XI Волков И.К., Канатников А.Н. Интегральные преобразования и операционное исчисление (1081412), страница 9
Текст из файла (страница 9)
1.3), приходим к формуле 4~(х, Л~) = х .7,(з~х) аЛ»,,7„»(з»,а) 4. Рязломеакя по функцкян Бесселя Таким образом, для любой функции ~ б Ья(0, а) получаем В результате мы получили ряд по полной ортогональной системе функций Щх /7Д относительно скалярного произведения в йх)д(х)«/ а . С л у ч а й О < и < 1. В этом случае иэ соотношений (4.6) следует, что функции «Д,7„(х4Л), «ДУ„(х /Х), а вместе с ними и любое решение уравнения (4.3) принадлежат Ьэ(6, а1.
Значит, мы имеем дело с сингулярной задачей типа предельной окружности. Так как и не является целым, фундаментальную систему решений (4.3) удобно определить через функции Бесселя 1 рода порядков и и — и. При этом соотношения (4.5) преобразуются к виду 4~(х, Л) = . ~,У„(зх),У „(за) — 3 „(зх)У„(за)1, ~(х, А) = — . ~ЛДзх)3' „(за) — 3 „(зх)Л„'(заЯ вЂ” (4.8) ф(х, А) где, как и выше, з — значение «/Х, взятое в полуплоскости Н,е з > О. Чтобы идентифицировать одну иэ возможных функций Вейля — Тктчмарша, достаточно задать ее значение в некоторой 4 2, Разложение на промежугке (О, а) точке.
Возможные варианты мы получим при .помощи предельного перехода Ь -+ О. Пусть О < Ь < а и в точке 6 задано условие ~~'(ь) — щь) = о. (4 9) Функция т(6, Л), которая определяет функцию е (ь, л) = я(ь, л) — т(ь, л) Ф(ь, л), удовлетворяющую условию (4.9) в точке 6, может быть опре- делена по формуле аналогичной (3.8). Оценим величины Л'(Ь,Л)~+ ~(Ь,Л) и ~'(Ь,Л)~+ ф(Ь,Л). Исходя из определения для функций Бесселя 1 рода и представлений (4.8), получаем з"3 „(за) „з "3„(за) -~1 2"Г(и+1) 2 "Г(-и+ 1) к~~а 2~~з1в (~гм) 2 2 "Г( — и+1) +00 ~" ") Следовательно, ~ЯЬ,Л) г, + ф(ь, Л) = з" 1-и(зо) ц О ~)~ Ь)ьи-0,5 2~Г(и+ Ц + О(6™+1 5), ~г /а 2 яп(~ги) ~'(ь, л)~+ ~(ь, л) ~'(ь, лК+ Ф(ь, л) ' 4.
Разложению по функцвам Вассал Иэ представлений (4,5) получмм 2 зх ~а~яа) — ~оюза)- ~1в — + т)] ~~*, л> = -'~~'* ~ +О(х ' ), $~(ва) — 1о~ва)- ~1а — + т+ 2)] к~Га ~'(* А) = -— 4ф: +(~(х ю ) отк)1да ~Ь,'(6, А)~+ ф(6, Ц = — 1п — + у+2 + 2Л 1и — + у = — Яо(за) — — Уо(за) — + Л + т~Га 2 ЬГЬ + ~/а,Цза) 1пз — + ~Ь + О(Ь1,'з) = 2ЪФ Ь вЂ” — + Л ~о( ) — С(Юо( )— к~Га 2 2ъ~Ь 21пз — .7о(за) + О(Ь1,Ф) С(О =- 2 1 (1п Ь + 7+ 2) + 2Ь 11п Ь + 7) 2 7Г ~+ 26 Аналогично ~' (Ь, А) «+ я(Ь, А) = з„Я , ~ Ь 6 = — —.Уо(за) — 1п — + у+ 2 + 2Л 1п — + у + 2 ~4 2 2 У'(за) — С(~) Х~(за) — ~~~(за) + О(Ь1,5) + Уоа(за) — + Л вЂ” зла.7О(за) 1п з — + Л + тз~~а 2 2КЬ 2ъ'Ь + О(Ь"» — —,~~.'(Ь, ЛК+ Ф(Ь, Л)] = 4. Рааложишл по функцияы Бесселя 4.3. Разложение на нромежу лсе (О„+оо) Это — двусторонняя сингулярная задача.
