XI Волков И.К., Канатников А.Н. Интегральные преобразования и операционное исчисление (1081412), страница 13
Текст из файла (страница 13)
в пределе прн Н -+ сю). Действие этого варианта преобразования Фурье на оператор двукратного дифференцирования следующее: 5.$. Основные интегральные преобразовакийй а"..(х,ю)+ й„'„(х, Ю) = О, а(х,О) = О, -'(О Ч) = ~еЬ) х>О, р>0, где О, р>Ь, -~У~, О < ~ < Ь. ~'оЬ) = Здесь и(х,у) — температура в точке с координатами (х, у). Возможны два вариан~а решения этой краевой задачи. В а р и а н т 1. Применим по переменной д интегральное синус-преобразование Фурье. Если У(х, Р) = Ф,Я вЂ” изображение искомой функции и(х, р), то для этого изображения получаем задачу ~.'0.(х, Р) — Р'Щ~,Р) = О, * > О, .(. )=.Рп)='"'""-" АР Эта задача имеет единственное решение, принадлежащее пространству Р10, +со): ~у 1 — соя(ро) иР Пример 5Л. Найти стационарное распределение температуры в квадранте 1рис.
5.1), ««««««««««««««+ если одна его грань (у = О) а другая теплоизолирована, ~й ,«Гг~',~ ,ф« 1~«,«,~ еа исключением ближайшего «' «~'У««««««« к вершине участка длиной 6, О < р < 6, через который по- о 7шО ступает тепловой поток постоянной плотности д = сопят. Рис. 5.1 Постановка приводит к следующей краевой задаче для стационарного уравнения теплопроводности: 5.5. Основные интегральные преобразования Поэтому формулы ~6.30) и (6.32) дают одну и ту же функ- цию.
4 Рассмотренный пример подводит нас к выводу о том, что трудоемкость решения той или иной задачи может зависеть от выбора переменных для применения интегральных преобразований. В нашем случае применение синус-преобразования по переменной р оказалось предпочтительнее. Оно привело к однородному дифференциальному уравнению по ж, в то время как косинус-преобразование по переменной к приводит к неоднородному уравнению по у, которое решается труднее. Кроме того, формула ~5.32) менее удобна практически, чем (5.30). Интегральное преобразование Гаккеля Это преобразование полезно при рассмотрении плоских задач в полярной системе координат, Если функция ~Я определена на ~О, +со), абсолютно интегрируема с весовой функцией р(т) = ~~7 и удовлетворяет условиям Дирихле, то ее называют оригиналом преобразования Гаккеля, Само преобразование задается формулой Р(р) = НЩт)Ир) = ~Я3,,(рт)тйт, где и > — 1/2.
Формула обращения для этого преобразования имеет вид .1(т) Н ~~'~р)Ит) ~Я~йфт)фр о ~см. формулу Ганкеля, 4.3). Преобразование Ганкеля можно использовагь для исключения оператора эдди Р 11~и) = — — т — — — и —,.д д,,г согласно формуле ЦЩЦ = -р'-Н1и1. 5. Интегральные преобразования Пример 5.8.
Найти решение задачи Коши а(г, О) = Дг), и'(,О) = Ф(г)- Ф>О, г>О, Данная задача возникает, например, при изучении малых поперечных колебаний бесконечной однородной мембраны, если начальные условия обладают осевой симметрией. Предполагая, что и(г,$), Дг), фЯ являются оригиналами преобразования Ганкеля порядка и = О, применим его. Тогда получим задачу Коши ~фр, р) + акр~ Щь, р) = О, ~ > О, ЦО,р) = Г(р), Й(О р) = ~(р) где 0(1, р), Е(р), Ф(р) — изображения соответствующих функ- ций. Решение полученной задачи имеет вид У(1, р) = Р(р) соя(арф) + — а1п(арф). Ф(р) .
ар Окончательный ответ получаем, применяя обратное преобразование Гаккеля: м(г,~) = ~(р) с (ар~)+ — а1п(аФ) ~о( )рФ ФЫ . Нюпегральное преобразование вебера Если функция Я(г) определена иа ~го, +со), абсолютно интегрируема с весовой функцией р(г) = ~~ и удовлетворяет условиям Дирихле, то ее называют оригиналом преобразования Вебера. Это преобразование задается формулой ~(р) = ~ИгИ(р) = Р.(р о)У.( )-~ Ю~.( оИЮг4г, то 5.
