XI Волков И.К., Канатников А.Н. Интегральные преобразования и операционное исчисление (1081412), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Задача — Ь( )и'(*Н'+ч(ж) Ф) = М*) а<*<6 а1 и'(а) —,01и(а) = О, (2.1) юэы'(6)+ Рэа(6) = О в теории уравнений математической физики называется задачей Штурмана — Лиув падя, Каждое иэ уравнений системы (2,1) является операторным. Действительно, выражение ЦИ=-ЮГ+и определяет в С~4~а, Ц линейный оператор, значениями которого будут функции иэ пространства С~а, 6].
Этот оператор называют оператпороль Шшур.иа — Лаувилмя. Выражения В1 ~у~ = о1у'(а) — Яу(а), (2.3) ВэЬ] = '"и (6) + Ау(6) также являются линейными операторами в С~2~ [а, 61, но со значениями в Ж' (такие операторы в функциональном анализе называются линейными формами или Функционалами). Множе- ЗБ 2. Задача Штурма — Лиувилля ство функций в С~2>~а, Ь~, для которых функционалы (2.3) обращаются в О, образуют линейное подпространство, которое мы обозначим Я.
С учетом этих замечаний задача (2.1) может интерпретироваться как задача на поиск собствекныт функций оператора Штурма — Диувилля, действующего в пространстве Я. Напомним, что ненулевой вектор х линейного пространства Я называется собственным для оператора Е, действующего в Я, если вектор Еж коллинеарен а: Хм = Лэ. При этом число Л называется собственным значением оператора Е. Отметим, что постановка (2.1) задачи Штурма — Лиувилля является общей и в частных случаях приводит к задачам с однородными граничными условиями 1 рода (при а1, а2 — — О), 11 рода (при Д„В2 — — О) или П1 рода (при а1,ск2,Д,Д2 ф О), которые известны из курса математической физики.
Несколько нижеприведенных утверждений иэ курса линейной алгебры, относящихся к понятиям,„собственное значение" и „собственный вектор" оператора, играют для нас важную роль: 1) множество собственных векторов, отвечающих одному собственному значению, с добавленным к нему нулевым вектором есть линейное подпространство (произведение собственного вектора на число, сумма собственных векторов с одинаковым собственным значением снова является собственным вектором с тем же собственным значением); 2) собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям, линейно независимы; 3) если линейное пространство евклидово, т е.
в нем определено скалярное произведение, а оператор самосопряженный, то собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны. Эти факты, доказываемые в курсе линейной алгебры для случая конечномерных пространств, на самом деле с конечномерностью не связаны и верны для произвольных линейных пространств. Отметим, что введенное нами пространство Я является бесконечномерным, так как, например, содержит бесконечное множество линейно независимых функций вида 37 2 1. Постановка оадачи х'"У«х), п = О, 1,2,..., где У(х) — некоторая фиксированная функция из Ч. И нашем пространстве Я определим скалярное произведение ь (и(х), и(х)) = и(х)и(х)ах а и норму, соответствующую этому скалярному произведению: !1и(х)!! = Отметим, что для любых функций У1,Уг 1= С~~~[а,Ц Уг ЧУ13 У1 ЦУг1 Уг (РУ1) + У1 (РУг) + ЧУ1Уг ЧУ1 Уг = У1(РУг) — Уг(РУ1) = У1(РУг) + У1РУг — УгРУ1 — Уг(РУ1) = — (У1РУ2) (УгРУ1) ~Р(У1Уг Уг У1)~ ~Ф~ [У1 > У21~ ) где И~[У1., Уг] — определитель Вронского двух функций У1(х) и Уг «х).
ТожДество Уг (х)ЦУ1~(х) — У1 (х)ЦУг~(х) = «Р(х)И [У1~ У31(х)~ называют тпождестпвом Лаераижа. Интегрируя тождество Лагранжа, для собственных функций и(х) и и(х) оператора Е, отвечаюц1их собственным значениям Л„и Л„, получаем формулу Грина ь Р(х)И~[у1 уг1(х) (Л Л ) и(х) п(х) Ых ° б й В частности, если Л„= Л„, то Р(х)И'[и;п)(х) = С, где С— постоянная. Если и, и <= я, то векторы (и(а), и'(а)) (п(а) и (а)) «»»1, д) коллинеарны в силу граничных условий.