Так же как н ранее (см. 3.4), выберем точку а Е (О, +со) и построим две функции .ф1 (ж, Л) и .ф~ (з, Л), удовлетворяющие уравнению (4.3) и граничным условиям ф1(а,Л) = 1, ф2(а, Л) = О, ф~)'(а,Л) = О, (фр)'(а, Л) = 1. Поставленные граничные условия позволяют воспользоваться результатами 4.1, 4.2, так как функция ф1 — это, по существу, функция 1(х, Л), а ф2 — это функция я(м, Л), рассмотренные в односторонней сингулярной задаче. В точке оо характер сингулярной задачи не зависит от порядка и и имеет тип предельной точки.
В точке О (см. 4.2) выделяются три случая. Рассмотрим их. С л у ч а й и > 1. В этом случае ооа конца двусторонней задачи имеют тнп предельной точки. Функции то(Л) для точки О, т (Л) для точки со и матрица спектральных функций а,.(Л) определены однозначно. Согласно результатам 4.1, 4.2 имеем ,7' (8а) 1 шо(А) = -8— М ) (Н~ ~)'(8а) 1 т (Л) =8 ~~ + —. 0„1 (ла) 2а Так как И'[У„; Н, ~(л) = 2~/(хя), то 2$ ,(Л)+ „(Л) = .
(411) яа3„(аЛ) Н~ (аъ Л) Отметим, что функция тв(Л) принимает действительные значения при действительном аргументе. Поэтому 1т(т,(Л) + т„(Л)) то(Л)+т„(Л),~ ~тв(Л)+т (Л)~2 — 1гп т (Л) = ~ ,(Л) + „(Л)~~ 4.3. Разложение на нроиежутке (О, +со) Аналогично т о(Л) — т (Л) ~ -2то(Л) 1в т (Л) (Л)+ «Л)/ ~ (Л)+ (Л)~г ~ то(Л)т (Л) ~ то«Л)~ 1т т (Л) ° (Л)+ (Л)/ -1,(Л)+ (Л)!' С другой стороны, нз «4.1Ц заключаем, что при Л < О функция то(Л) + т (Л) принимает действительные значения, так как тогда 8 — чисто мнимое, 8 = Фм, и 3„(ма) Н~~1(~ыа) = — — 1„(ма)К (сна), Т.е. 1 то(Л) + т (Л) —, Л = -ы~.
При Л > О находим я а А (~а)( ~'и(за) + ~~ и(8а)) 2 Ъ Ф Согласно теореме 3.10, заключаем, что —.фаЛ)НЛ, Л > О, Й~11(Л) = 2 О, Л < О. Согласно (4.12) 1ы т„(Л) ~и«) ~т (Л)+т (Л)~г 4.3. Разложение нз промежутке ~0, +сс) С л у ч а й О < и < 1. Согласно 4-1, 4.2 находим, что (НЬ~) )'(еа) 82" 3' Два) — С.У„'(за) (8а) 8 "Х „(~а) — С,У„(за) 2' -2Ф82Р Н~'~(за) [В~и.~ (8а) — С,~ (ла)~ где в~ = А.
Так как функция ~во(А) принимает действительные эначения .при действительном аргументе, мы, повторяя рассуждения предыдущего случая, находим, что верно представление (4.14). Нам остается выяснить вид функции п11(А). Если А>О,то 1пфио(А) + т„(Л)1 1 = Н„(т) = — — [л~",У „(ла) — С,У„(8а)] Ке — — [я»"У „(~а) — С,7 (ла)~ х 2 Я„(ла) (Л" софги) — С) — У„(8а) Л" яп ли х АЯ" — 2СА" сов(я'и) + С~ та [Л",7 „(за) — С3'„(8а)~ 2 Л2~ — 2СЛ" сов(ки) + С2 Полученная функция непрерывна по параметру С на интервале ( — оо, +ос), т.е. при Л > О функция т11(А) не имеет полюсов, а о11(Л) соответственно не имеет скачков, Если Л < О, то ~7~~1(Л) = [то(А) + ж (А)) и2" Х „(иа) — СТ„(ша) где м = ~~Я, и мы видим, что в отрицательной части 1тти11(Л) = О.
