III Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия (2 изд. 2000) (1081377), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Позтому транспонирование можно рассматривать как преобразование симметрии матрицы относительно ее славной диаеонали. Подробнее: 163 б.З. ераиеиоиироиаиие матриц Пример 6.2. Транспонируем следующие три матрицы: 2 4 0 т а1 ь, т аз Ь, (а1,аз,...,ао) = . ~ . =(ЬмЬз,...,Ьа) У а„ Свойства операции транспонирования. 1о (4) 4 тт ~ Отметим, что матрицы (А ) и А имеют одянаковые размеры. Кроме того, [(А ) ]; = [(А )]; = [А]; . ~ 2'. (А+ В) = А + В .
М [(А+В) ]"=[(А+В)]'~=[А]1+[В]зз=[А ]11+[В ]11=[А + +В];,.» 3 . (ЛА) =ЛАт, ЛЕВ. ~ [(ЛА) ]; = [ЛА]; = Л[А],; = Л[А ];, = [ЛА ];;. ~ т Если А = А, то матрицу А называют скм.менърмческой, а т если А = -А — кососкламетприческоб. И в том и в другом случае матрица должна быть квадратной. Элементы симметрической матрицы, расположенные на местах, симметричных относительно диагонали, равны между собой.
Действительно, [А ];1 = [А], я из равенства А = А следует, что [А]; = [А]; . Элеиеиглы же кососимметрнческой матрицы, расположенные на местах, симметричных относительно главной диагоналя, отличаются знаком, а диагональные — равны нулю. Действительно, [А ];, = [А]„.
и из равенства А = -А следует, что [А],; = -[А];,. В частности, при е'=,1' выполняются равенства [А],; = -[А]В = О. В, МАТРИЦЫ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ 164 Пример 6.3, Матрицы < 3 — 2 1 и — 2 О -4 — симметрические, 1 — 4 2 0 2~ 0 — 2 1 а ~ ) н 2 Π— 4 — кососимметрические. -1 4 0 6.4. 'Умножение матриц Определение 6.6.
Пусть даны лап~рина А = (аб) п~ипа озха и матрица В = (6; ) типа пхр. Произеедемиелв матприц А и В называют матрицу С = (с; ) типа дахр с элементама с;,=~~~ а»6»,, которую обозначают С = АВ. Произведение определено лишь в том случае, когда количество столбцов первого сомножителя равно количеству сшрок второго. В формировании элемента с; произведения АВ участвуют элементы 1-й строки матрицы А и 1'-го столбца матрицы В. Поэтому правило умножения матриц называют также правилом умножения „строка на столбец": у Пример 6.4.
Найдем произведение двух матриц -1 1 -2 2 -1 2+1 0-2 3+2.1 -б 165 веа Умножение матриц Пример 6.5. Произведением прямоугольной матрицы и мап1рицы-столбца является матрица-столбец: х1 аых1+а1зхз+...+а1пхп хз аз1х1+аззхз+...+азпхп ам а1з ... а1п аз1 азз ". аз. аы абаз " аып х„ а1п1 х1+ ар~2 х2+...+ Оипп хп Пример В.б. Найдем произведение трех квадратных матриц второго порядка, перемножив сначала первые две матрицы, а затем результат их произведения и третью матрицу: 1 2 -1 О О -4 -3+8 Π— 12 2 -1 5 -12 2 -1 -24 -8 Умножение матрицы-строки Х типа 1хп на матрицу-столбец т' типа пх1 дает матрицу типа 1х1, которую отождествляют с числом: у1 уз Ху =(хы хз, "., х ) уп и = (х1у1+хзуз+...+хну„) = ~ хьуь. йм1 Таким образом, произведение любой матрицы-строки и любой матрицы-столбца, имеющих одинаковое количество элементов, есть число, равное сумме произведений их элементов с одинаковыми индексами.