Интегральные преобразоваязы Ее решение Окончательный ответ находим при помощи обратного пре- образования: и(т,1) =— 2То + Уо(ртоРо(рт) — Хо(рт)Уо( о) Х ' о И4(ро)+Ю( оИ х 1 — е '"' др. Интегральное преобраэование Мелвина Оригиналом интегрального преобразования Меллина называется функция ~(т), определенная на (О,+ос), удовлетворякицая условиям Дирихле и следующему условию: существуют такие положительные о1 н ор, ю1 < ор, что сходятся интегралы т ' '~Щ~Й (534) т~' ~Ят) ~йт, Это — еще одно интегральное преобразование для полярных координат.
Преобразование Меллина задается формулой К(р) =. М(~(тИ(р) = ят)тт 'Йт, интеграл в которой сходится для любого р б С, для которого Вер 6 (с1, ю2). Обратное преобразование Меллина имеет вид 1 2л.в Г(р)т "ар, где комплексный интеграл берется вдоль вертикальной прямой Ке р = ~, е Е (с1, сг). Эти формулы могут быть получены при помощи экспоненциального преобразования Фурье (сравните с преобразованием Лапласа, см. 6), $.
Интегральные преобраьовання где Цу, р) — изображение неизвестной функции, а Той~у ' — изображение функции ТЯ: я М[Т(г)](у) = Тот~ ~(Б = Тейлор 1. Решал полученную краевую задачу для обыкновенного дифференциального уравнения, находим ТрЯ~ ип(ру) И~чр) = ЯБ1П(фф,) Отметим, что функция ТОЛ"р ', полученная нами как изображение Т~т), аналитична всюду в С, кроме точки р = О, в которой она имеет полюс первого порядка.
Однако как изображение Т(г) она должна рассматриваться только в полуплоскости И.ер > О, что определяется возможным выбором параметров а1 н а2, при которых интегралы (5.34) для ТЯ сходятся. В свою очередь Цу,р) аналитична по р всюду в С, кроме точек р = Ьг/уо, в которых она имеет полюсы. В качестве интервала (а1, а~) можно взять любой вида фг/~ро, (~ + 1)~г/(ро) й = 1,2,... Рассмотрим интервал (О, ~г/~ро). По изображению при помощи обратного преобразования находим То ап(ру) В ~ ф Несобственный комплексный интеграл в полученном ответе может быть вычислен методами теории вычетов. Для этого следует испольэовать один 1 В с„.
нэ контуров, изображенных на Р рис. 5.2, и перейти к пределу прн р — ~ +со. Учитывал, что подын- О тегральная функция имеет бесконечное число полюсов в точ- Я кахп= ~гй/~о, ~ — О,Ы,Ы,„., ответ получаем в виде ряда: РИс. 5.2 5 Интегрально цреобразовання Считаем, что плотность каждой из частей постоянна, а упругие свойства описываются модулем Юнга, также постоянным для каждой иэ частей. Пусть Е; — модуль Юнга «-й части, р; — плотность материала «-й части, 5; — площадь сечения «-й части, а; — длина «-й части вдоль оси, « = 1,2 Предполагаем, что начальное состояние составного стержня задано в виде функции Дх), указывающей смещение точки с координатой х, а начальные скорости — нулевые. Считая, что точка стыковки частей соответствует началу координат, получаем следующую смешанную задачу для смещения сечения стержня и(х, Ф) с абсциссой х в момент времени Ф: и"« = о'(х)и" .~ 1>О, -а~ ах<ар, и',(х,О) = О, и(а~, 8) = О, и(х, 0) = Дх), и( — а1,1) = О, я(х) и1 = Е1ф~1 — а1 ~ х ( 0~ Ф'(х) = — = ~(х) В~~ = БЯРр'у 0 ~ х (а2.
