XI Волков И.К., Канатников А.Н. Интегральные преобразования и операционное исчисление (1081412), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Рассмотрим некоторое комплексное число Л, не являющееся действительным, и зафиксируем его. Функции Х(х) и ф(х), удовлетворяющие уравнению (3.4) и начальным условиям (3.5) где о1, ф1 Е Й и а~~ +,61~ > О, линейно независимы, так как их определитель Вронского в точке а равен Р1 а1 -а1 А = а1~+Д1~ ф. О, и (х) = ~(х)+ тФ(х) для некоторого комплексного т (если, конечно, это решение не является пропорциональным функции 4(х), когда можно фор- мально считать т = оо).
Отметим, что функция ф(х) удовле- творяет граничному условию а14~'(а) — Д4 (а) = О, при этом любое решение о(х) уравнения (3.4), удовлетворяющее условию о1и'(а) — Д1и(а) = О, (3.7) отличается от ф(х) лишь числовым множителем. Соответственно ни одна иэ функций и (х) вида (З,б) не подчиняется граничному условию (3.7). а потому отличен от О на всем промежутке [а, +со).
Значит, любое решение уравнения (3.4) является линейной комбинацией функций Х(х) и ф(х) и, следовательно„лишь числовым множи- телем отличается от функции 3.2. Собственные функцин сингулярной задачи Выберем точку Ь > а и пару действительных чисел а2 и ф2, одновременно не равных О.
Тогда среди функций п„,(х) вида (3.6) только одна функция удовлетворяет в точке Ь граничному условию оп' (Ь)+,о2п„,(6) = О. Положим ~ = а2/Д2. Тогда каждому ~ однозначно соответствует параметр т = п2(Ь,~), для которого функция и (х) удовлетворяет граничному условию (3.8). Подставляя представление (3.6) в условие (3.8), получаем соотношение Л.
(6)о2 + Ж(6)д2 Х (6)~ + Х(Ь) 4'(6)о2 + ЯЬ)~Ь2 ФЩ+ 4(6) т.е. т является дробно-линейной функцией параметра ~, Значение ~ = со расширенной комплексной плоскости соответствует случаю а2 = 1, Д = О, т,е. граничному условию 11 рода По нашему предположению, ~ является действительным, ПРИЧЕМ ПРИ ВаРЬИРОВаНИИ ПаРаМЕтРОВ О2 И ~32 ВеЛИЧИНа ~ ПРО- бегает всю действительную ось. Следовательно, множество значений т, для которых и, (х) при определенных действительных а2 и,о2 удовлетворяет (3 8), составляет образ действительной прямой при дробно-линейном преобразовании (3 9), т.е.
окружность или прямую в С. Окончательно приходим к следующей теореме. Теорема 3.1. Множество значений т(Ь,~), 6 > а, заполняет окружность С(Ь) в С с центром (Ь) =- И'~ф; 4~1(6) и радиусом И'1Ф; Х1(6) 1~'% Й(6) 3.2. Собственные функции сингулярной задачи где все определители Вронского вычисляются в точке 6. Урав- нение (3 10) есть уравнение окружности с центром в точке М(6)— И%4 и квадратом радиуса, равным ~ (6)1 л И'% Х1И'[Х; 4 И'[Х. Х] И Г6М (Фх' — Ф х) (хФ' — х'Ф) — (хх' — х'х)(ФФ' — Ф Ф) И'[Ф; ФР х'йР— 'Ф ххах — 4~,'х 'Ф+ х~'Ф 4 ЩЙ Ф]' ЬФ' — х'4) (Фж — Ф ж) И1[6; Ф]2 И'[х' ~]И'[Й Х1 и'[Ф; ф' И'[Ф Х] И'% 4 где опять-таки все значения функций ~, ф и соответствующих определителей Вронского берутся в точке 6.