Воэможны два случая. 4 Разложения по функциям Бесселя При С < О функция ш11(Л) ограничена и полюсов не имеет. Иэ представлений для функций ~(х, Л) и 4 (х, Л) находим рещение Вейля п(х Л) Ях Л) ~~о (Л)ф(х Л) р и 8~"3 „(за) — СУ„(яа) Для г11(Л) имеем представление а (ЛУ „(и Я вЂ” С1„(а~lЛ)) сЬ11(Л) = 2 Л~" — 2СЛ" сов ~ги+ С~ О, Л < О- В результате для любой функции ~ Е ХР(0, +оо) имеем представление а Г+- Л",У .(хЛ) -С.7.(хд) 2 До Л2" — 2СЛ" сов(~ги)+С~ где ~(Л) = ГЛ„.1 —.(ЫЛ) — С1 КЛ)3И) Я~.
(4.Ы) а При С -+ оо это представление переходит в разложение Ганкеля. Если С > О, то амид(Л) имеет в точке С~~" полюс. Так как при Л = — С'1" и~ 1 „(иа) — С1„~иа) = С[1 „(ыа) — 1„(ма)~ = 2С = — в1п (хи)КЯиа), где м = ~ Я, находим вычет в этой точке 2аС~~" ген(тих (Л), Л = — С~~ ) = е1п (я.и)К2(С1П~"4а).
ХР 4. Разложеищз ««о функциим Бесселя т.е. получили непрерывную функцию от Л, из чего следует, что при Л>О а [Уо(за) — (2«г «1пз+ СЩза)~ йг««(Л) = 2 1+(2л «!из+С)~ ИЛ. При Л<О тг«««(Л) = — — Ио (Ыа) ~(«г !пи+ «+ С).Уо(«ыа)— 7га («« . « 2 — 'Уо( )+ и,"'( )1~1+«( -'1 + +С)~ '= ка 2 Ко(ма)1(л «1п и+ С)Хо(иа)+ 2я' «Ко(~аа)~ 2 ~г« фг «Ьы+С) 2аКо(ма)' = аКо( а)Хо(~~а)+ 21пы+ ~гС' т.е, Функция «'г«««(А) является действительно-значной. При этом точка Л = — е ~ является полюсом т««(Л) с вычетом гез(т««(Л),Л= — е "~) = -2аКо(ма) е Таким образом, приходим к разложению Ях) = Ъ/хе " Ко(хе +)Г( — е " )+ Уо(ЫЛ) — — 1п Л+ С ~о(хЛ) х Е(Л) НЛ 1+ (1 1а Л+ С)2 ' где Уо(~Л) — — 1п Л+ С 4)(4Л) Значение Г(-е "~) в полюсе спектральной функции может быть найдено по упрощенной формуле Г( — е ~) = ДКо((е ~ )Х®д(.
5. ИНТЕГРАЛЬНЬЖ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 5.1. Общие положения Пусть функция К(ж,р) определена на множестве ~а,Ь)хР, где ~а, Ь) — интервал действительной осн, -оо < а < Ь < +оо, а Р— некоторое множество изменения параметра, в общем случае подмножество поля С комплексных чисел. Интеграл В~иЦр) = К~х, р)и(х)йх а определяет линейное преобразование, которое отображает функцию и(ж), определенную на интервале (а, Ь), в некоторую функцию Цр) = В~иЩ, определенную на множестве Р.
Такое преобразование называется имшееуальяым, функция К(ж, у) называется,ядро.м интегрального преобразования. Множество функций и(ж), для которых интеграл ~5.1) определен для каждого р Е Р, образует линейное пространство, называемое прастпранстивом оуиеимамов, а, соответствующее ему линейное пространство образов В~и~ называется пуастраиством изо6ражекий.
Сформулированное нами понятие интегрального преобразования беэ труда переносится на случай многих переменных, но мы для простоты не будем этот случай обсуждать. Функции многих переменных могут быть объектом одномерного интегрального преобразования. Пусть функция и(ж1,..., ж„) 5. Интегральные преобразования 98 Пример 5.1. Рассмотрим пространство Б~~а, Ь1 и полную ортонормированную систему функций К„(х) в нем. Эта система может трактоваться как функция двух переменных, К„(х) = К(х, п), определенная на. (а, 6~хХ. Преобразование определена в области и-мерного пространства, причем пределы изменения переменной х~ не зависят от остальных переменных и представляют собой интервал (а, Ь).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
