XI Волков И.К., Канатников А.Н. Интегральные преобразования и операционное исчисление (1081412), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Собственному значению ио оператора С соответствуют собственное значение Ао — ~ыо и собственная функция по опера- -1 тара Е. При этом Ло — минимальное по модулю собственное значение для Ь. Рассмотрим функцию д1(х', ~) = у(т,4) — Нопо(~)МО и соответствующий ей оператор ь с УИ ) = ( с)М) к Я Этот оператор выражается через оператор С: Ь С1[У](х) = Ы* 4) — Роно(ж)пои)ЩС)~К = = СИ вЂ” ~о(ао, Дно = <~[У вЂ” (по, Дно]. Для оператора С1 рассмотрим функционал ф~ Щ Д на множествее У, который тоже ограничен и достигает максимального по модулю значения,ц1 на некоторой функции п1. Отметим, что для любой (непрерывной) функции ~ функция У— — (ао, Дао ортоганальна по. Поэтому С1 [~] = С[~ — (по, Дно] 1 по. Следовательно, 61[тг1] Е по, р1и1 1 ио и ю1 .1 'ц~.
Это значит, чта б'1[и1] = С[ю1] н чта и1 собственное значение оператора С с соответствующей ему собственной функцией е~, Повторим описанную процедуру и рассмотрим оператор ь ЖЛ( ) = ( ч)ЖМ 2.3. Обращение оператора Штурма — Лиувилля Согласно неравенству Бесселя Это значит, что ряд р~ю~~х)юЯ) 1=0 сходится в среднем квадратичном к некоторой функции. По- этому определена функция у~х,~) = д~х,Я~ — ~рйю~~л)в~(Я. ~=о Если д~х,~) ф О, то оператор а(~ 0 = ~ иачФа~Ю (2.10) Иэ равенства ~2.10), в частности, следует, что система (оь(х)) замкнута в О~а, Ь~, а значит, и полна в этом простран- имеет собственную функции с ненулевым собственным значением, являющимся экстремальным значением соответствующего функционала. Как н выше, можно показать, что эта собственная функция является собственной также и для С и что полученное собственное значение не превосходит ~рь~ для любого Й, Но, как мы доказали, ряд с общим членом рь~ сходится, т.е. рь — + О при Й вЂ” + оэ.
Поэтому на самом деле д ю О и 2. Задача Штурма — Лиувилла стве, Действительно, если для функции ~ ~ 12~а, Ь] выполня- ются соотношения ~ 3 щ„1 =0,1,..., то ь ь И д(х,О(~)Щ= д«и,е — ~д«и«(«)и«(~) Щ)««+ а Ф а=а + ~ н««И««(ОММ= Ы*,Π— Ки «Р ) МО ь=о Ф* 6 — Ки«««(«) «Ы) ЯОй+иьИ д к= Следовательно, ь а( .ОУ((И~ д(«,4) -,'~.н«««Ф «Я Щ))ИЯж < И«ч) — ) и«««Ж«««6 (ь — аЦ,ЦЦ)~ -+ 0 при И -~ оо. Таким образом, И~ 1)У(ч)Ж «« СИ = д(~, ОЛЯМ = — О. Последнее возможно только если Дж) = О (так как оператор С обратим). 2.4. Еогпродьнгге вопросы и упражнения Г1олнота гистемы (г:г,.(х)1 означает, что любая непрерывная функция Дж) (вообгце говоря, любая функция из У-~~а,б|) может быть разложена по втой системе в ряд.
который сходится к Дх) но норме пространства Ь-~а, Ц, т е. в среднем квадратичном. 2.4. Контрольные вопросы и упражнения 2.1. Сформулируйте задачу Штурма — .Лиувилля. Что та; кое оператор Штурма — Лиувилля? В каком функциональном пространстве он действует? 2.2. Запишите; а) тождество Лагранжа; б) формулу Грина. 2.3. Что такое самогопряженный оператор? Янляетгя ли самосопряженным оператор Штурма — Лиувилля? Обоснуйте ответ. 2.4. Приведите к самосопряженному виду задачу Ч'"(х) + ого'(х) + ду(х) + Ар~т) =- О, х г= (О, 1), ИО) = О, Ю'11) = 1.
Найдите ее собственные значения и соответствующие нм нормированные собственные функции. 2.5. Напишите функцию Грина для оператора Штурма -— Лиувилля. Каково ее основное свойство? Вг»гведитг функцию Грина при помощи метода вариации постоянной. 2 6. Пусть О~я, г) — функция Грина задачи Штурма — Лиувил ля (2.1). Докажите, что интегральное уравнение ~)=~ д~ д) д)дс а эквивалентно задаче Ц1турма. — Лиувилля. 2.7.
Пусть Б — оператор Штурма — Лиувнлля, Сл1а, Ц множество всех функций из С1а, Ц единичной нормы. Дока" жите: а) для любой функции ~ г= Су~а„Ь1 функция А ~~Я ограничена на ~а,6); 2. Задача Штурма — Лиуиилля б) существует такая числовая константа 8, что для любой функции У Е С~~а, Ь] в любой точке выполняется неравенство ~Ь 'Я(ж)) < О в) семейство Е 1~С~~а,ЬД равностепенно непрерывно, т.е. Чя > О:-У > О ЧУ е Су~а,Ь~: ~ж1 — ж2~ < д =~ ~Л '~Я(х1)— -~ '1Л(М < ' г) выполняется равенство впрЦи~~, Х, 1(и) 6 Срг~а, Щ й!(и, г')~,~ 'МУ~ Си4а,Ю=и <+ 2.8.
Для задачи — ю"(х) = Ле(ж), О < х < 2~г, н(О) = п(2~г), о'(О) = и'(2~г) найдите собственные значения н собственные функции. В чем главное отличие поставленной задачи от задачи Штурма— Лиувилля ? 2.9. Пусть (у~(х)) — ортонормированная система функций в Ь~~а,Ь). Докажите, что если для функции ~ б А~~а,Ь) имеет место равенство Парсеваля 11П'=) УМ' то справедливо следующее представление: Дй) = ~ Щ~р~~р~(х~, 1=3 в котором сходимость суммы рассматривается по норме пространства Ь ~ ~а, Ь~.
3. СИНГУЛЯРНАЯ ЗАДАЧ'.А ШТУРМА — ЛИУВИЛЛЯ 3.1. О постановке задачи П ~3.1) сходятся, то любое решение уравнения -Ьэ')'+ и = Ъ будет иметь в точках а и Ь конечные пределы. Тогда можно корректно поставить задачу Штурма — Лиувилля, для которой останутся в силе все результаты из гл. 2, В этом случае задачу Штурма — Лиувилля называют рееум,еряо4. Если же хотя бы один иэ указанных интегралов расходится, то возникает вопрос, что понимать под граничными условиями в особой тачке. Аналогична ситуация, если рассматриваемый промежуток является неограниченным.
В таком случае задачу Мы рассмотрелн задачу Штурма — Дирвиллл в предположении, что коэффициенты уравнения р(х) и фх) являютсл непрерывными функциями на конечном отрезке. Однако представляет интерес и вариант задачи, когда указанные функции рассматриваются на интервале или нолуннтервале, причем либо они имеют' на одном или обоих концах интервала особенности, либо интервал является бесконечным.
Если интервал (а, Ь) конечен, а функции р~х) и д~х), возможно, имеют на его концах особенности, но при этом интегралы 3. Сингулярная задача Штурма — Лиувилля Штурма — Лиувмлля называют сингу,яяумой. Корректная постановка чаком задачи будет сделана ниже. Варианты сингулярной задачи для конечного и бесконечного промежутков имеют несущественные различия — те же, что и различия между несобственными интегралами в аналогичных ситуациях. Однако важно, является ли особым только один конец промежутка или оба. Учитывая зто, мы рассмотрим два варианта задачи: для полубесконечного промежутка ~а, +оа) и для всей оси (-со, +со).
Один из способов изучения сингулярной задачи связан с предельным переходом от регулярной задачи на внутреннем промежутке подобно тому, как несобственные интегралы получаются предельным переходом от обычных интегралов Римана. С позиции функционального анализа дальнейшие наши действия состоят в анализе спектра линейного оператора и получении его спектрального разложения.
В регулярном случае оператор имеет дискретный спектр, и его спектральное разложение сводится к ряду, который дает разложение по собственным функциям в виде абстрактного ряда Фурье по ортогональной системе функций. В сингулярном же случае спектр оператора имеет более сложную структуру. Спектральное разложение будет не рядом, а, вообще говоря, интегралом или даже комбинацией того и другого. Для описания соответствующих представлений мы воспользуемся интегралом Римана — Стильтьеса, который позволяет с единой позиции манипулировать как рядами, так и интегралами или комбинациями рядов и интегралов.
Основные сведепия об интеграле Римана — Стильтьеса приведены в приложении 2. Подробное изложение спектральной теории операторов типа оператора Штурма — Лиувилля читатель найдет в дополнительной литературе, указанной в конце книги. Несмотря на очень тесную связь изучаемой теории с функциональным анализом, мы старались использовать из этой области минимальные сведения, опираясь в основном на злемен- 3.2.
Собственные функции сингулярной эадачи тарные методы. Тем не менее в этой главе нам придется выйти за рамки вещественных функциональных пространств, с которыми мы имели дело в гл. 2. Это значит, что элементами функционального пространства будут функции, которые могут принимать любые комплексные значения и которые как элементы линейного пространства могут умножаться на любое комплексное число. При таком расширении понятия функционального пространства необходимо уточнить определение скалярного произведения и вместо (2.4) испольэовать формулу (~, у) = Ях)д(хфх, где а — число, комплексно сопряженное к а.
Определение самосооряжеимого оператора остается беэ изменения, при этом собственными значениями самосопряженного оператора могут быть только действительные числа. 3.2. Собственные функции сингулярной задачи Изучение сингулярной задачи на полубесконечном промежутке начнем с изучения собственных функций оаервщора Штпурма — Лиувилля. Рассмотрим оператор на множестве функций ь б С~з~~а,+со), где у б С~ц~а,+оо), д Е С~а, +оо), р(х) > О при х Е ~а, +оо). Уравнение является линейным однородным дифференциальным уравнением 2-го порядка. Поэтому все его решения описываются в виде линейной комбинации каких-либо двух его линейно независимых частных решений, которые тем самым образуют фундаментальную систему решений, Отметим, что любое решение 54 3. Сингуллрнам задача Штурма — Лиувил м' 1~(х) уравнения (3.2) однозначно определяется своими значениями ю(а) и ю'(а) согласно теореме существования и единственности для задачи Ко1аи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