~ И~[В,„;н ](Ь) = О. И [~Ь; ЦЬ) (3. 12) Теорема 3,2. Если а < г < 6, то окружность С(6) содержится внутри окружности С(г). «1 Точка т б С будет лежать внутри окружности С(г), если левая часть соо гношения (3.10) в точке г будет отрицательной. Поэтому для соответствующей такому значению т функции ю, (х) вида (3,6) будет выполняться неравенство И'["-'~-](г), О И'% 4']( ) В качестве ти возьмем то эначение, для которого и„„(х) удовлетворяет условию (3 8), где о2 и /32 — — произвольные действительные. Тогда 3.
Сингулярная задача Штурма — Лиувиллл нэ 12[а,+оо) означает, что все решения принадлежат этому пространству. Однако ф ф 12[и,+ос), и поэтому любые два решения иэ ХР[а, +ос) линейно зависимы. 4. Если С вЂ” это окружность, то все решения (3.4) приНадЛЕжат А2[И, +ОО), таК КаК фуНКцИИ Е И ф ПрИНадЛЕжат 12[а, +оо) и являются линейно независимыми. Резюме этих следствий состоит в том, что вариант задачи (случай предельной точки или предельной окружности) определяется количеством независимых решений уравнения (3.4), принадлежащих А~[а,+оо) (1 или 2). Оказывается, что этот вариант не зависит и от выбора параметра Л, т.е. связан лишь со свойствами оператора П1турма Лиувилля (3.3).
Теорема З.З. Если для некоторого комплексного числа Л, не являющегося действительным, все решения уравнения (3.4) принадлежат А~[а„+оо), то это верно и для любого другого комплексного числа. ~ Пусть все решения уравнения Цю] = Лоо, Ло Е С ~ Е, принадлежат ХР[а, +со). Выберем два иэ них — е1 н и2, которые образуют фундаментальную систему решений.
Пусть Л Е О~К. Тогда уравнение Цю] = Лю можно представить в виде Пусть о — некоторое решение этого уравнения. Тогда о явля- ется одним иэ решений неоднородного уравнения (3.13) Общее решение уравнения (3.13) может быть представлено как некоторое частное решение плюс общее решение соответствующего однородного уравнения.
Частным решением уравнения (3.13) является функция УО = (Л ЛО) [1~1 (М)1'2 Ю вЂ” 1'2(~) 1~1 Ы)Ж4% 3.2. Собствениые фуикюш сингулярной задачи (это ~астпое решение можез быть получено применением метода вариации постоянных; можно также выполнить непосредстпеннукэ проверку этого решения подстановкой в уравнение подобно тому. как это было сделано с функцией Урина для регулярной эадачи). Параметр с может быть выбран произвольно, так как для любых с и И Гн1(~)и2(Π— п2(х) п1 КНпЫИС = п2Ы)п(ОсЕ( ~й(ж) + п1 ®п®д~ п2(х) есть решение однородного уравнения Цу1 — Лр = О. Это эна; чит, что имеет место представление п(~) ~'зп1(.~) + ~ 2~'2("") + х +(Л вЂ” Л) Ы ) (~) — ()'Ы)1 (64; гд~ С'1 и Г2 -- некоторые постоянные.
'!'ак как о1, п~ Е 1'-~а, +ос). то, выбирая достаточно большое эначение параметра с, мы можем сделать сколь угодно малой величину лх = п1ах(!!п1 !!„,„, Щ!„,,„), где !Щ~ = !е,(х)!~дж, ь' = 1,2. а Согласно неравенству Кощи — Буняковского (Л вЂ” Ло) (п1(х)п2© — о:(х)п1(()~в(~)Н( < <!Л Лц! !51(ж)! !$УЗЮЕК)ИС+ !О2(2)! !01К)О®Д < «!Л Ло!(!п1(~)!!И!~,- !!и!! . + М(~)!!М!!сх!!и!!сх) '. <!Л вЂ” ЛоМ!и!!.,-(М ( ) !+ М(') !). 3. Сингулярная задача Штурма — Лиувиллл Применяя неравенство треугольника, получаем 11п11с,х — 11сдюд (х) + с2Ц2(х) + у011 ~ ЯСд11И1... + 1С2111и211., + 11уо11,,л ~ ~м(1Сд1+ 1с21) + м1л л011Ц1а,х(11д~д11а,ж+ 11д~211с,ж) 5 <м(1С,1 + 1С21) + 2м'1л — ло11Ц1„. откуда заключаем, что 11е11, равномерно ограничены по х.
