XI Волков И.К., Канатников А.Н. Интегральные преобразования и операционное исчисление (1081412), страница 2
Текст из файла (страница 2)
при преобразовании сохраняет сумму функций и произведение функции на число. Решение операторного уравнения в конечном счете озна чает построение оператора, обратного данному. Для обращения оператора возможны два подхода. Первый состоит в том, чтобы попытаться найти базис в функциональном пространстве (в некотором смысле), в котором оператор описывается наиболее просто. Этот подход приводит к так называемой спектральной теории линейных операторов, которая решает задачу описания спектра линейного оператора, аналогичную задаче поиска собственных чисел и собственных векторов оператора в конечномерном пространстве.
Второй подход состоит в том, чтобы найти новое функциональное.пространство, иэоморфное исходному, в котором аналог изучаемого оператора имеет, простой вид. Оказывается, что в ряде случаев в результате такого изоморфного преобразования линейное дифференциальное уравнение может быть превращено в алгебраическое, которое легче поддается решению. Эффективность второго подхода отражает общую концепцию, согласно которой линейные операторы можно рассматривать как элементы некоторой алгебраической структуры, в которой действуют различные операции: сложение, умножение и др.
Иаличие простых свойств этих операций типа коммутативности, ассоциативности, дистрибутивности позволяет рассматривать действие оператора как умножение. А тогда операторное (в частности, дифференциальное) уравнение представляет собой нечто близкое к обычному алгебраическому уравнению. Характерно, что операционный метод, которому в книге уделено много внимания, развивался именно в русле этой концепции. Соответствующее изоморфное преобразование— преобразование Лапласа, придающее технике операционного метода простой и наглядный сии, было найдено позднее. 12 При внимательном рассмотрении указанных подходов становится ясно, что они представляют собой две стороны одного и того же процесса.
Построение базиса в функциональном пространстве — это выбор счетной системы линейно независимых функций, через которую выражаются все функции рассматриваемого функционального пространства. Такой выбор фактически означает построение изоморфизма в пространство числовых последовательностей подобно тому, как выбор базиса в конечномерном пространстве определяет изоморфизм его в арифметическое пространство соответствующей размерности.
Основная идея иэоморфного преобразования эаключаетсн в переходе из исходного пространства, пространства оригиналов, в новое — пространство изображений. Задача решается в пространстве иэображений, а затем по найденному иэображению ищется решение исходной задачи в пространстве оригиналов. Как правило, такие нэоморфные преобразования функциональных пространств выражаются при помощи специального вида интегралов и потому называются интегральными преобразованиями.
Предлагаемый учебник содержит систематическое изложение этих двух подходов для решения различных задач, связан-. ных с дифференциальными уравнениями. 1. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ Ф>Ъ'НКЦИИ 1.1. Э~равнение Бесселя Р1 (4 92 ~я) ЙР) ЫФ ~1.2) где С вЂ” некоторая постоянная. Действительно, из уравнения 11.1) получаем Линейное дифференциальное уравнение ~~у"(я) + ~р'(м) + (л~ — и~)р1л) = О 11.1) называют уравнением Бессюы.
Мы полагаем, что параметр и может принимать любые комплексные значения, и Е С, а у~я) — аналитическая функция в некоторой области в С. Отметим, что значениям параметра и и — и соответствует одно и то же уравнение, Это уравнение является линейным дифференциальным уравнением 2-го порядка, и его общее решение может быть задано в виде линейной комбинации двух линейно независимых решений у~(з) и р~~л): .
И ) = С И ~л) + Сг М ') где С~ и С~ могут принимать произвольные комплексные значения. Если р~(л) и р~(~) два частных решения уравнения Бесселя, то их определитель Вронского равен 1. Цилиндрические функции Замечание 1Л. Можно показать, что ряд (1.4) можно дифференцировать цочленно по параметру к Это значит, что функция р„(л) является аналитической и по аргументу и. Замечание 1.2. Точка я = О, вообще говоря, является изолированной особой точкой функции у„(я), Более точно: — если и — целое неотрицательное, то ~ = Π— устранимая особая точка; — если и — целое отрицательное, то я = Π— полюс; — если и — нецелое, то я = Π— точка ветвления.