Жесткая связь частей стержня описывается уравнениями и(0 — 0,1) = и(0+0,~), Е151и" (Π— О,й) = Ег5ги',(О+ 0,~)' и~К~~х+ у~К = О, -а1 < х с аэ К( — а1, р) = О, К(а2, р) = О, (5.35) решение которой будем искать при дополнительных условиях сопряжения в точке стыковки: ~'(Π— О, и) = К(0+О,р), Е,Б,~,',(Π— О,р) = Е ~ ~'(О+О,р). Для решения этой задачи ставим вспомогательную задачу Штурма — Лиувилля для нахождения ядра интегрального преобразования; Б Интегральные преобрезованил где последовательность множителей (С„) находится из условия нормировки ядра. Для их вычисления требуется знание весовой функции, которую, напомним. ищем исходя из требования, чтобы интегральный оператор задачи (5.35) был само- сопряженным. Весовая функция может быть найдена ранее описанным способом, но зто приводит к дифференциальному уравнению с разрывными коэффициентами.
Имеется другой способ определения весовой функции, в основе которого лежит требование, чтобы система функций (К„(х)) была ортогональной (это требование равносильно самосопряженности оператора задачи (5.35) ). Пусть т у~ а. Выпишем два тождества: 02 (х) Ке(х) — рх К„(х) и (х)К (х) = -р К„,(х). Умножим первое тождество на р(х) К„,(х) (р(х) — неизвестная весовал функция), второе — на р(х)К„(х) и вычтем из первого второе. Полученное равенство проинтегрируем и ар п~(х) ~К„"'(х) К (х) — К" (х)К„(х)~ р(х) дх = д! (г „г) — й1 = (р — р~)(К (х);К (х)) =О.
Полагая, что неизвестная функция р(х) постоянна на интервалах ( — и1, О) н (О, аг), можем проинтегрировать левую часть (5.37) на каждом из указанных интервалов по частям. Используя граничные условия, получаем новое равенство ~К,'„( — О)К (-О) — К„( — О)К' (-0))р(-О)о~( — О) + + 1К„'(+0)К (+0) — К„(+О)К' (+0)1р(+0)ог(+О) = О, которое выполняется, если Я~р~, — О1~ х СО~ р()= Згрг, 0<х<аг $. Интегральные преабразоеаиия У„"(Ц + р~ И„Я = О, ~ > О, У„(О) = Р„, ~„'(О) = О. Ее решение: У„(Г) = Е соя(р„1), и для получения окончательного результата нужно воспользоваться обращением интегрального преобразования, т.е.
в нашем случае выписать ряд по ортонормированной системе: и(я, !) = 2 ) с„к„к ~л) сов(!~!). Учитывая вышеизложенное, получаем окончательно ответ а с~в(р,ф) в!и ~ — ") нп ~ ), -а1<х<О, в„сов(р„!) юп ( — ) в!и ( ), О < х < аг, где а.„вычисляются по формулам о'и = 2С!!Уи— о х 51 р~ яп — Дх) ип " ' сЬ+ + 82р2 жп —" ~(х) ип " 2 йх а (р„~ — — монотонно возрастающая последовательность положительных решений уравнения ~5.36). 5.6.
Применение нн'гегральных преобразований Потекциал электпростатичесхоео и;оля Электронно-оптическое устройство представляет собой область пространства, ограниченную плоскостями х = О, р = = — 6, у = 6. Задано значение потенциала на границе области: и = ио при х < а, р = +6 и прн х = О, и = Π— в противном случае, Требуется у найти распределение потенци- и=0 ала электростатического поля ь в плоскости симметрии р = О 1 ь 1 устройства аО ~а Так как граничные условия не зависят от переменной х, то и распределение потенциала и не зависит от я, Поэтому мы приходим к плоской задаче для уравнения Лапласа ~рис. 5.3): Рис 5.3 ~у~ <6, х >О, а~О,ф) = пр> и~х, Щ = Я~х), ао, О~х<а, О х>а, Применим интегральное синус-преобразование по переменной х. Получим следующую задачу в изображениях: Р ~+Р'цо+~~„д — О> Ь~ < 61 1 — сов~ра) Ц+6,р) = ие Р где Г(р, Р) иэображение неизвестной функции и(х, у); 1 — сов~ра) РЯ ио — изображение функции Дх).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
