XI Волков И.К., Канатников А.Н. Интегральные преобразования и операционное исчисление (1081412), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Б. Операционное исчисление Пример 6Л4. Рассмотрим задачу хн+х = Лй), х(О) = 1, х'(О) = О Рис. 6.7 с периодической правой частью Я), показанной на рис. 6.7. Период правой части Т = 4. Один „импульс" описывается функцией,фа(й) = 2фй) — ц(й — 2)~. Таким образом, Еа(р) 2 1 е г~ 2 1 — е-4~ 1 — е — Ф р р р (1+ е-г[') ' Переходя к изображениям в дифференциальном уравнении, находим (р + 1)Х = К(р)+р ~ Х = + —. 2 ~(р) р рг+ 1 рг+1' Оригинал для иэображения Г(р)/(р~ + 1) можно записать в виде ряда Р~у) 2 2 ~~( — 1) е "Ф г+1 ( г+ ц(1+ -гр) р( г+1) ~'~ =' 2 Е(-Ц» [1 — (1 — 2ЙН М1 — 2Й). Окончательно получаем 6.$.
Прилюженкя оаерацыонного исчисления Отметим, что сумма в представлении решения н каждой точке $ > О имеет лишь конечное число ненулевых слагаемых и потому зто представление корректно. Решение можно преобразовать в виде суммы периодической части с периодом 4, связанной с периодичностью правой части, и некоторой апериодической части. Такое представление, впрочем, не единственно. ~ Общее решение линейного дифФеренциального уравнения может быть найдено как решение задачи Коши с произвольными начальными условиями.
Пример 6.15. Найдем общее решение уравнения ж" + а = = яп ~. Для этого поставим задачу Коши Ж" +Ж =3161, ж(0) = с~, х'(О) = сг. Переходя к иэображениям, получаем и Л -рс~ — сг+Х = — 4=~ (Р +1)Х = рс~+сг+ —. 2 г 1 рг+1 ,г~ 1 Решая зто уравнение, находим изображение искомой функции — р сг 1 Х = — С$+ — + рг+ 1 рг+ 1 (рг+ 1)2' Переходя к оригиналам, получаем решение, зависящее от параметров с~ н сг. 1 ж(~) = с~ сов 1 + сг ип ~ + — (яп 8 — 1 соя 1), 2 где 1 1 — (в!и 8 — 3сааЦ =' —. 2 (рг + 1)2' б. Онерационное исчисление Отметим, что общее решение неоднородного уравнения естественным образом распадается на сумму общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения с нулевыми начальными условнямн.
ф Решение другого вида задач для обыкновенного дифференциального уравнения может быть получено на основе общего решения. Пример 6.16. Рассмотрим краевую задачу ж" +х = нп1, О<к<1, т(О) = О, ж(1) = 1. На основе общего решения, полученного в предыдущем примере, получаем 1 х й) = с~ см 1 + с~ ив $ + — (яп 1 — 1 соя 1) . 2 Подставляя краевые условия, получаем систему алгебраиче- ских линейных уравнений относительно постоянных с~ и с2..
х(О)=с, =О, 1 х(1) = с~со81+саян 1+ -(ащ1 — со81) = 1. 2 Решая эту систему, находим 2 — ип 1+ сов 1 2яап1 Отметим, что левое краевое условие можно было учесть сразу, а взамен правого поставить дополнительное начальное с произвольным значением. 6.5.
Приложенин операционного исчисления Системы дифференциа.аьных уравнений Интегрирование систем обыкновенных дифференциальных линейных уравнений проводится по той же схеме, что н одиночных уравнений. Если коэффициенты системы уравнений постоянны, то в изображениях мы получим систему линейных алгебраических уравнений. Проиллюстрируем это на примере. Пример 6.17. Рассмотрим задачу Коши и 1 Р ~ Р 1~ е1 у'+ 22 — д'+ д = е ) ж(О) = О,,(О) ='О, х'(О) = 1, у'(О) = О. Полагал ж(1),=' Х(р), р(1),= У(р), переходим к изображениям: (р Х-1)+рх+р'~'-~ = —, 2 я р-1' 1 рХ+2Х вЂ” рУ+У =— р+1 или (р'+ р)Х+ (р' — )У = — +, р-1 1 (р+2)Х вЂ” (р- 1)У = —. = р+1' Решение полученной системы не составляет особого труда: может быть использован любой иэ известных методов решения систем линейных алгебраических уравнений. Получаем 2р — 1 Х 2( — 1)(р+1) ' Зр 2(р' — 1)' Переходя к оригиналам, например, при помощи 2-й теоремы 6.
Операционное исчисление разложения, находим решение исходной задачи х(~) = — вЬ~+ -~е 3 ф 4 4 х= Ах+У, х(О) = х"о)„ где (о) хг (е) (О) Л(и) ЬН) 1 Со) Хп У Р) Переходя к иэображениям, получаем рХ- ~') =АХ+к или (рŠ— А)Х = х~о)+ Е, Отметим, что любал система дифференциальных уравнений может быть приведена к нормальному виду, т.е. преобразована в систему первого порядка по каждой неизвестной функции, разрешенную относительно производных. В нашем случае мы получаем систему, которая в векторной форме записывается в виде 6.$.
