XI Волков И.К., Канатников А.Н. Интегральные преобразования и операционное исчисление (1081412), страница 15
Текст из файла (страница 15)
5.4. Процесс изменения поля температур в бесконечной двухслойной пластине с идеальным тепловым контактом между слоями описывается одномерной математической моде- лью 5.У. Контрольные вопросы и уаражненин где функция а~а) описывает изменение коэффициента тепло- емкости слоев: а1, О<а<1, а(х) = ар, 1 < ж < Е, а~, ар — — сопвФ, 1 — толщина одного из слоев, Š— суммарная толщина пластины. Разрывный характер а(т) требует дополнительных условий стыковки в точке ж = 1 (см.
5.5, задача о продольных колебаниях составного стержня): и(~ — О, $) = и~1 + О, Ф), Л1 и' ~! — О, 1) = Худ+ О, 1). Найдите решение поставленной задачи, применяя соответствующее интегральное преобразование по переменной ж. 5.5. Докажите, что если Л вЂ” это корень уравнения З„~АВ) = О. 5.6. Докажите тождество (5.42). Указание.
Продифференцируйте левув часть Цр) тождества по параметру р и проинтегрируйте ее по частям. По результатам составьте дифференциальное уравнение для функции Цр). 5,7. Можно ли как частный случай экспоненциального преобразования получить: а) интегральное синус-преобразование Фурье; б) интегральное косинус-преобразование Фурье; в) смешанное интегральное преобразование Фурье; г) интегральное преобразование Меллина? Дайте аргументированный ответ. 5.8 Для оператора ~ д и~к) ди(з) Ци1(ж) = а — 2и— д~ д~ 5, Интегральные преобраэонанил с граничным условием первого рода в точке ~ = О постройте упрощающее интегральное преобразование.
Параметры а ф О н 1~ > О являются постоянными. 5.9. Преобразование Вебера (см. 5.4) используется, если в точке г = го задано граничное условие 1 рода. Постройте преобразование„аналогичное преобразованию Вебера, но использующее граничное условие 111 рода: где а2+,6э ,-Е О. 5,10. В примере 5.10 получено одно из возможных решений, Найдите остальные. Есть ли среди полученных решений хотя бы одно, принадлежащее пространству 12~О, +со) по переменной т? 5.11. Может ли интегральное преобразование Ганкеля быть получено как предельный, при го -~ +О, случай преобразования Вебера? Ответ аргументируйте. 6.
ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Операционное исчисление появилось в начале века как некоторый формальный метод интегрирования обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и их систем. К таким уравнениям сводятся многие практические задачи электротехники, радиотехники, теории автоматического регулирования. В соответствии с современными представлениями этот метод по существу сводится к преобразованию линейных дифференциальных выражений. Линейный дифференциальный оператор разлагается в произведение более простых, для которых известен обратный оператор. Строгое математическое обоснование операционное исчисление получило в рамках теории интегральных преобразований.
Интегральное преобразование Лапласа позволило интерпретировать формальные правила преобразования операторных выражений как преобразование выражений алгебраических, связывающих изображения функций. Современное операционное исчисление строится по схеме, типичной для теории интегральных преобразований. Ио функциям-оригиналам, входящим в дифференциальные уравнения, строятся их изображения, при этом дифференциальные уравнения превращаются в алгебраические.
Система алгебраических уравнений решается, и тем самым находятся изображения неизвестных функций. Неизвестные функции восстанавлива- 6. Операционное исчисление ются по найденным изображениям. Техника операционного исчисления базируется на таблице стандартных оригиналов и изображений, а также на ряде правил преобразования выражений при переходе от оригиналов к изображениям и обратно.
Линейные дифференциальные уравнения с постояннными коэффициентами и их системы хорошо изучены. Решение задач, приводящих к таким уравнениям, не связано с какими-либо теоретическими трудностями и может быть осуществлено различными методами. Ни один метод не имеет преимуществ перед другими, и выбирать тот илн иной метод следует с учетом особенности конкретной задачи. Операционное исчисление наиболее эффективно, когда решаемая задача является за.- дачей Коши; при этом правые части дифференциальных уравнений и начальных условии содержаг составные функции„которые, возможно, являются гладкими, но описываются в разных частях области определения разными формулами.
Например. совт,, ж<О, д( )= 6.1. Преобразование Лапласа Преобразование Лапласа — это ии~пегральяое преобразование, которое определяется соо гношением Интеграл в правой части (6,1) называется ынювеар~мом Лапласа, Изображение интегрального преобразования лапласа называют также изображением яо Лапласу. Взаимосвязь оригинала Д1) ~г его изображения Р"(р) записывают следующим образом.
