III Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия (2 изд. 2000) (1081377), страница 22
Текст из файла (страница 22)
На плоскости х+ у — х = 0 найти точку с наименьшим расстоянием до начала системы координат. 5.12. Найти уравнение множества точек, равноудаленных от плоскостей: а) х — 2у+ 4х — 3 = О, Зх — бу+ 12х+ 7 = 0; б) х — 2у+4х+5=0, 4х+у+2г — 11=0. 5.13. Выяснить, в какой вз двух углов между плоскастямн х+Зу-2х+1=0, Зх — у+2х+2 =О попадает точка М(1; 1; — 1), в острый или тупой.
5.14. На каком минимальном расстоянии от начала системы координат пройдет точка при прямолинейном ее движении из точки М(5; 0; 1) в направлении точки М~ ( — 5; 1; 3). 5.15. Найти канонические уравнения прямой, симметричной прямой х — 1 = 1 — у = х относительно плоскости х+ Зу— — 2х+1 =О. Б.16. Найти координаты основания перпендикуляра, опущенного из точки М(3; -1; 2) на плоскость 2х — 2у+х — 1 = О.
Б.17. Для треугольника с вершинами А(2; 3; — 2), В(4; — 1; 4), С(2; — 3; 2) найти канонические уравнения медианы, высоты и биссектрисы, проходящих через вершину А. 5.18. Найти уравнение геометрического места точек, равноудаленных от точек А(1; 4; — 3), В(З; 0; — 5). 5.19. Найти канонические уравнения проекции прямой х — 1 у — 2 ю+1 1 2 5 на плоскость 2х — Зу+ х — 1 = О. Составить уравнение проектирующей плоскости, 6.
МАТРИЦЫ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ 6.1, Виды матриц Определение 6.1. Матрицеб тапа (или размера) тх п называют прямоугольную числовую таблицу, состоящую из тп чисел, которые расположены в т строках и и столбцах. Составляющие матрицу числа называют элементами этой матрацы. Как правило, их обозначают строчной букиой с двумя индексами, например а;, где 1 — номер строки (1= 1, т), 1— номер столбца (у = 1, и), в которых расположен этот элемент. Матрицы обозначают ам а1э ... а1„ ащ аз э " аз или аы аю ...
а1„ аы азз ... аз„ а 1 а,„э ... а а1 айаг " а~« М „(1ь). Используют и другие сокращенные обозначения: (а; ) ~~с" нли просто (а; ), если по тексту ясно, в каких пределах изменяются индексы 1 и ). Матрицу как единый объект обозначают прописной буквой: А, В и т.д.
Элемент матрицы А, стоящий в 1-й строке и у-м столбце, мы будем также записывать в виде [А]<, что удобно при проведении доказательств. Элементами матриц могут быть не только действительные числа, но и комплексные, и даже другие математические объекты. Например, мы будем встречаться с матрицами, элементами которых будут многочлены или матрицы.
Множество всех числовых матриц типа 1пхп, элементами которых являются действительные числа, обычно обознача« 156 И МАТРИЦЫ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ Если матрица имеет тип 1хп, т.е. если у матрицы всего одна строка, А = (аы, а1г, ..., аг„), то матрицу называют матрицебстирояой. Индекс строки можно опустить: А = = (а1, аг, ..., а„). Число элементов в матрице-строке называют ее длиноб. Если матрица имеет тнп тх1, т.е.
у матрицы один столбец: а11 агг А= ан1 то ее называют матрицеб-столбцом. Число элементов в матрице-столбце называют ее высопгоб. Индекс столбца можно опустить: а1 аг А= При т = и, т.е. когда матрица имеет столько же столбцов, сколько и строк, ее называют явадратпной парадна и: аы агг а21 агг а1в аг ) аы аьг ° ° ° аьь а при т ~ н — прямоугольной. Множество всех квадратных матриц порядка о, элементами которых являются действительные числа, обозначают М„(В). У квадратных матриц выделяют последовательности элементов аы, агг, ..., а„„вЂ” главнувг диагональ, и а„1, а„ 12, ..., а1„ — побочную диагональ. Элементы главной диагонали называют диагона ваянии. Понятия диагонального элемента н главной диагонали распространяют и на прямоугольные матрицы.
б.ь Виды нвтриц Если в квадратной матрице порядка п все элементы, стоящие вне главной диагонали, равны нулю, т.е. если матрица имеет вид аы О ... О О азз ". О О О ... О а„„ то ее называют диагона виной и обозначают т( 1ан (а„, ..., а„„). Если в диагональной матрице порядка п на диагонали стоят единнцы, то ее называют единичной и обозначают обычно Е илн т' 1 О ... О О 1 ... О Е= О О ... О О О ... 1 Матрицу типа тпхп, все элементы которой равны нулю, называют нулевой матприцей соответствующего типа и обозначают буквой ет нлн цифрой О. Часто используют матрицы н других видов, например варение тпреугольные матприцы аы атз .. ат„ О азз .. аз„ О О ... азя О О ... а„„ у которых элементы, расположенные под главной диагональю, равны нулю, н низтсние тпреугольные матприцы, у которых, 158 6.
