XI Волков И.К., Канатников А.Н. Интегральные преобразования и операционное исчисление (1081412), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Теоремы разлом(ения ° У рациональной функции Г(р) конечное число особых точек и все особые точки являются полюсами. Пусть главная часть лорановского разложения Г(р) в полюсе р~ имеет внд Иа Е (р ~> )иь-н1 Ц = 1 соответствует наибольшей отрицательной степени, т,е. порядку полюса). Тогда функция являетсл целой аналитической. При этом в оо все главные части р~р) обращаются в О, функция Цр) по условию также обращается в О. Значит, Ро(оо) = О и потому Ее = О как ограниченная целая функция. Таким образом, получаем представление и нам остается в этом представлении в виде конечной суммы перейти к оригиналам почленно, Отметим, что для каждого й = 1,...,г функция (р — р~)"'Г(р) в окрестности точки р~ разлагается в ряд Тейлора КоэФФициенты А ~ этого разложения могут быть найдены по стандартным формулам для коэффициентов Тейлора.
ь 6 Операционное исчисление 186 Следствие. Если Г(р) — рациональная функция с простыми полюсами р1,...,р„обращающаяся в О в точке оо, Р(р) = = А(р)/В(р) — несократимая дробь, то р(р~ =' ~, ее" . А(ра) с ,, 8'(И) 4 По условиям р~ — — 1, Й = 1,2,..., г, и мы получаем по теореме 6.4 рф) ) Аеее" ', 1=1 А~ = 1пп (р — ру,)Г(р) = 11в А(р) 1ий (р- и) Р +Рее Р Р 1 Рр В(р) 1 = А(рю) Н'(р~) 11а тпахЦЦр)~, 1р~ = В„) = О„' 2) функция Р(р) абсолютно интегрируема вдоль любой вертикальной прямой Йер = а, о.
> оо. Тогда г"(р) является изображением и К~р) =' Сгее1р~р)ее',р =ре~. (6.12) Теореме 6.5 (3-я теорема разложения). Пусть г'(р)— функция комплексного переменного, аналитическая в (: всюду, кроме некоторой конечной или счетной последовательности точек р1, рр,..., являющихся ее изолированными особыми точками, причем все эти точки расположены в некоторой левой полуплоскости Ке р < оо. Предположим: 1) существует такая последовательность радиусов (В„), 1ип В„= оо, что о-+оо 6,4. Теоремы разложения ~ Условия теоремы позволяют применить теорему 6.2. Это значит, что Р(у) является изображением, оригинал для которого может быть получен по формуле обращения. Рассмотрим контур Г„, состоящий из отрезка прямой Ке р = о и дуги С„окружности ~р~ = В„, которая расположена слева от ука занной прямой (рис.
6.6). Интеграл Рис. 6.6 взятый вдоль контура Г„против часовой стрелки, будет равен сумме вычетов функции по особым точкам р)(., попавшим внутрь контура. По лемме Жосана Г(р)ер'Ир -~ 0 при а -+ оо. Переходя к пределу при и -+ ао, получаем что в силу теоремы 6.2 равносильно (6.12). в Заыечаиие 6.12. Нетрудно убедиться, что справа в формуле (6Л1) стоят сумма вычетов функции Р(р)е~', так как 6. Операционное исчисление Поэтому 2-я теорема разложения может быть переформулирована в том же виде, что и 3-я. Однако эти теоремы различны, так как под условия 3-й теоремы разложения подпадавт только те рациональные функции, у которых степень числителя меньше степени знаменателя минимум на 2.
Например, для изображения р ' функции Хееисабда применима 2-я теорема разложения, но не З-я, так как в 3-й теореме нарушается условие 2. С другой стороны, 2-я теорема разложения неприменима, если функция имеет существенно особые точки, даже если общее число особых точек конечно. Пример ВЛ1. Рациональная функция является изображением, и соответствующий оригинал может быть получен на основании как теоремы 6.4, так и теоремы 6.5. Имеем Р(р) .=' ген(Е(р), у = а) + тевье ГЯ, р = Ь) = Мт ~(р — а)Г(р)е"~ + 1пп — ~(р — Ь) Е(р)ер ) р-+в р-+ь пр е" . И е"' + 1нп— (а — 6)з р-+ь Йр р — а еаза ф~Ьй ~Ы (а — Ь)~ Ь вЂ” а (Ь вЂ” а)~ 6.5.
Приложения операционного исчисления Методы операционного исчисления могут быть использованы при интегрировании линейных дифференциальных уравнений и их систем. Применение основывается на теореме о дифференцировании оригинала. В случае уравнений в частных производных переход к изображениям осуществляетса по 6 Ь. Прияокеиия операционного исчисления одной из переменных. Операционное исчисление может также применяться для решения некоторых типов интегральных уравнений Линейные дифференциальные уравнения с постиоянными хоэффициентиами Для начала рассмотрим случай дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.
Обозначим через П~х) = х("~+ а,х~"-'~+ -"+ а„х произвольный линейный дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами, действующий в пространстве оригиналов. Наиболее просто решается задача Коши ~И(~) = УФ (6.И) х'"(~О) =*О~ ~=О 1~. 'и-1. Так как коэффициенты не зависят от времени, мы, не теряя общности, можем считать, что ~Π— — О.
В противном случае можно от функции х(1) перейти к функции у(1) =. х(1+ + 1О), КОтОРаЯ УДоВЛЕтВОРЯЕт ДнффеРЕНЦИаЛЬНОМУ УРаВНЕНИЮ с правой частью ~~($+ $О) и начальным условиям у~~~ (О) = хО~, й = О, 1,...,и — 1. Предположим, что искомая функция х(1) и ее производные до порядка и включительно, а также правая часть дифференциального уравнения У(8) являются функциями-оригиналами. Тогда в дифференциальном уравнении можно перейти к изображениям.
