (Л)К2(х Л) = соя(рх) —: за(рх) = р 1+: е'" +- 1 —: е'', ч„(х, Л) = К1(х, Л)+т (Л)Кр(х,Л) = — Т вЂ” — ~ е'~~+ — 1+ е ", у = Л. Так как е'р ф Е~( — оо,О), е '"~ Е Ь~( оо,О), то 1+ ~т „ф = О, откуда т, = ~р. Аналогично та, = т = ~р.
По формулам (3.29) получаем". 1 з тп1 (Л) = — —. 2ау 2р' ш~~(Л) = ти(Л) = О, тр~(Л) = — —. р Ф 2~р 2 ' 5.4, Полуеграииче~ый или неограии'мииый интервал 119 а из этих функций получаем спектральные функции: ИЛ вЂ” Л>О, йт11(Л) = 2~ /Л О, Л<О, йод(Л) = йт~1(Л) = О, 4ЛИЛ вЂ” Л>О, Ать(Л) = 2~г О, Л<О. Таким образом, получаем (с р = — 1) примое интегральное преобразование для ~ б Е~(-оо, +оо) Р'1 (Л) =,Цж) сов(жЛ)дх, Р~(Л) = Дх) Иж и обратное Да) = — Р1(А) — ыА+ — кр(А) я1п(л~/Х)ыА. 1 + соз(хъ~Л) 1 + 27Г н /Л 2я' Переходи к параметру р = 4Л, получим формулы Дх) сов(рж) Ых, Р1Ы = Кр(р) = ~(х) — Ых, ив(рх) ОО Р ОО .)- ОО Е1 (р) сон(рх) Нр + — Ег (р) р яп(рх) Ыр.
о до +оо +оо Пх) = — 4» УЬ) са4р(у — хИФ = о — СЮ +ао +ос Нр Цу) соа[р(у — х)1ф, — 1Х> Оо называемое интегралом Фурье. Учитывая, что +ою ~(у) з1п[р(у — хЯЙу = О (как интеграл от нечет ной функции 0о симметричному промежутку ) „интеграл 1) „ал Фуры можно преобразовать к форме +оо +оо Дх) = — е'~ др Ду)е '"Мр, 2»г оо называемои экспоне споненциальной (или комплексной) формои инеоб а теграла урье. инт Ф . В еграле Фурье совмещены два прео ра эования.
Прямое преобраэование Фурье ~'(р) = У(И)е "'4и н обратное +со Дх) = — Р(р) е'»'~Ар. 2к (5.23) Этот интеграл сходится, вообще гов р, о я только в смисле главного эначения, т.е. существует И»в / Йр ~ ~Г(д) вш~р~н — хЯ Ин. Х ++ 3- т Р-оо Именно с этоя точки чкн зрения и надо понимать последнее равенство. р ( ) ик представления, мы мон~~м получить разложение 5.5. Осиовные интегральные преобразования 121 5.5. Основные интегральные преобразования на неограниченных интервалах Рассмотрим основные интегральные преобразования на полубесконечных и бескоыечном интервалах, играющие большую роль в решении разнообразных прикладных задач. Мы сочли необходимым рассмотреть отдельыо преобразование Лапласа, так как, с одной стороыы, основаныый на нем операционный метод имеет обширные приложения, а с другой, богатая теория, построенная для этого преобразования, имеет некоторые специфические особенности.
Все наши построения теории интегральных преобразований основывались на рассмотрении пространства Е~ функций, суммируемых с квадратом. В этом пространстве считаются равными функции, различающиеся лишь на множестве меры О. Если такие функции используются в подынтегральных выражениях, то результат будет один и тот же, Однако если с чисто теоретической точки зрения результаты „с точностью до множества меры О" вполне приемлемы, на практике это ые всегда удобно. Для обеспечения равенств в каждой точке ыа функции-оригиналы накладывают дополнительные ограничения, Это приводит к более сильным утверждениям типа теоремы Дирихле для рядов Фурье.
Энсооненциальное преооразование Фурье Прямое и обратное преобразования Фурье, задаваемые формулами (5.27), (5.28), схожи, и их можыо поменять местами. И то, и другое являются упрощающими для дифференциального оператора д ~1И д г действующего на всей числовой оси. Обычно под оригиналом преобразования Фурье понимают любую функцию, определенную и абсолютно интегрируемую на (-оо, +со), удовлетворяющую усков икм Дарителе: а) она кусочмо непрерывна, т.е. на каждом конечном иы- 5.
