XI Волков И.К., Канатников А.Н. Интегральные преобразования и операционное исчисление (1081412), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Если коэффициент теплопроводности стержня постоянен па всей его длине и равен а, то процесс распределения теплоты по стержню приводит к следующей задаче для уравнения теплопроводности: 6. Операционное исчисление 206 1 х У(х, р) = — ехр -~/р— р /а По иэображению восстанавливаем функцию-оригинал 2 его(л) = — е ~Ь. /т Иктегральиые уравнения Операционное исчисление может использоваться для решения ммшеера4ьиьм уравнекий шипа свершая, имеющих вид (6.20) или х(8) + Ц$ — т)х(т)Йт = Д1). Такого рода уравнения часто возникают в задачах математической физики. В уравнениях (6.20) и (6.21) х(1) — неизвестная функция, Ц1) и Д$) — некоторые заданные функции. В теории интегральных уравнений уравнение (6.20) называют уравмеиаем Х рода, а уравнение (6.21) — уравнением О рода. Предполагая, что ядро Ц1) и правая часть Д1) являются оригиналами преобразования Лапласа, можем перейти к изображениям.
Сначала остановимся на уравнении 1 рода. В изображениях получим 6. Одерационное екчисление Ядро интегрального уравнения является функцией-оригиналом, причем „. Г(1-Ц Поэтому для иэображения искомой функции (если„конечно, она является оригиналом, в чем мы убедимся далее) получаем Цр) 1 1 ~(") к( ) г( - ь) "~(") С помощью интеграла Дюамеля находим оригинал х(г): Пример 6.22. Найдем решение уравнения П рода с произвольной правой частью (~) + (~ — т)х( )йт = ф). Здесь ядром уравнения является функция Й(Ф) = М, имеющая иэображение К(у) = р 2.
Поэтому К(р) 1+ к(р) р~+ 1' следовательно, д(й) = в1п й. По формуле (6.23) находим решение уравнения в виде свертки с известным ядром: 1 Г(1 — Л)Г(А) ' 'А+О)+ И- )" 'У'( И в 210 6. Операционное исчисаение 6.11. Докажите следующую пзеорему Зфраса. Пусть ф$, о) — функция, которая для каждого а > О является оригиналом по переменной 1, причем изображение ее можно представить в виде «р(8, а),=' Ф(р) е "~Ы, где функция ф(р) отображает некоторую правую полуплоскость Кер > О в себя. Тогда для любого оригинала Д(Ф), ф) Ф Р(р) верно равенство й М(~, оное.=' Й(Ф( ))Ф(р).
о 6.12. Пусть Дй) Ф Р(р). Докажите, что +СО т ~ЯЯ вЂ” Ят) ехр — — Нт Ф ~/Я о 4~ ««р 6.13. Выясните, является ли изображением функция 1 ЕЫ= ( „). Если да, найдите соответствующий ей оригинал. Указание. Проанализируйте пример 6.14. 6.14, Докажите, что для любого изображения К(р) функция К(р)/~1+ К(р)) также является изображением. 6.15. Используя операционное исчисление, решите следующую краевую задачу: е~=м"., х>О, Ф>О„ -(*,О) = У(.), ~'.(О,~) = а, 1ип и(х,~) = О.
Ж Ф+ОО ПРИЛ О'ЖЕНИЯ 1. Гаыыа-функции Эйлера Интеграл (П1. Ц +СО =(е а) +— о получаем основное функциональное соотношение для гамма- функции Г(«+1) = «Г(«). Учитывая очевидное равенство Г(1) = 1, при помощи соотношения (П1.2) получаем (П1.3) Г( +,) = ( + а — Ц...(«+1)Г(«) сходящийся для любого комплексного эначения «в полуплоскости Ке«> О, называется эйлероеым аитвеера,лом ХХ рада.
Функция Г(«), представленная этим интегралом, является аналитической в Ве«> О. Эта функция называется заммафуяхцаей Эйлера. Вычисляя интеграл (П1.1) по частям: Приложения Цп,+ 1) = н'., Г(л)(л+ а)— Ло в правой части записана функция, аналитичная в некоторой окрестности точки г = — а. Поэтому при л = -и гамма- функция имеет простой полюс с вычетом Г(1) ( — 1)" гея1Г(л),л = -а) = Г(з)(л+ а)[, (-1)...