1.2. Цилиндрические функции 1 рода (функции Бесселя) Положив в формуле (1.4) 1 2)'Г(1+ и) ' получим с учетом свойств гамма-функции Эйлера (см. приложение 1) функцию ( 1)~с л 21+и ~ ИГ(й+и+ 1) (2) которую называют цилиндрической функцией У рода или функцией Бесселя. Отметим, что функция 1/Г(х) является целой аналитической функцией, значит, зто определение корректно. Рассмотрим основные свойства функций Бесселя. Для любого натурального и 3 (..) = «-1)"Х„( ). Действительно, Г(~) имеет полюсы в точках ~ = — п„и = = О, 1,2,...
Позтому 1/Г( — и) = О и 1)~ л зй — и з ()= Ы ИГ(й+ 1 — н) ~2/ ( 1)~ ) ~~2Й-и = .'~.,„„+, „) ~21 1.2. Функции Бессела ( 1)3~+~ э(р+~ ~ р+ ~)!г~ж+ ц Ы 1)ь я 21+и =~ Ц Х г~ь+ +ци(2) Если Р ню являются целым числОИ, то функции .7р(л) и,У р(я) линейно независимы и, следовательно, образуют фундаментальную систему решений ураеяеиил бюссюл,в порядка и. Действительно, иэ определения функций Бесселя получаем формулы Тейлора с остаточным членом в форме Пеано: 1 1 Г(1+ юг) Г( — ю ) Г(и)Г(1 — и) 2 В1п (ки) — + 0(я). Однако согласно равенству (1,2) эта величина являе~ся посто- янной.
Поэтому окончательно получаем Для функций Бесселя верны следующие формулы дифференцирования: ~,~л "~ ( )1 = — "~.+Ф) и — (я",У„(л)) = ~".7„1(л). (1.5) Г1 )~ + (')~' "(') 2Г() ~ + Ж2)" И2)" ' Ь~ Прямой подсчет при помоши этих формул с учетом свойств ~~ гамма-функции дает 'Ъ 1. Цилиндрические функции Действительно, согласно определению у о~ ( цй 2й и~ ~2'"~"иг(й<-и+1) ( 1)й,2й-1 д— ,[л "~.(41 4 22й+" (й — 1) Т(й+ + 1) ( 1)й 2й+~и-1) ~ 2 ьн.-»~~- ц~гп+ +ц ( 1) й+1 2й+и+1 22й+ "+1ИГ(Й + (и+ 1) + 1) Аналогично (~ ~ ое ( 1) й 2й+2и ~ь ия ~ 2~"+"Й)г~й+ и+ 1) й=п ( 1)й,2й+2в -1 22й+" 1ИГ(й+ и) й=1 цй( Р)2й+и-1 * ~ нг(~+ ~ - ц+ ц = ' -'~') 7„'(~) = —,7„~1(2) + -Х„(л), Х„'(З) =,7„1(З) — — Х (З), (1.8) которые, в свою очередь, приводлт к реккурентным формулам 2Р л - ( )+ ~.+ Ю = —,~-( ) ~.— (л) - ~.+1( ) = 2Ф4.
Иэ формул (1.5), (1.6) Вытекает другой вариант формул дифференцировании: 1. Цилнндрнчвские функции Применение этих формул приводит к представлению функций Бесселя полуцелого порядка в виде Є— яп л — — + + Яв-1 где Р„(я) и Я„~(л) — полиномы с действительными коэффициентами степеней а и и — 1 соответственно, причем Р„(0) = 1, Я„~(0) = О. В частности, для действительного аргумента х получаем асимптотическое разложение при х -+ +со ,7,(ж) = — сов м — ~™ — т +О (1.9) (1.10) Если на линейном пространстве функций, интегрируемых на отрезке [О, Ц, ввести скалярное произведение И я) = хйх)у( )ах (1.11) то (1.10) будет означать, что функции 1,(фж) и Х„(фз) ор- тогональны относительно этого скалярного произведения.