Если матрица-строка и матрица-столбец имеют разное количество элементов, то их перемножить нельзя. 166 В. МАТРИЦЫ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ Замечание 6.3. Для числовых матриц типа 1х1 матричные операции суммы, разности, умножения и умножения матриц на действительные числа совпадают с соответствующими арифметическими операциями суммы, разности и умножения над действительными числами.
Вот почему нх и отождествляют с числами. Существование произведения АВ двух матриц не означает существования их произведения ВА. Например, матрицы из примера 6.4 нельзя умножить в другом порядке. Чтобы матрицу А типа тхп можно было умножить на матрицу В и слева, и справа (т.е. чтобы были определены оба произведения ВА и АВ), матрица В должна иметь тип пхт,. Квадратные матрицы А и В можно перемножить, если они имеют один порядок, причем в этом случае определены оба произведения (АВ н ВА), хотя равенство АВ = ВА обычно нарушается. Пример 8Л, Найдем произведения двух пар матриц А, В и С, Р в одном н другом порядке: 34 01 37 ' 01 34 34 Обратим внимание, что СР= С, РС = 9, хотя ни одна иэ этих двух матриц не является крлевой.
ф Если определены оба произведения АВ и ВА и выполнено равенство АВ = ВА, то матрицы А и В называют поммуширрюм4нми нли перестпамовочпыми. Коммутирующие матрицы всегда квадратные и одного порядка. Пример 8.8. Произведение диагональных матриц одного порядка есть диагональная матрица, элементами которой 168 б.
МАТРИЦЫ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ 4 Если матрицы А, В имеют тип тхи, а матрица С вЂ” тип ихй, то и и ((А+ В)С]И = ~~' [А+ В]г[С)гу= ~ ([А]1г+(В]и)[С)гу = ги1 п » и =,,'Ь ([А)1г[С]гу+ (В]1г[С]г;) = ~1 (А)1у [С]гУ+ ~~1 (В]1г(С].У = г=1 г=1 г=1 = [АС]; +(ВС]1 = (АС+ВС]И. 3'. Существует такая матрица Е б Ми(К), что для любой матрицы А б Ми(К) выполнены равенства АЕ = ЕА = А. ~ В качестве матрицы Е можно взять едикичиую порядка и. ~ 4'.
ДлЯ любой матРицы А б Ми(К) и иУлееой мапьРицы 6 б Ми(К) выполнено равенство А9 = 6. ~ Вычислим элементы произведения АО: и и (Ав];,=~ (А];„[е)„=~(А];„о=о. г»1 Видим, что все элементы матрицы Ает равны нулю. 1и 5'. Для любых матриц А и В типов тхи и ихй выполнено т т т равенство (АВ) = В А, т.е. транспонированное произведение двух матриц равно произведению в обратном порядке шраисооиироеаниыя ма1ариц. и [(АВ) );, = [АВ],; = ~~1 [А].„[В]„= ги1 п и =~) (А)„[В];г=~ [В);,[А ]г,=[В А )„., ° г=1 г»1 Операция умножения матриц позволяет ввести операцию возведения квадратной матрицы в натуральную степень.
Положим А1= А, А»+1 = АА", и = 1,2,... Отметим, что две степени 169 В Б. Блочные катрины А" и А'" одной и той же матрицы являются матрицами одного порядка н перестановочны: А"А = А А" = А"+ . Введем также нулевую степень кнадратной матрицы, полагая Ао = Е, где Š— единичная матрица того же порядка. Введенная степень матрицы позволяет для квадратной матрицы вычислять выраженяя вида а„А" +а„1А" '+...+аоАо, а; е И, 1=0,и, т.е. миоеочлеим от одного матричного аргумента. Пример 6.9.