(-я) Ы где п = 0,1,2... Имеется еще одно функциональное соотношение для гаммаункции: ° 4) ф Г(л)Г(1 — ~) = —. (П1 31п ЗГ~ Из этого соотношения непосредственно вытекают формулы Из соотношения (П1.4) также вытекает, что гамма-функция нигде в комплексной плоскости не обращается в О. Это значит, что функция 1/Г(л) является целой аналитической функцией с простыми нулями в точках О, — 1,— 2,...
Эта функция может быть представлена в виде бесконечного произведения где ю — натуральное число. Соотношение (П1.3) позволяет построить аналитическое продолжение гамма-функции на всю плоскость. При этом продолженная функция будет в точках О, — 1, -2,... иметь полюсы. В самом деле, 1.
Гаыыа-функция Эйлера где С = 0,5772157... — посею,инкам З4.4ера, ~ — с 1 С= 1пп ~ — — 1пи ь-+со ь=х Логарифмируя соотношение (П1.5) и дифференцируя результат по з, можно получить формулу В частности, 214 2. Интеграл Римана — Стнльтьеса Пусть на отрезке ~а, Ц заданы ограниченная функция ~(х) и монотонно возрастающая функция е(х). Разобьем отрезок 1а, Ц на частичные интервалы точками х;, где а = *о < х1 < " «х„1 < х„= 6, и составим следующую интегральную сумму: «=1 в которой точки (; б ~х; 1, х;) могут выбираться произвольно, а Ьо; = а; — г; 1, г = 1,2,...,а.
Если составленная интегральная сумма имеет предел, когда щах(х; — х; 1) + О и, следовательно, и -+ оо, причем этот предел не зависит от выбора точек ~; на интервалах разбиения, то он называется ихтпеерамоя Рамана — Сюпихььпьеса функции ~ на отрезке ~а, Ь1 относительно Ф. Обозначается этот ин геграл как ь нли ~(х) 4о(х) Если о(х) = х, то интеграл Римана — Стильтьеса представляет собой не что иное, как обычный интеграл Римана. В общем случае функция о (х) может не быть даже непрерывной.
Однако если о Е С'~а, Ь1, то интеграл Римана — Стильтьеса сводится к интегралу Римана ~, Дх)о'(х) 6;х. Интеграл Римана — Стильтьеса существует, если: а) ~ б С1а,Ь~; б) ~ монотонна на [а, Ь~, а ~т б С~а, Ь~. 2. Интеграла Римана — Стидьтьеса 215 Интеграл Римана — Стильтьеса, как н всякий другой тип интеграла, обладает свойствами: линейностью ь 6 ь (с1Л + сэ«2) Й~ = с1 «1 Й~+ с2 «2 Й~, О й а Ь ь Ь «Ы(с1а1 + сэа2) = с1 «Ыа1+ с2 «йт2, а С В сравнением Ь ь «д(М) < «2(М) ~ «1 СЬ < «2йт; аддитнвностью К этому можно добавить, что произведение интегрируемых относительно а функций является интегрируемой относительно а. Если « ннтегрнруема относительно а, то и ~Я интегрируеыа относительно о, причем < 1Я а. 1у Ж ~ ~Оэ И(ж — ~о) = О, й~же, Определение интеграла Римана Стильтьеса на самом деле не использует свойства монотонного возрастания функции а, но от этого свойства зависит существование интеграла, Тем не менее все свойства интеграла легко переносятся на случай, когда функция а является монотонно убывающей нли, более общо, являетсл разностью двух монотонно возрастающих функций (нсключение составляют свойства, связанные с неравенствами, которые обобщаются с использованием понятия полной вариации функции).
Если в качестве функции а рассмотреть „единичную ступенчатую" функцию Пркжик ения то получим, что интеграл Римана — Стильтьеса сведется к значению подынтегральной функции в точке хе.' Дх) сЬ~(х — хо) = Я(хо), хо б (а,б). О Это обобщается на общий случай функции скачков, которая локально постоянна всюду, кроме некоторого набора точек, являющихся для нее точками разрыва 1 рода.