Интегральные прео0рмованнн тервале она может иметь лишь конечное число точек разрыва, причем все точки разрыва! рода; б) она ыусонно монотомка, т.е. любой конечный интервал содержит лишь конечное число точек локального экстремума н потому разделяется на конечное число подынтервалов, на каждом из которых функция монотонна. При этих дополнительных требованиях представления (5,27) и (5.28) верны в каждой точке числовой оси. Использование преобразования Фурье рассмотрим на следующем примере. Пример 5.5. Найдем решение задачи Каши и" = а~~и~~, и=а(а,Ф)„— оо < ж <+со, 1 > О, а(~,О) = Я ), 4~ О) =~( ).
и находим решение в иэображениях Ъ'(1, р) = Е(р) сов(аф) + — в1п(арФ). Ф(р), ар Переходим к оригиналу, применяя обратное преобразование Фурье: и(ж,й) =— Г(р) сов(арФ) + — в!п(арф Ф(р) . Такая задача возникает, например, при моделировании малых колебаний неограниченной струны или малых одномерных колебаний газа. Предполагая, что функции Д~), ~ф) и и(ж,Ф) при каждом значении 4 являются оригиналами экспоненциального преобра зования Фурье, переходим к их изображениям Р(р), Ф(р) и Ъ'(1, р) соответственно.
Получаем задачу $'~~(1, р) = — а р~Ъ'(~, р), й > О, ~'(О р) = ~'(р) 6(О р) =Кр) $5 Основные интегральные нреооразовання Полученное решение может быть преобр еоб азовано к более удобному виду. Для этого воспользуемся формулами Эйлера для функций сои(арФ) и в1п(арФ). Получим +оо и(ж, ~) = — — Г(р)е'"~ "~бр+ 2 2я' р( ) вр(ж+м) ~ 2и 1 '" (р);,(...)„ + — — — е р 2а 27Г („> р ~ЧУ) ~у(ж+а$) ~ 2 р Интегралы в первых квадратных скобках представляют собой функции-оригиналы У(х — а$) и Дж+ а$).
Во вторых квадратных скобках стоят значения первообраэной функции у в точках ж — а1 и ж + а1 соответственно, так как СЬ' \„27Г р 27Г р д2' — 0(р) 'дт = РЮ. 2у С четом этого получаем формулу Даламбера для уравнеучето иия колебания ~(я+ а~) + ~(х — а~) 1 м(ж,й) = 2 2а Смешанное интпегральное преобразование Фурье Оригиналом смешанного интегрального преобразования Фурье называют функцию, определенну ю и абсолютно интег ируемую на полубесконечном интервале (О, +оо), удовлетворяющую условиям Дирихле Для функц — р грир емую к ии-о игинала,~(ж) иэо,.бражением Ф„,ЩжИ является 5.
Интегральные дреобрааенанил 124 Н сов(ух) + — яв(ух) р Как показывает пример 5.2, обратное преобразование имеет вид Н сов(рх). + — Ящ (рх) еслиН>О,и Н . сов(ух) + — яп(рх) ф Ин(х)ир) = — Р2Р(р) — [УУ(+О) — НП+0)1. Пример 5.6. Нусть в полупространстве х > О известно начальное распределение температуры Дх), а вне этого полу- пространства температура окружающей среды Т, начиная с начального момента $о — — О постоянна, причем в каждой точке полупространства ~(х) < Т,. Требуется найти закон изменения температуры в полупространстве, если известны коэффициент температуропроводности в полупространстве а = сопеФ, коэффициент теплопроводности Л = сопеС и коэффициент теплообмена а = соней. если Н с О. Смешанное интегральное преобразование Фурье является упрощающим для дифференциального оператора д2/дх2: 5.
Интегральные преобразования !26 и его формула обращения +оа Дх) = !' Щр)Нх) = — Дх) с (я )а 7Г о Интегральное косинус-преобразование Фурье может быть получено либо из экспоненциального преобразования Фурье, если предполагать, что оригинал — четная функция, либо как частный случай смешанного интегрального преобразования Фурье, когда поставлены граничные условия П рода (т.е. Н = О). Действие этого варианта преобразования Фурье на оператор двукратного дифференцирования следующее: Л'нтиееральяое синус-преобразование Фррье Это преобразование по сути близко к интегральному косинус-преобразованию Фурье. Его пространство оригиналов совпадает с пространством оригиналов смешанного преобразования.
Оператор интегрального синус-преобразования Фурье имеет вид +оо Г(р) = Фс[,~(х))(р) = Дх) в$п(рх)сЬ, и его формула обращения 2 + Дх) = Ф, [Е(р)1(х) = — Дх) е!п(рх)дх. о И нтегральное синус-преобразование Фурье может быть получено либо из экспоненциального преобразования Фурье, если предполагать, что оригинал нечетная функция, либо как частный случай смешанного интегрального преобразования Фурье, когда поставлены граничные условия 1 рода (т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