Вычислим значение квадратиоео трехчлеиа р(х) = Зхз — 4х+ 5 для квадратной матрицы А=( ). Поскольку р(х) = Зхз — 4х+5хв, то р1А) = ЗАз — 4А+5Ао, где Ае = Š— единичнал матрица второго порядка. Вычислив -1 1 -1 1 -1 -1 находим р(А) =3 — 4 +5 — 3 — 3 4 — 4 О 5 1 -2 6.5. Блочные матрицы Если разделить некоторую матрацу А на части вертикальными и горизонтальными прямыми, то получаются прямоугольные ячейки, являющиеся сами по себе матрицами. Эти ячейки называют 6локами маизрицьл. Сама матрица А может 170 б. МАТРИЦЫ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ рассматриваться как таблица, элементами которой являются более мелкие матрицы М д: А = (М д). При таком построе- нии матрица А составляется из блоков, и поэтому ее называют блочмоб.
Например, матрицу а11 аю аз1 а41 а51 разобъем на следующие блоки: и обозначим их аы а1г а1з а14 агз М11 а21 а22 агз М12 = а24 а25 а31 а32 азз аз4 аз5 а41 а42 а43 й а44 а45 Мгг — — ~ а51 а52 а53 а54 а55 Тогда матрицу А можно записать в виде блочной матрицы, элементами которой будут эти матрицы М е: А=(М~)=( " ' ). Для составления блочной матрицы из серии матриц М„э необходимо, чтобы подмножества матриц из серии с одинаковым значением индекса а имели одинаковое количество строк, а подмножества матриц с одинаковым значением индекса эв а12 а1з а22 агз азг азз а42 а4з алг а5З а 14 а15 аг4 а25 а34 а35 а44 а45 а54 а55 171 6.6.
Блочиые матрицы одинаковое количество столбцов. Эти подмножества образуют соответственно „блочные" строки и „блочные" столбцы 1соответствующие нескольким строкам или столбцам обычной записи матрицы). Пример 6.10. Указанным требованиям удовлетворяют следующие четыре матрицы: (аы агг агз 1 М1 1 3 ~ а21 агг агг ~ С11 С12 С13 1111 1112 М21 = с21 с22 сгз ~ М22 = 021 Игг сз1 сзг сзз "21 "зг Поэтому из них можно составить блочную матрицу А= М21 М22 Основное свойство блочных матриц состоит в том, что операции над блочными матрицами совершаются по тем же правилам, что и операции над обычными матрицами.
В самом деле, зто в достаточной степени очевидно для суммы мапгрии и произведения матприиы иа число. Однако относительно суммы это можно утверждать лишь в том случае, когда размеры слагаемых блочных матриц, равно как и размеры отдельных блоков с равными индексами у слагаемых, совпадают. Подробнее рассмотрим ситуацию с умиолсеиием блочных матриц. Пусть блочные матрицы А = (А„л) и В = (Вп.,) удовлетворяют двум условиям. 1. Число „блочных" столбцов матрицы А совпадает числом „блочных" строк матрицы В 1т.е. индекс ф дл изменяется в одинаковых пределах). 172 н МАТРИЦЫ И ОПЕРАЦИИ ИАД НИМИ 2. Для любых индексов о,,д, 7 число столбцов у матрицы А д совпадает с числом строк у матрицы Ввт Тогда АВ=(С ), С =~~ А дВду. д Для доказательства этого равенства достаточно расписать обе его части через элементы матриц. Указанные два условия довольно сложны, но все упрощается, если блоки матриц — это ивадратлиые матрицы одного порядка.
В этом случае условия близки к обычным: число „блочных" столбцов множимого должно совпадать с числом „блочных" строк множителя. Представление матриц в блочном виде часто оказывается удобным при нахождении суммы и произведения, если матрицы имеют достаточно большие размеры, а их согласованные разбиения на блоки содержат нулевые, единичные, диагональные, тпреугольиые матприцы. Пример 6.11. Нандем произведения следующих блочных матриц предполагал, что все операции определены: А Е С АС 9 Е А В С Р А ЗЕ С АС+ЗР При ираиспоиироваиии блочной мапзрицы транспонированию подлежат и ее элементы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