Такая функция может быть записана в виде ряда при помощи единичных ступенчатых функций г(и) = ~ е~~7~х — и~), 1=1 в котором с)~ — это величины скачков функции а в точках х~ Е (а,6). Количество скачков может быть конечно, тогда этот ряд превратится в конечную сумму. Если функция с представлена этим рядом, то соответствующий интеграл Римана — Стильтьеса сводится к ряду ь 6О ~йт = ) с~До~). Любая кусочно непрерывная функция о(х) может быть разложена в сумму некоторой непрерывной функции сг,(х) и функции скачков а,(х), причем такое разложение единственно.
Если непрерывнал часть этого разложения о', (х) имеет кусочно непрерывную производную, то интеграл Римана — Стильтьеса от нее сводится к интегралу Римана Таким образом, интеграл Римана — Стильтьеса распадается в сумму некоторого ряда, соответствующего функции скачков, и обычного интеграла, соответствующего непрерывной составляющей. В частном случае получается просто ряд (для функции скачков) или просто интеграл (для непрерывной функции с кусочно непрерывной производной). 3. Основные правиаа операционного исчисленна 3.
Оснавные правила операционного исчисления Основные ~пеаремы 3. Основные правила операционного нсчнсленин и' — — (и ~ И) яп мФ,— р2 + ( у2 ймЮ;: р2 1 $2 (р — Л)2+1 2 Оригиналы и изображения Е 81ПМФ Ф Л1 . (р- Л)2+аР пч 11п [(р+и1) "+1] Ф япи1,— ' (р2+,2) и+1 (а Е Ж) у И~/УГ 81пш~/Ф Ф вЂ” е 4Р 2р„Ф Л 4Ф - е — Л~Р 2Ъ~~~З (Л >О) Г(1 + 1) рм+1 п! р Л4 Л) и+1 а.' КЕ [(р+И1) "+1~ 8" сон сА .=' (Р2+м2)'1+1 (ц Е И) Л вЂ” е 41ф — е ~Я ' ~р (Л > О) Л .7о(2ЛЦ Ф -е у СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ Уче6ники и еооркикя задач Волков К.К., Заеоруйко 8.А., Фаликова НД. Задачи матевватнческой физики и нх решение методом интегральных преобразований; Учебное пособие. -М:. Изд-з МГТУ, 1994.
-64 . Во око» Я,К., Эаеорубко ЕА., Фалик»»а Н.Д. Операционное исчисление: Учебное пособие. — М: Изд-ао МГТУ, 1993. -58 с. Дмювкик В.А., Пруокико» А.Н. Операционное исчисление. — М.: Высшая школе,, 1966. - 406 с. 11 Колиоеоро» А.Н., Фо,ник С.В. Элемекты теории функций и функционально1 о анализа. — М,: Наука, 1976. — 544 с. Кошллко» Н.С., Глакер Э.Б., Сиирков И,М, Уравнения в частныхпроизводных математической физики. - М = Высшая школа, 1970 — 708 с.
Краснов М.Л., Киселев Л.К, Макаренко Г.Я, Функции комплексного переменно о. Операционное исчисление. Теория устойчивости. Задачи и упражнении. -М.: Наука, 1981. — 215 с. Леоес1»» Н Н., Скал»скал И.П., Уфллид Я.С, Сборник задач по математической физике. — М.: ГИТТЛ„1955 -420 с. Яюсизсрмак Л,А., Соболев В.Н. Краткий курс функционального анализа. — М.; Высшая школа, 1983. -271 с. Список рекомендуемой литературы 221 Смвддан Н. Преобразования Фурье. -М.: ИЛ, 1955. — 668 с. Швею» Р.Я, Операционное исчисление. — М.: Высшая школа, 1972.
— 252 с. МОКО6Рафии Джрб'ешл» М.М Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области, -М.: Наука, 1966. — 672 с. Кюре»вв Б Г. Введение в теорию бесселевых функций. — М.: Наука, 1971, -290 с. Кврв»вв Б.Г. Некоторые задачи теории упругости и теплопроводиости, решаемые в бесселевых функциях. — М,: ГИФМЛ, 1960. — 460 с. Куэ»ецав Д.С. Специальные функции. — М.: Высшая школа, 1962. — 248 с. Левшина» Б.М., Самвел» И.С. Операторы Штурма — Лиувиллл и Дираке. -М.: Наука, 1988. -432 с Набмарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. — М.: Наука, 1969.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