Если х(1) Ф Х(р), то по теореме о дифференцировании оригинала х~ ~с~ (1) ° Р~ Х (р) Р~ — 1 хОО Й = О, 1, ...,а — 1. Поэтому в изображениях диФФеренциальное уравнение будет иметь вид (р"х-р" ' ' — -"- " ')+ ( т~-1Д" Фъ-2 О ю-2) + + Д Цр) 6. Операционное исчисление ио где ДФ) Ф Р(р). Церегруппируем левую часть: (р~ + п~ри-1 + — +В1р +" +с )хО-"--~е = гЫ- Введем обозначения Тогда получим В(р) Х Ь1,0(р)~~о Ь„,О(р) хо 1 = Г(р).
(6.14) Пример 6.12. Рассмотрим задачу з~+ж =е', ж(1) = 1, *'(1) = 2. Так как начальные условия даны не при $ = О, ставим вспомогательную задачу для функции у(Ф) = ж(1 + 1): и+ Ф $+1 в которой левая часть дифференциального уравнения не изме- няется, а правая часть и начальные условия корректируются преобразованием параллельного переноса. Мы получили в пространстве изображений линейное алгебраическое уравнение относительно неизвестного изображения Х. Решая это уравнение, мы находим Х, а по нему восстанавливаем искомую функцию ж(1). 6.
Онерацнанное исчисление Каждое слагаемое в сумме справа является рациональной функцией со степенью числителя, меньшей степени знаменателя. Такая рациональная функция является иэображением. Если Д1) — оригинал, то Г(р) — корректно определенное изображение, и первое слагаемое в (6.15) справа также является изображением как произведение двух иэображений. Значит, уравнение в задаче (6 13) имеет решение в изображениях. Мы приходим к выводу, что если правая часть дифференциального уравнения в задаче Коши является функцией-оригиналом, то и ее решение также будет функцией-оригиналом. Рассмотрим задачу Коши с чисто нулевыми начальными условиями: Тогда в правой части (6.15) останется только одно слагаемое: Для перехода к оригиналам мы можем испольэовать теорему о свертке: где т(Ц Ф ХЦр) 1.
Функцию я'(8) в приложениях операционного исчислениия называют передаточной фумкцаей. Передаточная функция — это ядро интегрального представления оператора В ~1я1, действующего в пространстве функций с нулевыми начальными условиями и являющегося обратным к дифференциальному оператору ПЦ. Наряду с задачей (6,16) рассмотрим вспомогательную задачу П~х1~(~) = 1, (О)=0, 1=0,1,...,п-1.
(И ' (6.17) 6,5 Приложения операционного исчисления Для этой задачи находим решение в изображениях: Это соотношение используем для представления изображения передаточной функции 1 = Ф~т(р). п(р) Рещение задачи (6Л6) может быть теперь записано в виде Х(р) = — = рддр)Х1(р). Е(р) О(р) Для перехода к оригиналам в последнем соотношении используем интеграл Дюамеля: ж(~) = Дт)ж',(1 — т)Ит о или х(~) = ~'(г)~~(~ — т)Ит+ Я+О)~~(~).
(6.19) Формулы (6.18) и (6.19), выражающие решение ж(~) задачи Коши (6.16) через решение вспомогательной задачи (6.17), называют формула.ми Дюамеля. Если задача Коши сформулирована для однородного дифференциального уравнения (Д$) = О) с ненулевыми начальными условиями, то ее решение в изображениях согласно (6.15) имеет вид 6. Операционное исчжление В общем случае можно испольэовать принцип суперпоэиции и све~ти задачу (6. И) к двум вспомогательным задачам: первая — с нулевыми начальными условиями вторая с однородным дифференциальным уравнением .0~х~)(~) = О, х~ ~(О) = 4, Ь = О, 1,..., Сумма решений этих двух задач, как легко увидеть, будет решением (6.13). Приыер 6..13.
Рассмотрим задачу 1 х — х= —, 1+ е' х(О) = 1, х"(О) = 2. Особенностью этой задачи является трудность в определении изображения правой части. Однако можно по принципу суперпозиции разбить решение на сумму х(1) = х, «1) + х„(Ф), где х (Ц решение однородного уравнения с данными начальными условиями, х„«1) — решение неоднородного уравнения с нулевыми начальными условиями. Функция х (1) находится беэ затруднений как решение задачи Коши х" — х =О, х(О) = 1, х'«О) = 2, Мы получаем х,(1) = с5 1+ 2 вЬй. 6.5. Приложения операционного исчислеиил Функцию х„ф можно выразить при помощи формулы Дюамеля х„(~) = ~(г)х',(~ — т)й . Функция х1(8) находится как решение задачи Коши х — х=1, и х(0) = О, х'(О) = О- Это решение имеет вид х1® = сЬ $ — 1.
Окончательно находим вй(1 — т) 1 1+ е' 1, $е' х„(~) = Ыт' = — сЬ | 1в — + — (е' — 1) — —. ф6 м 1+ет 2 2 2 2 Особенно эффективным операционное исчисление является тогда, когда правая часть дифференциального уравнения является составной функцией. Пусть Дй) задана в виде ~~(1), О < 8 < аг. У(х) = При использовании традиционных методов мы должны были бы решить задачу на интервале (О,а2) с правой частью ~1 (~). Далее полученное решение нужно было бы использовать для постановки новых начальных условий задачи на интервале (аг, аз) и решать зту задачу с правой частью .6(1) и т.д. С помощью запаздынаюшей функции Хевнсайда мы можем представить со ставную функцию в виде суммы более простых оригиналов и воспользоваться свойством линейности нреобра; зования Лапласа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