Г(р) = ЦЯ(й)Цр) или ~(й) .=' Г(р). Фуннцаей-оригиналом интегрального преобраэовани* Лапласа назовем любую, в общем случае комплекснозначную 6.1. Преобразоваиие Лапласа функцию. удовлетворяющую условиям: 1) Д1) = О при 1 с О; 2) Я) кусочно нелрерыбни на действительной оси, т.е. она может иметь разрывы только 1 рода, причем каждый конечный интервал содержит лишь конечное число точек разрыва; 3) У(~) при 1 -+ +оо имеет ограниченный показательный рост, те. существуют такие постоянные И > О и с, что Щ~) ~ < Ме" при ~ > О. Прокомментируем условия 1) — 3), налагаемые на Функцию- оригинал преобразования Лапласа.
Поскольку основная цель операционного исчисления - — решение обыкновенных линейных дифференциальных уравнений н систем при заданных начальных условиях (задача, Коши), а также смешанных задач математической физики, то поведение функций до начального момента (т.е. при 1 < О) не является существенным, и самое простое — полагать, что до начального момента функция тождественно равна О. Это аналогично началу работы радиотехнического устройства, когда в некоторый момент времени иа его вход подается сигнал, а до зтого момента сигнал отсутствует, т.е.
равен О, Эти соображения мотивируют введение условия 1). Условие 2) достаточно естественно. Отметим, что в литературе оно может заменяться более легким (минимальное требование — — интегрируемость на любом конечном интервале) либо более жестким, например условиями Дирихле (т.е. дополнительно функция должна быть кусочно монотонной). Конкретный выбор одного из таких условий не является существенным с практической точки зрения и связан прежде всего с нюансами построения математической теории.
Условие 3) также важно для математического обоснования исчисления, но не является обременительным практически, так как большинство функций, описывающих физические процессы, подчиняются ему. Более того, из теории линейных дифференциальных уравнений известно, что если правые части системы линейных дифференциальных уравнений с посто- 6, Операционное исчисление 156 явными коэффициентами имеют экспоненцнальный рост, то н решения системы имеют такой же рост. Приыер 6.1.
Функция 1, Ф > О, ч(~) — о 1~о Замечание 6.1. В дальнейшем мы будем счи~ать условие Ц выполненным. Таким обраэом, если мы указываем, например, функцию ДФ) = Б1п Х, то на самом деле имеем в виду функцию яп1, В>О, Х О ( ) Ф ) 0 О Для любой функции-оригинала Дй) параметр ~ в условии 3) определяется неодноэначно. Число ео, являющееся точной нижней гранью всех таких а, наэывается иоулдком росита Функции Д$). Если для Функции ДФ) выполняется соотношение Щ$)~ < < Ме~', то 1п 1Щ)1 1п М откуда следует, что порядок роста определяется формулой 1п ЩФ)~ М+оо ф является оригиналом преобразования Лапласа.
Она, очевидно, подчиняется условиям 1) и 2). Условие 3) также выполнено с М=1и к=О. Функция ц(1) играет особую роль в пространстве оригиналов преобраэования Лапласа, являясь в нем единичной функцией: если ДФ) — функция-оригинал, то Д$)ц(8) = У(Ф). Называют эту функцию функцией Хеаисайда. 6.1, Преобразование Лапика Пример 6.2. Для многочлена Х® = а, + а1~+ "+ а„1 показатель роста равен — 1п ~а,р+ а~1+ + а„1" ~ Ип] $-++со 4 ь1п1+1пф+ .. +а„~ !ип й-в+со — н1п4 1нп — = О, Ф-++оо что кратко можно выразить так: любая степенная функция растет медленнее показательной, Я Пример 6.3.
Функция ДФ) = е' не является оригиналом, так как — 1п е' 1ип — = !пп 8 =+со. $-++со ~ 1-++оо В этом случае говорят, что Д~) имеет неоеуаннченный росш. Пример 6.4. Функция Д1) = 1~ 1 также не является оригиналом, так как, во-первых, не выполняется условие 2) (функция имеет точки разрыва 11 рода), а во-вторых, не выполняется условие 3) ~из него следует, что функция должна быть ограниченной на любом конечном промежутке, что неверно). 4~ Первые же вопросы, возникающие после введения преобразования Лапласа, — вопросы о сходимостн интеграла и об области определения иэображения но Лапласу. Теорема 6.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
