III Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия (2 изд. 2000) (1081377), страница 27
Текст из файла (страница 27)
196 х ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Свойство 7.7. Определитель Ь квадратной матрицы А = = (а; ) порядка и можно представить в виде » » Ь=Яа;,А; =~~ (-1)1+«а; М;, 1=1 (7.4) или Ь = ~~~а; А;. = Я( — 1)1+эа1 М; . (7.5) Ь = деФА = «2 (-1) а1а . о>-1,а; о>ья>п>ьь1,а.+> .. е»а„= !а! ( )! (1,1Н = е>1 ~ ( 1) о1«> ° ° ° и>'-1,а, >%+1,а,+> ° ° ° пиа» + «(>,1) +а12 р (-1) ' а1« ...а; 1«>1 >а»ь1,щ+> ...а„„+...+ » ! (ь2Н «(>,2) >1!«(>,»)! +а>» ~~ ( 1) о1« '''и> 1,с ' пз+),й»ь> '''п»с «( °,») % 1 11!«(>ЕН вЂ” а;. ~ (-Ц а1»>...а» 1», >аз+1,а>+> ° ° .о»а„> =Е Е(-1)" 1=1 «(>д) где о(1,у) (у = 1, и) обозначает подстановку, в которой под числом ( стоит число ) — индексы общего множителя а;, вынесенного за знак суммы.
Остается доказать, что сумма ( 1) ' о1а> ..о> — 1,а> > в>ьь1,», > ° ° о»а» (7 6) Е- ! (к(Н а(>д) ~ Докажем равенство (7.4). Поскольку, согласно определению 7.1 определителя, в каждое его слагаемое в качестве сомножителя входит один элемент (-й строки, можно разделить все слагаемые в сумме (7.3) на п групп так, чтобы в каждой группе слагаемые имели один и тот же элемент 1-й строки. Вынеся в этих группах общий элемент 1-й строки за скобку, получим 197 Х2. Свойства определителей равна алгебраическому дополнению А< .. Для этого достаточно выразить количество инверсий в подстановке и(т',у) через количество инверсий в подстановке т, которая получается из а(т,у) . т вычеркиванием столбца (1,у) и уменьшением на единицу элементов, больших 1 в 1-й строке и больших у во 2-й.
Отметим, что этот способ получения подстановки (и — Ц-й степени т из подстановки и-й степени а(т,7) полностью соответствует построению матрицы минора М;,. Подстановка т соответствует тем местам в матрице минора М;, на которых оказались сомножители произведения а1, ...а; ца,,а;+1 „,...а„„. Поэтому Мб = лд ( Ц а1а1 ° ~~ь'-1,а, 1а~+1,амо апао. ~т~ т Для подсчета инверсий в подстановке а(1,у) столбец (т',у) переставим 1 — 1 раэ с соседним слева столбцом, что переместит его на место 1-го столбца, не изменив относительного порядка остальных столбцов. В полученной подстановке < 1 ... г — 1 1+1 ... и 3 о1 ... се;-1 се'+1 ° .. о, / четность которой совпадает с четностью а(1, 1'), вычеркнем 1-й столбец и получим 1 ... $ — 1 3 + 1 ...
И т~= о1 ... а; 1 а;+1 ... а„ При вычеркивании 1-го столбца количество инверсий в 1-й строке уменьшится на 1 — 1, а во 2-й — на у — 1. Следовательно, общее число инверсий уменьшится на 1+ 7' — 2, и поэтому ( ц! (ьлП ( цР'~++в-з — ( ц +т( цИ (7 7) 198 Т.ОПРЕДЕЛИТЕЛИ где ~г'~ равно сумме инверсий в 1-й и 2-й строках г'. Теперь уменьшим на единицу те элементы в т', которые больше 1 в 1-й строке и больше у во 2-й. При этом количество инверсий в строках не изменится, а в результате получим подстановку г. Поэтому сумма (7.6) с учетом равенства (7.7) принимает вид что и завершает доказательство. > Представления определителя в виде (7.4) и (7.5) называют его разаожеиивми по 1-й слпроме и л-му стполбцу соответственно. Разложения по строке (7.4) и столбцу (7.5) дают правила, в соответствии с которыми определитель и-го порядка сводится к п определителям (п — 1)-го порядка, раскладывая которые получим п(п — 1) определителей (ц — 2)-го порядка и т.д.
Эти вычисления получаются громоздкими, однако процесс упрощается, если среди элементов определителя имеется много нулей. Целесообразно раскладывать определитель по тому ряду (строке, столбцу), в котором больше нулей. Если же в этом смысле некоторые ряды одинаковы, то удобнее выбирать тот из них, в котором элементы имеют большие значения по абсолютной величине, поскольку это упрощает выполнение арифметических вычислений. В этом полезно убедиться самостоятельно, вычисляя разложением по 2-му столбцу следующий определитель. Пример 7.2. Вычислим определитель четвертого порядка 3 1 — 1 2 — 5 1 3 — 4 20 0 1 -11 1 — 5 3 — 3 199 Х2.
Свойства определителей Определитель удобнее всего раскладывать по З-й строке: ( 1)3+1 20 3 1 2 3 1 -1 — 5 1 — 4 +( — 1) + ° (-11) — 5 1 3 1 — 5 -3 1 — 5 3 +( 1)з+з = 20(-9 — 20+6+ 30+12 — 3) +1(-9 — 4+50 — 2 -60 — 15) + + 11(9 — 25+ 3+1+45+15) = 20 16 — 40+11.48ее 808. Пример 7.3, Вычислим определитель п-го порядка 1 1 1 ... 1 1 0 1 ... 1 1 1 0 ... 1 1 1 1 ... 0 Не меняя величины зтого определителя, вычитаем 1-ю строку из всех остальных строк (см. свойство 7.6) и, раскладывая полученный определитель по 1-му столбцу (см. свойство 7.7), находим, что 1 1 1 ... 1 0 -1 0 ...
