Главная » Просмотр файлов » XI Волков И.К., Канатников А.Н. Интегральные преобразования и операционное исчисление

XI Волков И.К., Канатников А.Н. Интегральные преобразования и операционное исчисление (1081412), страница 19

Файл №1081412 XI Волков И.К., Канатников А.Н. Интегральные преобразования и операционное исчисление (Зарубин В.С., Крищенко А.П. - Комплекс учебников из 21 выпуска) 19 страницаXI Волков И.К., Канатников А.Н. Интегральные преобразования и операционное исчисление (1081412) страница 192018-01-11СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 19)

Б. Операционное исчисление Пример 6Л4. Рассмотрим задачу хн+х = Лй), х(О) = 1, х'(О) = О Рис. 6.7 с периодической правой частью Я), показанной на рис. 6.7. Период правой части Т = 4. Один „импульс" описывается функцией,фа(й) = 2фй) — ц(й — 2)~. Таким образом, Еа(р) 2 1 е г~ 2 1 — е-4~ 1 — е — Ф р р р (1+ е-г[') ' Переходя к изображениям в дифференциальном уравнении, находим (р + 1)Х = К(р)+р ~ Х = + —. 2 ~(р) р рг+ 1 рг+1' Оригинал для иэображения Г(р)/(р~ + 1) можно записать в виде ряда Р~у) 2 2 ~~( — 1) е "Ф г+1 ( г+ ц(1+ -гр) р( г+1) ~'~ =' 2 Е(-Ц» [1 — (1 — 2ЙН М1 — 2Й). Окончательно получаем 6.$.

Прилюженкя оаерацыонного исчисления Отметим, что сумма в представлении решения н каждой точке $ > О имеет лишь конечное число ненулевых слагаемых и потому зто представление корректно. Решение можно преобразовать в виде суммы периодической части с периодом 4, связанной с периодичностью правой части, и некоторой апериодической части. Такое представление, впрочем, не единственно. ~ Общее решение линейного дифФеренциального уравнения может быть найдено как решение задачи Коши с произвольными начальными условиями.

Пример 6.15. Найдем общее решение уравнения ж" + а = = яп ~. Для этого поставим задачу Коши Ж" +Ж =3161, ж(0) = с~, х'(О) = сг. Переходя к иэображениям, получаем и Л -рс~ — сг+Х = — 4=~ (Р +1)Х = рс~+сг+ —. 2 г 1 рг+1 ,г~ 1 Решая зто уравнение, находим изображение искомой функции — р сг 1 Х = — С$+ — + рг+ 1 рг+ 1 (рг+ 1)2' Переходя к оригиналам, получаем решение, зависящее от параметров с~ н сг. 1 ж(~) = с~ сов 1 + сг ип ~ + — (яп 8 — 1 соя 1), 2 где 1 1 — (в!и 8 — 3сааЦ =' —. 2 (рг + 1)2' б. Онерационное исчисление Отметим, что общее решение неоднородного уравнения естественным образом распадается на сумму общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения с нулевыми начальными условнямн.

ф Решение другого вида задач для обыкновенного дифференциального уравнения может быть получено на основе общего решения. Пример 6.16. Рассмотрим краевую задачу ж" +х = нп1, О<к<1, т(О) = О, ж(1) = 1. На основе общего решения, полученного в предыдущем примере, получаем 1 х й) = с~ см 1 + с~ ив $ + — (яп 1 — 1 соя 1) . 2 Подставляя краевые условия, получаем систему алгебраиче- ских линейных уравнений относительно постоянных с~ и с2..

х(О)=с, =О, 1 х(1) = с~со81+саян 1+ -(ащ1 — со81) = 1. 2 Решая эту систему, находим 2 — ип 1+ сов 1 2яап1 Отметим, что левое краевое условие можно было учесть сразу, а взамен правого поставить дополнительное начальное с произвольным значением. 6.5.

Приложенин операционного исчисления Системы дифференциа.аьных уравнений Интегрирование систем обыкновенных дифференциальных линейных уравнений проводится по той же схеме, что н одиночных уравнений. Если коэффициенты системы уравнений постоянны, то в изображениях мы получим систему линейных алгебраических уравнений. Проиллюстрируем это на примере. Пример 6.17. Рассмотрим задачу Коши и 1 Р ~ Р 1~ е1 у'+ 22 — д'+ д = е ) ж(О) = О,,(О) ='О, х'(О) = 1, у'(О) = О. Полагал ж(1),=' Х(р), р(1),= У(р), переходим к изображениям: (р Х-1)+рх+р'~'-~ = —, 2 я р-1' 1 рХ+2Х вЂ” рУ+У =— р+1 или (р'+ р)Х+ (р' — )У = — +, р-1 1 (р+2)Х вЂ” (р- 1)У = —. = р+1' Решение полученной системы не составляет особого труда: может быть использован любой иэ известных методов решения систем линейных алгебраических уравнений. Получаем 2р — 1 Х 2( — 1)(р+1) ' Зр 2(р' — 1)' Переходя к оригиналам, например, при помощи 2-й теоремы 6.

Операционное исчисление разложения, находим решение исходной задачи х(~) = — вЬ~+ -~е 3 ф 4 4 х= Ах+У, х(О) = х"о)„ где (о) хг (е) (О) Л(и) ЬН) 1 Со) Хп У Р) Переходя к иэображениям, получаем рХ- ~') =АХ+к или (рŠ— А)Х = х~о)+ Е, Отметим, что любал система дифференциальных уравнений может быть приведена к нормальному виду, т.е. преобразована в систему первого порядка по каждой неизвестной функции, разрешенную относительно производных. В нашем случае мы получаем систему, которая в векторной форме записывается в виде 6.$.