Поэтому И'[и; п](а) = О. Аналогично Щи; п~(6) = О. Следовательно интегрируя тождество Лагранжа на отрезке [а, 6], получаем ь (и(х)ЦИх)- (х)Ц И*))Ь=О 2. Задача Штурма — Лиутиищ ИЛИ (ц,ХМ= (ХИ о). Таким образом, оператор Х„рассматриваемый на простран- стве Я, является сцмосолряженным. Замечание 2.1. Так как образ оператора Х, не совпадает с его областью определения, то использование термина „само- сопряженный" в данном случае, вообще говоря, не совсем корректно.
Однако отметим, что Ч' является подпространством более широкого пространства функций 12~а, Ь~, а введенное нами скалярное произведение распространяется на это более широкое пространство. Таким образом, тождество (2,5) имеет смысл, что позволяет в данном контексте говорить об операторе Б как о самосопряженном. 2.2. Линейные дифференциальные операторы 2-го порядка Оператпор Штурма — Яиуааллл является частным случаем линейного дифференциального оператора 2-го порядка, имеющего вид ~М( ) =РОЮЯ"( )+ИМИ'(*)+Р2( ЬЮ, Ю ~ Ю Такой оператор, вообще говоря, не является самосопряженным относительно скалярного произведения (2.4). Действительно, Ь Ь ь МЦ1 Ч = ю оРОИ~+ и'юР~4Ь~+ иН7гсЬ~ = ь = и'ОРО~ — и(роо) ~, + МРОи) Йх+ иор1~ — в(Р!о) ~~ + в~р2~~ = а а ь — ~РОе ~' — ®(РОо) +Р1~о~~ + ~(РОх1)" — (Р~9) +Р2ю~ю(~ж = а 2.2 Яннейные днфференпнальные оаераторы 2-го нарядна 39 Ь ~ройс — и(рои) + р1и61~ + (акоп + р10 + р2и)шЬ'+ а +2 (ро — р,) и ах= в Ь =( ЛЫ> — (г4 — р) $.'+~ О4 — р) ' ~ а и мы видим, что оператор может быть самосопряжен, только если ро = Р1 ° ! Ситуация может быть скорректирована, если в Ч ввести скалярное произведение более общего вида (и, и) = и(х)и(х)р(х)йх, т.е с некоторым весом р(х).
Тогда, учитывая граничные условия и используя интегрирование по частям, получаем (Еи, о) — (и, Ьа) = ип~р1р — (рор)'~~ + Ь + (2и'У ИРор) Р~Р1+ инИРор) Р1РЦ~х~ откуда. видим, что Ь будет самосопряженным, если р(х) удо- влетворяет дифференциальному уравнению (уор) — р~р = О. Решая дифференциальное уравнение, находим р(х) = — ехр — сЬ 1 р1(х) Ро(х) ро(х) Следует заметить, что задача на собственные значения РоУ +Р1У +Р2У=М (аИ' — А Ю)!,. = О, (о2Ю" +АИ~, „=О 2Л Обрещение операторе Штурыа — Лиуеияля ствования и единственности решения задача Каши для того же дифференциального уравнения. Рассыотриы задачи Коши Цу] = О, у'Р) =А д(6) = -О2, Цу]= О, у'М) = А) У(а) = О1) которые по теореме существования и единственности имеют решения у1 ~х) и у2(х).
Прн этом по формуле Грина где х — постоянная, не зависящая от х. Эта постояннал может равняться О, только если у1 ~х) и у2(х) линейно зависимы, т.е. отличаются числовым множителем. Но тогда каждая из них является решением дифференциального уравнения Цу] = О прн краевых условиях ~2.8); следовательно, оператор Ь имеет собственную функцию с собственным значением О. По предположению, таких функций нет, так что я ф О. Рассыотриы функцию 1 у1 ~х)у2®г х ~ ~1 И О=— у Ы)Ых) х >6 Эта функция непрерывна по совокупности переыенных, удовлетворяет граничным условиям ~2.8) по переменной х ~а в силу симметрии — и по переменной ~). При х ф ~ она как функция от х удовлетворяет уравнению (2.7), а при х = (' ее проиэводнал имеет разрыв 1 рода со скачком Если ~ Е С1а, Ь], то функция ь нФ) = яЬ ОИ04.' И ~2.9) 2.