Приложения щжрацианного исчисленвк 201 Имея в виду, что матричные произведения справа — зто суммы попарных произведений, переходим к оригиналам при помощи теоремы о свертке: где В($) — оригинал для матрицы-изображения (рŠ— А) Матрица-оригинал В(Ц вЂ” зто резольвента системы, или нормальная фундаментальная система решений соответству- ющей однородной системы: если мы положим ~ = О и ~ЫО1 = = (О,..., 1,...,О) т, где 1 стоит на Й-м месте, то в качестве решения получим Й-й столбец матрицы В(~).
Пример 6.1В. Рассмотрим задачу з' = ж — у+ в1п 1, р'= я+ р+ созе- в1п~ — е4, а(0) = 1, у(О) = О. Для этой задачи 1 1 ' О ' соя| — оп 8 — е' где Š— единичная матрица порядка я. Матрица рЯ вЂ” А обратима для каждого значения р, для которого де$(рŠ— А) ф О, т.е. для всех значений р, кроме характеристических. Обратная матрица будет иметь своими элементами рациональные. функции от р, являющиеся изображениями (особыми точками будуч только характеристические числа, которых имеется конечное число).
Поэтому получаем 6 Операцконкое исчисде~е таким образом, ~рŠ— А) ' = 1 ~р — 1 ~р Ц +1~ 1 р-1/' и резольвентой задачи является ' '(,-'' ' — ) -' '6;--',.) ~ ' (~~-' +1) ~ ' (ФМ+~) е сов$ — е'н1пФ~ ~ (соеФ вЂ” ип1~ е'ип 1 е'соеФ / ~, яппи соз1/ ' Следовательно, решение имеет вид ж~Ф) = е~, + ~соф — г) — н1п(~ — г) ~ ( в1п ~ ~,еп($-1) сОЯ~Ф-т),~ ~ СОБ~-в|п~-е ("'- 81п 1 Отметим, что предложенное решение — не самое удачное, так как проще было бы непосредственно вычислить изображение ХЬ) решения х(1).
Дифференциальные уравнения с переменными хоэффициентами Операционное исчисление может быть полезно при интегрировании обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, если эти коэффициенты являются многочленами. При переходе к иэображениям диф- 6 5, Приложения аперациониого исчисления ференцнрование оригинала превращается в умножение на па раметр р, а умножение оригинааа на независимую переменную — в дифференцирование изображения. Поэтому прн переходе к изображениям в дифференциальном уравнении с полиноыиальными коэффициентами порядок уравнения и степень коэффициентов меняются местами, т.е. в изображениях мы получим уравнение, порядок которого будет равен максимальной степени коэффициентов, а степени коэффициентов будут .не выше порядка исходного уравнения.
Если максимальная степень коэффициентов меньше порядка исходного уравнения, мы получим в изображениях уравнение меньшего порядка, которое легче решить. Пример 6.19. Рассмотрим задачу Коши для уравнения Бесселя нулевого порядка М" +х' — Л~йх = О, х(О) =1, х'(О) = О. Полагая, что хф.=' Х(р), находим: И; — -Х', х'.=' рХ вЂ” 1, .=р Х-р И ° 3 Фх" Ф -(р~х — р)' = 1 — р~х' — 2рх.
В результате мы получаем в изображениях дифференциальное уравнение первого порядка 1- р~х~-2рХ+ рХ -1+ Л~Х' = О, нли (А~ — р )Х' — рХ = О, 6 Операционное исчисленне Ю4 которое является уравнением с разделяющимися переменными. Решал его обычными методами, получаем Х(р) = С где выбирается ветвь корня, имеющая на действительной оси прн р > Л положительные значения.
Значение постоянной интегрирования С может быть найдено при помощи предельных значений для изображения С= Ит рХ(р) = 1пп х(Ф) =1. Ве р-~+оо ~-++О Таким образом, Х(р) = 1 Это изображение является аналитической функцией в окрестности оо. Поэтому оригинал может быть найден по 1-й теореме разложения: 1 1( Л ~ * 1 (2а — 1)!." Л" /~г р,г=р~, и =:р Е ~2п)1! ф~1= т~=1 (~ 1) ц Лйв ~ (Л~) Ял Ф 1+ ~-, — ~'" = ) — = Х,Щ. Ра) ц (2НР 22 (Я1) 2 Уравиеныл в частно производных Операционный метод эффективно работает с линейными дифференциальными уравнениями в частных производных параболического и гиперболического типов.
Преобразование проводится по переменной $, которал, как правило, предста б 5 Приложения операционного исчисления 205 вляет собой время (или может интерпретироваться как время). Такое преобразование позволяет понизить размерность задачи на 1. и,=аи,, 1>О, х>О, и(х,О) = О, и(О,Е) = 1, 1ип и(х,Ц = О. Рассматривая неизвестную функцию и(х, 1) как оригинал преобразования Лапласа по ~, зависящий от параметра х, переходим к изображениям фХ(х,р) — аЮ (х,р), х > О, 11п~ ~(х, р) = О. я-++ео Мы получили краевую задачу для обыкновенного дифференциального уравнения 2-го порядка. Решая эту задачу, на- ходим Пример 6.20. Найдем распределение температуры в тонком полубесконечном стержне с изолированной боковой поверхностью, если его начальная температура равна О но всей длине, а на торце поддерживается постоянная температура ио Пусть и(х, 1) — температура стержня в точке с координатой х в момент времени 1 (х = О соответствует левому концу стержня, толщиной стержня пренебрегаем).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