0 0 0 -1 ... 0 — 1 0 ". 0 0 -1 ... 0 0 0 0 ... -1 0 0 ... — 1 Свойство 7.8. Определитель верхней (нижней) треугольной маеприцы равен произведению злемеитов ее главной 3 1 — 1 2 -5 1 3 — 4 20 0 1 -!1 1 -5 3 -3 1 — 1 2 1 3 -4 -5 3 — 3 200 7. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ диагонали, т.е. аы 0 ... 0 агг а,г ... О аы агг ... ат О агг ... аг„ = а11агг ° ° . а~в = й йан ап1 ачг ° ° ачн 0 0 ...а„„ ~ Воспользовавшись свойством 7.7, последовательно расклады- ваем определители верхнего треугольного вида по 1-му столбцу и получаем агг агз ° ° ° азн 0 азз ".
азч аы агг ... а1„ 0 агг .. аг„ =ам 0 0 ... а„„ 0 0 ... а„„ азз азв .. азч 0 ав4 -.. ав„ = амагг = ... = аыагг ..а„„= Дан 0 0 ... а„„ Для вычисления определителей нижнего треугольного вида используется их разложение по 1-й строке. Ь Пример 7.4. Поскольку диаеональная иатрица является верхней треугольной матрицей, ее определитель равен произведению диагональных эленентов. В частности, определитель единичной матрицы Е равен единице. С помощью элементарных преобразований строк любая матрица приводится к ступенчатому виду (см.
теорему 6.3). Квадратная матрица ступенчатого вида является частным случаем верхней треугольной матрицы, у которой диагональные элементы, начиная с некоторого, могут быть равны нулю. Определитель такой матрицы легко найти по свойству 7.8. В алгоритме приведения к ступенчатому виду используется перестановка строк, при которой определитель матрицы меняет 201 7.2. Свойства овределвтелей знак.
Изменение знака можно учесть, например, дополнительным умножением определителя или одной из строк на — 1. Следовательно, квадратную матрицу всегда можно привести элементарными преобразованиями строк к верхнему треугольному виду с сохранением значения ее определителя. Пример 7.5.
Вычислим определитель четвертого порядка Этот определитель называют циркулянтом четвертого порядка., поскольку его строки являются так называемыми циклическими перестановками элементов 1-й строки. Его вычисление основано на преобразовании к треугольному виду. На первом этапе получаем нули в 1-м столбце ниже главной диагонали: На втором этапе получаем нули во 2-м столбце ниже главной диагонали: (3) -+ (3) — 2(2) (4) -~ (4) — 7(2) 1 2 3 4 0 -1 -2 — 7 0 0 -4 4 0 0 4 36 На третьем этапе получаем нуль в 3-м столбце нод диагональю: е ~~4~ -+ ~4).В- ~е = 1(-1) (-4)40 = 160. 1 2 3 4 2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3 1 2 3 4 2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3 1 2 3 4 0 — 1 -2 — 7 0 Π— 4 4 0 0 0 40 1 2 3 4 0 -1 — 2 — 7 0 — 2 — 8 — 10 0 -7 -10 -13 202 7.
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Если в процессе преобразований оказывается, что равные нулю элементы расположены по одну сторону от побочкоб деагонпле, то можно последовательно раскладывать определитель по 1-му столбцу (или по 1-й строке) или, изменяя порядок строк (столбцов) на обратный и учитывая свойство 7.2, преобразовывать определитель к треугольному виду. Пример 7.6. Вычислим определитель и-го порядка: О О ... О й„ О О йв-1,2 ° ° ° ав-1,а-1 ав-1,а вв1 ввз ва-1 а вва О О ...
Й1„ ( 1)в+1й йа-1,2 йа-1,3 ° ° ° йа-1,а = (-1)" " ' 'йа1йв-12" йз,в-1й1в в а; Аь =О, й~1; 1=1 а а; А11=0, йфу'. 1ьв1 (7.8) (7.9) ~ Докажем равенство (7.8), соответствующее утверждению для строк. Дяя этого рассмотрим вспомогательный определитель Свойство 7.9. Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) определителя Ь матрицы А (7.2) на алгебраические дополнения, соответствующие элементам другой строки (столбца) этого же определителя, равна нулю: 203 7.2. Свойства определителей Ь1, полученный из Ь заменой элементов й-й строки (й ,-ь 1) числами с1, сг, с„: аы агг аго аг1 агг ...
аг„ а;1 а;г ... аев С1 С2 ... Св а„1 авг Разложим определитель Ь1 по /с-й строке: в Ь1 — — ~ с Ал, где Ал — алгебраические дополнения, соответствующие элементам й-й строки как в определителе Ь1, так и в определителе Ь. Положив с; = а;, 1 = 1, п, получим, что в определителе Ь1 совпадают 1-я и й-я строки. В соответствии со свойством 7.5 этот определитель равен нулю, т.е. в ~ауАя1=0, й~г. 1=1 Аналогично доказывается равенство (7.9). Г Свойство 7.10.
Если А и В являются квадратными матрицами порядков п и пг соответственно, то деФ(Айг В) = = деФА11еФВ. 4 Нужно доказать, что блочная матрица имеет определитель, равный йееАбеСВ. 204 7. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Мы докажем более общий результат, состоящий в том, что определитель б аочно-тпреугольнотл матприцы 17.10) при любой матрице С тоже равен десАдеСВ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