которое на саыом деле верно для любого и б С. Иэ формулы (1.9) следует, наприыер, что для любого действительного ~ функция ,7„(я) имеет бесконечно много действительных нулей (на каждом полупериоде функции сов(л — ти~2 — к/4) при достаточно больших «), Если п4 и р~ — нули функции,7„(г), где г — действительное, большее -1, то для любого 1 > О 1 2 Функции Бесселн Чтобы доказать (1.10), рассмотрим функцию .7„(Лх), являющуюся решением дифференциального уравнения х~у" (х) + ху'(х) + (Агхг — и~)у(х) = О, которое получается, если в уравнении (1.1) заменить незави- симую переменную: х = Ах.
Если Л1 ф Лг, то + (Лг — Лг) Ы„(Л1х),У„(Агх). Следовательно, (Лг — Лг1)хУ„(Л1х)Я,(Лгх) = (1.12 г Н 4 Х„(Агх) —,7„(А1 х) — .7„(Л1 х) —,7„(Лгх) Отметим, что согласно определению,7„(х) минимальная степень в разложении правой части (1.12) будет 2(и+ 1), т.е. это выражение равно О при х = О. Интегрируя (112) для Л1 —— ,и1/1, Лг — — рг/1, получаем (Аг — Лг) х.7„(Л1х),У„(Агх) сЬ = о 1 [А (Лг~) Л1 7„'(Л1~) А (Л1~) Лг ~ (Лг1И = О, так как,7„(Л11) = .7„(111) = О и,7„(Лг1) =,У„,(юг) = О. Если р — нуль функции .У„(г), то ~г Р и = Я„(Лгх) †,У,,(Л1х) — х — „Х„(Л, ) + А',.— — ",~„(Л, ) — х —.7„(Лг х) + Лггх — —,7„(Лгх) 11 Я„(Лгх) — Я„(А1х) — Я„(Л1 ) †.т„(Лг ) 1.
Цилинлрические функции т.е. в линейном пространстве функций со скалярным произве- дением (1.11) (где Ц - Ц вЂ” норма, определяемая укаэанным скалярным произведением). Действительно, пусть А» —— р»/!. Тогда, интегрируя (1.12), получаем У„(7г7) ~»,7„'(~»~) о Переходя к пределу прн Аг -+ Л», приходим к равенству Р М вЂ” Г о-(л")л»~у(л~е) = Л» Ы„'(Л»1) 1»п» .7„(Лгт) ~,-+~, Л~~ — Л, г д, ~, ~ рг ~р) = Л»7,7„'(~»1) 1»п " = —,7„'~у ) 1,7„'(Аг~) гъ +~, 2Аг 2 Согласно равенству (1.7), учитывая, что»» — нуль функции .7„(~), эакл»очаем, что,7'(р) = —,7„+»(»»), а это и приводит к равенству (1.13). Если» действительное, » > — 1, то все нули функции ,.7„(ю) действительные, их множество счетно и.не имеет в »', предельных точек. В самом деле, уже упоминалось, что,7„(я) имеет счетное множество действительных нулей.
Отметим, что нули,7„(я) — это также нули целой функции ( 1) й( (2) гй ~нг~ь+ +ц' 1.З. Цилинлрические функции И роде 23 которые не могут иметь предельных точек в С в силу теоремы единственности для аналитических функций. Нам остается показать, что,У,,(х) не имеет комплексных нулей. 'Хак как,У„(г) представляется рядом с действительныыи коэффициентами, выполняется равенство,У,,(л) =,У„Я. Поэтому если,и — нуль,У„(х), то число р,, комплексно сопряженное к и, тоже будет пулем .7„(х). Положив в (1.12) Л1 — — р, Л2 — Д и проинтегрировав в пределах от О до 1, получим 1 (р~ — р~) х,У„(рх),У„фх) сЬ = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