Это равносильно тому, что о Е А~~с, +со) или в силу непрерывности ю, что и Е А~~а, +ос). Ь 3.3. Разложение по собственным Функциям Рассмотрим задачу Х[Ю) = ЛВ) адат'(а) — Рддд(а) = О (3.14) на полубесконечиом промежутке ~а, +со). Она имеет решения для любого числа Л, отличающиеся лишь числовым множителем от функции ф(х) = ф(х, Л), рассмотренной в 3.1. Добавив к задаче (3.14) в некоторой точке Ь > а дополнительное условие ОЗВ'(6) + Р2П(Ь) = О, мы получим регулярную задачу Штурма — Диубил и на отрезке ~а, Ц, которая имеет решения только для некоторой последовательности чисел (Л~(ЬЦ.
(собственных значений одера~вора Штурма — Диуеиллл). Иэ этих решений можно образовать полную ортонормированную систему Функций (а~(х, Ь)) Теперь, если параметр с выбрать так, что 2М 1Л вЂ” Ло1 < 1~2, то получим неравенство З.З. Разложение по собсьвенныы функцияы в пространстве А~~а, Ь), причем каждая функция щ(х, Ь) про- порциональна функции ф(х, Л~(6)).
Любая функция ~ Е Х,~~а, Ц может быть разложена по системе (пл.(х,6)) я ряд Фурье который скодится к Дх) по норме пространства 12~а, Ь), т.е в среднем квадратичном Положим ь Р(Л) = У(х) ~6(х, Л) х = (Л 4 (-, Л) ). Тогда ряд (3.15) преобразуется к виду Ф(х, Лл(Ь)) ( «~ ~) /«ь( «ф)1«2' (3.16) Если ввести специальную функцию скачков ~~ь(,ь«~ь1о-', л > о, в<л,<л — ~у(,ь«~ь1о-', ь с о, -л<л~<о то ряд (3.16) может быть представлен в виде интиегра4а Ра- маза — Сшильщыса Цх) = ЦЛ) ф(х, Л)ать(Л), (3.17) Естественно ожидать, что при 6 ~ +ос интеграл (3.17) перейдет в аналогичное представление для сингулярной задачи (3.14).
Однако при Ь вЂ” + +ос функция оь(Л), вообще говоря, не стремится к какому-либо пределу. 3. Сингулярная задача Штурма — Лиувиллл Теорема 3.4. Для любого фиксированного А функция оь(Л) от параметра 6 ограничена. м Для разложения (3.15) Функции Дх) по ортогональной си- стеме функций напишем неравенство Ьесселя 1, а<х<а+Ь, О, а+6< х. Тогда неравенство (3.18) дает !!И,Ла(Ь))!! 2 > Ф(х, Ау,(Ь))(Ь Нам нужно так подобрать функцию ~ б ХР~а, Ц, чтобы в последней сумме в (3.18) избавиться от числителя. Отметим, что функция 4(х, Л) непрерывна по совокупности переменных х и А вместе со своей производной ф' (в силу теоремы о непрерывной зависимости решения задачи Еощя от начальных условий). Согласно граничным условиям либо ф(а, Л) = а~ ~Е О, либо ф'(а, Л) = А ф.
О. Поэтому для любого Л найдется такое Й = Ь(Л), что в прямоугольнике ф < А, а < х < а+6 функция ф(х,1) знакопостоянна и !ф(х,1)! > ) С(х — а). Рассмотрим функцию З.З. Разложение по собственным функцням Доказанная теорема позволяет утверждать, что для любой последовательности 6» -+ +со при любых значениях параметров а~ и ф~, определяющих граничное условие в точках 6», (Ч Ю последовательность о»(Л): — сг~, (Л) содержит сходящуюся подпоследовательность. Замечание 3.2.
Это утверждение вытекает из следующих соображений. Используя теорему и известное в теории функции диагональное построение, можно нз последовательности о»(Л) выделить подпоследовательность„которая сходится в каждой точке некоторого счетного всюду плотного подмножества В С Ж.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