Приложения щжрацианного исчисленвк 201 Имея в виду, что матричные произведения справа — зто суммы попарных произведений, переходим к оригиналам при помощи теоремы о свертке: где В($) — оригинал для матрицы-изображения (рŠ— А) Матрица-оригинал В(Ц вЂ” зто резольвента системы, или нормальная фундаментальная система решений соответству- ющей однородной системы: если мы положим ~ = О и ~ЫО1 = = (О,..., 1,...,О) т, где 1 стоит на Й-м месте, то в качестве решения получим Й-й столбец матрицы В(~).

Пример 6.1В. Рассмотрим задачу з' = ж — у+ в1п 1, р'= я+ р+ созе- в1п~ — е4, а(0) = 1, у(О) = О. Для этой задачи 1 1 ' О ' соя| — оп 8 — е' где Š— единичная матрица порядка я. Матрица рЯ вЂ” А обратима для каждого значения р, для которого де$(рŠ— А) ф О, т.е. для всех значений р, кроме характеристических. Обратная матрица будет иметь своими элементами рациональные. функции от р, являющиеся изображениями (особыми точками будуч только характеристические числа, которых имеется конечное число).

Поэтому получаем 6 Операцконкое исчисде~е таким образом, ~рŠ— А) ' = 1 ~р — 1 ~р Ц +1~ 1 р-1/' и резольвентой задачи является ' '(,-'' ' — ) -' '6;--',.) ~ ' (~~-' +1) ~ ' (ФМ+~) е сов$ — е'н1пФ~ ~ (соеФ вЂ” ип1~ е'ип 1 е'соеФ / ~, яппи соз1/ ' Следовательно, решение имеет вид ж~Ф) = е~, + ~соф — г) — н1п(~ — г) ~ ( в1п ~ ~,еп($-1) сОЯ~Ф-т),~ ~ СОБ~-в|п~-е ("'- 81п 1 Отметим, что предложенное решение — не самое удачное, так как проще было бы непосредственно вычислить изображение ХЬ) решения х(1).

Дифференциальные уравнения с переменными хоэффициентами Операционное исчисление может быть полезно при интегрировании обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, если эти коэффициенты являются многочленами. При переходе к иэображениям диф- 6 5, Приложения аперациониого исчисления ференцнрование оригинала превращается в умножение на па раметр р, а умножение оригинааа на независимую переменную — в дифференцирование изображения. Поэтому прн переходе к изображениям в дифференциальном уравнении с полиноыиальными коэффициентами порядок уравнения и степень коэффициентов меняются местами, т.е. в изображениях мы получим уравнение, порядок которого будет равен максимальной степени коэффициентов, а степени коэффициентов будут .не выше порядка исходного уравнения.

Если максимальная степень коэффициентов меньше порядка исходного уравнения, мы получим в изображениях уравнение меньшего порядка, которое легче решить. Пример 6.19. Рассмотрим задачу Коши для уравнения Бесселя нулевого порядка М" +х' — Л~йх = О, х(О) =1, х'(О) = О. Полагая, что хф.=' Х(р), находим: И; — -Х', х'.=' рХ вЂ” 1, .=р Х-р И ° 3 Фх" Ф -(р~х — р)' = 1 — р~х' — 2рх.

В результате мы получаем в изображениях дифференциальное уравнение первого порядка 1- р~х~-2рХ+ рХ -1+ Л~Х' = О, нли (А~ — р )Х' — рХ = О, 6 Операционное исчисленне Ю4 которое является уравнением с разделяющимися переменными. Решал его обычными методами, получаем Х(р) = С где выбирается ветвь корня, имеющая на действительной оси прн р > Л положительные значения.

Значение постоянной интегрирования С может быть найдено при помощи предельных значений для изображения С= Ит рХ(р) = 1пп х(Ф) =1. Ве р-~+оо ~-++О Таким образом, Х(р) = 1 Это изображение является аналитической функцией в окрестности оо. Поэтому оригинал может быть найден по 1-й теореме разложения: 1 1( Л ~ * 1 (2а — 1)!." Л" /~г р,г=р~, и =:р Е ~2п)1! ф~1= т~=1 (~ 1) ц Лйв ~ (Л~) Ял Ф 1+ ~-, — ~'" = ) — = Х,Щ. Ра) ц (2НР 22 (Я1) 2 Уравиеныл в частно производных Операционный метод эффективно работает с линейными дифференциальными уравнениями в частных производных параболического и гиперболического типов.

Преобразование проводится по переменной $, которал, как правило, предста б 5 Приложения операционного исчисления 205 вляет собой время (или может интерпретироваться как время). Такое преобразование позволяет понизить размерность задачи на 1. и,=аи,, 1>О, х>О, и(х,О) = О, и(О,Е) = 1, 1ип и(х,Ц = О. Рассматривая неизвестную функцию и(х, 1) как оригинал преобразования Лапласа по ~, зависящий от параметра х, переходим к изображениям фХ(х,р) — аЮ (х,р), х > О, 11п~ ~(х, р) = О. я-++ео Мы получили краевую задачу для обыкновенного дифференциального уравнения 2-го порядка. Решая эту задачу, на- ходим Пример 6.20. Найдем распределение температуры в тонком полубесконечном стержне с изолированной боковой поверхностью, если его начальная температура равна О но всей длине, а на торце поддерживается постоянная температура ио Пусть и(х, 1) — температура стержня в точке с координатой х в момент времени 1 (х = О соответствует левому концу стержня, толщиной стержня пренебрегаем).

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
6,6 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Зарубин В.С., Крищенко А.П
Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6521
Авторов
на СтудИзбе
302
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее