XI Волков И.К., Канатников А.Н. Интегральные преобразования и операционное исчисление (1081412), страница 3
Текст из файла (страница 3)
О Но 1 1 х.7„(у1х),У (Дх)1Ь = хУ„(рх)У„(рх)йх = О О х~,У„(У1х)~~Их > О. о Поэтому должно выполняться равенство р2 = ф, что возможно лишь, если 71 либо действительное, либо мнимое. Прямой проверкой убеждаемся, что (-1) ~Р~ (у/2) 2л '~ 6У)=Ю ~ ~~~у 1) ( У2) ис = ~'") ~- игр+ +ц ~~' к=о так как ряд состоит из деиствительных положительных чисел.
Графики функций Бесселя для действительного аргумента изображены на рис. 1.1. 1.3. Цилиндрические функции 11 рода Как следует из вышеизложенного (сы. 1.2), функции У„(~) и ,У „(х) в некоторых случаях не образуют фундаментальную систему решений ураанеки,а Бесселл н не определяют всех его ре- 1. Цилиндрические функции шеннй. Естественно задаться целью построить дополнительное решение уравнения Бесселя, которое с,7„(4 (или с Х „(я)) всегда образует фундаментальную систему.
Разумеется, если и — дробное, то искомая функция должна выражаться через .7„(л) и 1 „(л), а для целых и она должна восстанавливаться предельным переходом по и (чтобы быть гладкой функцией от параметра р). Для значения и„не являющегося целым, определим функцию ,7„(л) сов(в.и) — У „(л) в1в(~ги) (1.14) Функция У„(8), будучи линейной комбинацией двух частных решений,7„(л) и,У (я) уравнения Бесселя, сама является решением этого уравнения. Эту функцию называют цчмимдраческой фунжцней ЕХ рода (или функцией Бесселя Н рода, функцией Неймана). Если ~ — целое, то формула (1.14) становится некорректной.
При ~ ~ и, а — целое, возникает неопределенность типа 1.з. цилиндрические Функции И рода о. Согласно правилу Лопиталя существует предел ,У,,(л) соя(ли) —,У „(л) У„(л) = 1пп -и и!п(ли) дУ (л) сов(ли) — л,У„(л) в1п(л~ )— дР (1Л5) дХ „(л) (-1)" д.7 „(я) д~ 1 д,У„(л) л ди .У„сы(ли) —,У „ яп(~и~) И~[,У„; У„](г) = И~ 2 в(п(ли) 1 1 ) И'!У„; —,У „](л) = !!оэтому в процессе предельного перехода м -~ н, и — целое, в силу непрерывности определителя Вронского заключаем, что .У„(з) и У„(а) остаются линейно независиыыми н образуют фундаментальную систему решений уравнения Бесселя.
который определяет цилиндрическую функцию И рода целого порядка н. Цилиндрические функции 11 рода, являясь, вообще говоря, линейными комбинациями цилиндрических функций 1 рода, сохраняют многие свойства этих функций. В частности, остаются в силе формулы дифференцирования (1.5), (1.6) и вытекающие из них (1.7), (1.8), В то же время цилиндрические функции 11 рода приобретают и новые свойства. Так как в случае нецелого и функции,У„(л) и,7 „(л) образуют фундаментальную систему решений уравнения Бесселя, то и пара функций У (~) и У„(л) образует фундаыентзльную систеыу решений этого уравнения.
Более того, 1,3, Цилиндрические функции И рода 27 ~- . ( — 1)~~а/2)2~ "Г'(й+ 1 — и) ИГ~ф+ 1 — ~)2 1=О = 81 + 52 + ЯЗ ГДВ Ц1с( /2)2А" — и 2) ~ Й!Г(1+ 1 — и) <"~ ~ ЦЯс~ /2)2й-ть =-(";)Е „сц,+, д) 1-1) И2)" "Г'Р +1 — ) ИГ(й+ 1 — Р)2 )с=О Р ~-1) "(л/2)~" "Г'~Й+ 1 — и) ИГ(Й+ 1 — ю)2 ~=' 1-1)" ~ ~~)'"-",„, Й=П Заменой индекса суммирования Й вЂ” и = 1 получаем ( 1)1+и( /2)2)+и ~; у+ ) гО-~ц функция Г~~) имеет в точках О, — 1, — 2,...
полюсы п~рвоГо порядка с вычетами геб(Г~х), я = — и) = ( — 1) "/и!. Значит, функция Г'(а)/Г(з) имеет в этих точках устранимые особенности со значениями ( — 1) "+17),!, т.е. Г(1+1 — .) он = ( — Ц" ~(7)) — й — 1)!, 1=0,1,...,а — 1. ~~~ Г~й+ 1 — и)2 Поэтому 1. цилиндрические функции Суммируя полученные результаты, получаем формулу (1.16). Графики цилиндрических функций И рода для действительного аргумента изображены на рнс.
1.2. Рис, 1.2 1.4. Цилиндрические функции Ш рода Цилиндрические функции во многом схожи с тригонометрическими функциями яп ~ и сова (расположение нулей, колебательный характер функции и т.п.). Появляются и те, и другие функции в задачах математической физики, связанных с волновыми процессами. Для комплексного аргумента функции яп л и сов л при помощи формул Эйлера сводятся к показательной функции ехр з. Для функций Бесселя имеются аналогичные зависимости.
1 4. Цилиндрические функции Ш рода Функции комплексного переменного н~ц( ) =я.( )+д„( ), Н! ~(я) =.7„(~) — гУ„(я) И ~Н!Ц;Н~'>~(.) = И Р„+ К„;~.— гу.1(.) = 42 = — 2гИ'~.Х„; У„)(~) = — —. Формулы (1.17) позволяют через функции Ганкеля вычислить функции Бесселя 1 и П рода 2 (.) 2г подобно тому, как функции сов г и в!и ~ по формулам Эйлера выражаются через ехр л.
С другой стороны, если ь не является целым, то согласно (1.14) и (1.17) ~ц,х „(л) — е "".У„(л) г ип(~ги) (г) „-,7 „(л)+е'-"Я„(л) ~ в1п(ки) (1.18) называют ци,киндрическими фригиями Ш рода или соответственно финики,ими Гаккеля 1 и П рода. Будучи линейными комбинациями решений,7„(г) и У„(~) уравнения Бесселя, функции Ганкеля также являются решениями этого уравнения.
Формулы (1.17) аналогичны зависимости между функциями ехр л, яп ~ и сов л. Отметим, что для функций Ганкеля сохраняются свойства, общие для решений уравнения Бесселя, в частности, оста|отся в силе формулы дифференцирования (1.6) и (1.6), а также вытекающие иэ них формулы (1.7) и (1.8). Функции Н~ ~(я) и Н! ~(л) образуют фундаментальную систему решений уравнения Бесселя. Действительно, непосредственный подсчет определителя Вронского дает 1. Цилиндрические функции Если и = и — целое, то, переходя к пределу при и -+ а в (1,18), получим соотношения, аналогичные ~1.15): Е~д) (л) = .7„~л) +— а дУ„(я) т ди нд')~ ) =з„~ )--' Наконец, из соотношений ~1.18) вытекают формулы Н")®=е' "Н~')Р ) ОР)~ ) -ткмо(2)(,) верные также в силу непрерывности по и и для целых значений индекса и.