Задача Штурма — Лиувил~м является решением уравнения (2.7). Чтобы проварить это„эаметим. что 1 И Ь '(х) = — — „У Ы)Р2(х)УЫИЛ+ У1( )Р2Ы)Л4)4; 1 — Р2(х) у~ ®Щ() с~(+ ур(х) у1(х)~(х)+ в +Р'( ) Р2(ОХИ) К-У1( )Р ( )Л ) Л ь — Р2(х) Р2КШад(+ Р1(х) Р2К)И)< Яозтому х Ь(х) '(х)1'= — И )Р2(х)Г Р1К)И) Ю+ х о + — Р,(х)у1(ж)~(х) + Их) + — ~Р(х)У',(х)1' Р~©~®Щ— и у Р( ') — — Р~(х)ЫхШ ) = Й = — ч(х)Р ( ) Р1Ы)Х((М+ х а 1 б + -Д(х)Р1( ) Р2Ы)ХЫИ~- м а — — ~Р ( )Р ( ) — Р (х)У (х)3П ) = Их) Ь 1 = И ) Их,() К вЂ” — ~Р(х)~'Ь;РзИ )~П ) = а х = Их)ц(х) — Лх). 2.3. Оора1пеиие оператора Штурма — — Лиуииллл Так же убеждаемся, что условия (2.8) выполнены: а~ и'(а) — Я и«а) = — у1 (а) рг «~) Д~) 0~в ь — — у1 «а) угу)Д~)Щ = ь = [а1Р1(а) — Ау1 «а)] — рг®Х(~~)~( = О, а с"га «~) + Ргю(~) = Рг(~) Р1®УК)~К~+ р ь + — Ыг«~) И К)ЖИ1 = ь МИ)+АЫЬ)] — д К)УЫ? К = О.
п Таким образом, мы показали, что уравнение «2.7) с граничными условиями «2.8) имеет решение для любой функции Цх) б С[а,б] и решение это определяется по формуле «2.9). Значит, формула «2.9) описывает оператор, обратный оператору Е. Обозначим этот оператор через ЯЯ. Он является самосопряженным, так как Л самосопряжен. Функция д(х,~), определяющая оператор С, называется функцией Грянь задачи «2.7), «2.8).
Замечание 2.2. Иэ общей теории линейных операторов следует, что оператор О, определяемый непрерывной функцией д«х, ~), является компактным. Ксли у«х, ~) — симметричная функция, т.е. д«х,с) = уф,х), чо этот оператор само- сопряжен. По теореме Гильберта — Шмидта спектр этого оператора является дискретным и представляет собой последовательность действительных чисел, сходящуюся к О. При этом существует полная ортогональная система, составленная из собственных функций этого оператора (с учетом того, что ядро оператора С тривиально) Далее мы, по существу, будем доказывать зти выводы. ф 2, Задача Штурма — Лиувилля 44 Рассмотрим квадратичный функционал (~% Л = ~ ( ~)~(~)~(~Ж '>> Я На множестве У = (~ б С~а,6] ." 1Я = 1) этот функционал ограничен: 1(сШ,У>! <!!ЯХТ! 1!П < !1~11 11Л' = !!АЙ!, где !1С!! = р11РИ11> 1Л = 1> < х>о+ад ~ ' 1100+ ОФ! ~ 1!ио + мр!! (анхо), уо> + 2а(СМ д> + о'(СИ у> 1!хо!! + 2о(х>о, Ф>+ М12 (%во), оо> + ~о(ЯМ> с > + с~'-'(С[4, Ю> 1+ 11 !12 которая дифференцируема в окрестности а = О и при о = О имеет локальный экстремум.
Поэтому ~'(0) = 2(йх>оЬ Ф> = О. В частности, взяв <р = С~хо1 — (СЯ, по>х>о> получим (цо> 4 = (по, й~оР> — (~о, Й1>ойх>о!!' = ОПоэтому (С~х>о1> ф> = Ю и !141 = (Чх>о1 — (О~х>о3> х>о>х>о д> = = (СИ,И вЂ” ('о,Язвой 'о И = О. Он достигает максимального по модулю значения на некоторой функции х>о(х). Эта функция должна быть собственной для С.
Однако сначала отметим, что если функция >р такова, что (х>о, у> = О, то и (С~х>о], ~р> = О. В самом деле, рассмотрим функцию 2,3. Обращение оператора Штурма — Лиувиллл Следовательно, С[по] = иоио где ро = (Йао], ио)- Собственная функция ео имеет максимальное по модулю собственное значение кооператора 6'. Действительно, для любой собственной функции а с собственным значением р,, для которой 1Ц~ = 1, имеем И =!(Рп, а>! = 1(С[В], еи <! (С[00], Оои = ~РО1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