1.5. Модифицированные цилиндрические функции Дифференциальное уравнение ягр" ~я) + лу'~л) — ~лг + иг) р(л) = О (1.19) называют модифицироеаннььм уравнением Бесселя. Учитывая, что я (= С вЂ” комплексное, выполним замену л = йо. В результате получим уравнение Бесселя ~1.1). Это значит, что свойства решений уравнения (1.19) могут быть получены из соответствующих свойств решений уравнения 11.1) подобно тому, как гиперболические функции, являющиеся решением уравнения я~~ — и~я = О, сводятся той же заменой к тригонометрическим функциям, являющимся решением уравнения и+ 2 Так, функция 1)~Р У2)г)+ ° ~ Дм+ ° "~"~=~ юг~в+1+ 1 ='"Енг(в+1+ 1 1,5. Моднфнцнрованнме цнлищуические функции является решением уравнения (1.19). Функция — жи .
(х/2)~ "+" Х„~г) = 1 "1„~1я) = ехр —,7,)ая) = ~ 2 " „~ ИГ(Й+ 1+ ~) также является решением уравнения (1,19), но при этом принимает действительные значения при действительном аргументе. Она называется модифицированной функцие~ Бессер,н Х рода. Из свойств функций Бесселя следует, что если и не является целым, то функции У„(з) и 1 „(з) образуют фундаментальную систему решений уравнения (1.19).
Для целых функций это уже не так. Подобно функциям Неймана для уравнения (1.19) определяются модифицированные функции Бесселя Ц рода, или фукзс))4аи Макдональда К„(~), которые для дробного индекса и выражаются формулой ~г У „(л) — Ц~) (1.20) 2 е1пфги) или могут быть выражены через одну из фрищий Гаякеля: к ( ) = — ч н~ц(ы) = — — н~ ~(-о). 2 2 Из этих представлений непосредственно следует, что для любого индекса и К „(з) = К„(л).
Если в формуле (1.20) перейти к пределу при ь -+ и, и— целое, то получим Функции 1р(з) и Кр(л) образуют фундаментальную систему решений уравнения (1.19), так как для дробных значений параметра и И'~1;К,](з) = . ЩХ„; У „— Ц(л) = И~~1„; т .~( ) = 1.
Цилиндрические функции эг И'~» "Х„;»"1 „Ц»я) = —. 2 ив(гтрк) "' " л На рис. 1.3 представлены функции 1„(л) и К„(з) для действительного значения аргумента при а = О, 1, Рис. 1.3 Наконец, приведем беэ доказательства асимптотические формулы для модифицированных функций при я — ~ +со: 1+0 ~+оф . 1.6 Контрольные вощюсы и унражяения 1.6. Конгрольные вопросы и упражнения 1.1.
Напишите: а) уравнение Бесселя; б) модифицированное уравнение Бесселя, Чем они различаются? 1.2. Докажите, что если ь не является натуральным, то обшее решение уравнения ~гни(~) + (2о + 1)Фи(8) + (аг — иг,вг + руэгг Р) и(1) = О имеет вид в(~) = С~~,У„(у~~) + Сг~ ~ „(-~~~). 1.3. Найдите общее решение уравнения ж'у"(а)+акр'(з)+ (6+с1 )у(ж) = О, 1 4. Найдите общее решение уравнения жу"(ж) + Лу'(ж) + ху(м) = О, 1.5. Докажите, что ряд (1А) сходится всюду в комплексной плоскости.
1.6. Дайте определение: а) цилиндрической функции 1 рода; б) цилиндрической функции П рода; в) цилиндрической функции И1 рода; г) функции Бесселя. 1.?. Выведите формулы (1.5) — (1.8) для функций К,(л), ОР~( ), О."'( ). 1.8. Дайте определение: а) модифицированной функции Бесселя 1 рода; 6) модифицированной функции Бесселя 11 рода; в) функции Макдональда. 2. ЗАДАЯА ШТУРМА — ЛИЪВИЛЛЯ 2Л. Постановка задачи Пусть даны функции р б С~ц~а,61, д б С~а,6), р(ж) > О, а(ж) > О на конечном отрезке (а, Ц и неотрицательные числа а1, Д, ог, ~3г, причем о1 + Д > О, а2 + Д > О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