МАТРИЦЫ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ наоборот, элементы над главной диагональю равны нулю: адд 0 0 ... 0 азд азз О " О ачд аз а з ... а„„ Отметим, что диагональные матрицы являются частным случаем как верхних, так и нижних треугольных матриц. Более того, множество диагональных матриц совпадает с пересечением множества верхних треугольных матриц и множества нижних треугольных матриц. К одрехдиагоиа,аьиьдм мадприцам относят такие квадратные матрицы, у которых ненулевыми элементами могут быть лишь диагональные элементы и соседние с ними в строке или столбце: аы аю 0 0 азд азз азз 0 О азз азз аз4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ...
аь д, з а„д„д а„д„ 0 0 0 О ... 0 а„„, а„„ Прямоугольные матрицы вида адд адз адз " ади .. аде 0 азз азз " аъ " азя 0 0 азз " аз ... азь 0 0 0 ... а , ... а у которых элементы, расположенные под главной диагональю, равны нулю, называют верхними тпрапециееидиыми. Важную роль в дальнейшем изложении играют сдпииеичадпые матприцы (матрицы ступенчатого вида). Так называют аЗ. Линейные онераннн над натрнцвнн 159 матрицу типа тха, если для любой ее строки выполнено следующее условие: под первым слева ненулевым элементом строки и предшествующими ему нулевыми элементами строки все элементы матрицы равны нулю. Следующие матрицы имеют ступенчатый вид: 6.2.Линейные операции над матрицами Прежде чем обсуждать какие бы то ни было операции над матрица,ми, договоримся, какие матрицы мы будем считать равными. Определение 6.2.
Две матрицы называют равмььмц, если они имеют один и тот же тип и если у них совпадают соответствующие элементы. =(а;.) и В= того же типа Определение 6.3. Суммой матриц А = (Ь; ) типа тхв называют матрицу С = (с; ) с элементамн с;, = а; + Ьб, д = 1, т, 1 = 1, в. Для суммы матриц используют обозначение: С = А+ В. В подробной записи Ь» Ьг„ Ьы Ьдг + Ью Ьгг аы адг агд агг ад„ аг Ьтвд Ьэвг ' Ьзвв азад атг ...
атв ад„+Ьд агв + Ьгв адд+Ьп ан+Ьгд адг + Ьдг агг + Ьгг аед + Ьтд ащг + Ьщг ° атвв + Ьщв 160 б. МАТРИЦЫ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ Замечание 6.1. Сумма определена только для матриц одного типа. Пример 6.1. Найдем сумму двух матриц 2 1 — 1 1 + 4 3 0 1 = 6 4 -1 2 Определение 6.4. Произведением матприцы А = (а; ) типа тхн на число о ЕЙ называют матрицу С= (с; ) типа п2хн с элементами сИ = оаб.
Подробно это произведение выглядит так: а1в оаы аагз ... оа1„ аз„оа21 аа22 ... оа2„ а11 а 12 а21 а22 о а,„1 а,„2 ... а, в Оат1 Оащз .. ° Оптов Замечание 6.2. Операции сложения и умножения на число для матриц аналогичны одноименным операциям над венп1орам1ь Эти операции также называют лннейньамн. Для любых матриц А=(аб)1 В=(йб) и С= (с1,) из М,„„(1ь) верны следующие свойства линейных операций. 1'.
Сложение матриц коммутативно: А + В = В+ А. < Доказательства равенств матриц часто проводят, основываясь на определении 6.2, т.е. доказывают, что матрицы, стоящие в левой и правой частях равенства, имеют на одинаковых местах равные элементы. Так, свойство коммутативностн суммы матриц следует из равенств [А + В);; = а; + е;, = й;, + а; = (В + А);, среди которых первое и третье следуют из определения 6.3 суммы двух матриц, а второе верно в силу коммутативности сложения действительных чисел. Ь 161 6.И Лииеяиме операции иад матрицами 2'.
Сложение матриц ассоциативно: (А+В)+С = А+(В+ + С). ~ Как и в случае коммутативности, свойство ассоциативности вытекает из равенств [(А + В) + С];, = [А + В]б + [С];; = (а;, + йб) + с;; = = а;. + (й;, + с;,) = [А]; + [В+ С]; = [А+ (В+ С)];, которые имеют место в силу определения 6.3 суммы двух матриц и ассоциативности сложения действительных чисел. ~ Свойства 1е и 2е позволяют не заботиться о порядке операций сложения матриц и порядке слагаемых в матричных выражениях.
3'. Существует такая матрица О б М „(И), что для любой матрицы А б М „(И) выполнено равенство А+О = А. ~ Матрица Π— зто нулевая матирипа 9 типа тиха. Действи- тельно, [А + Щ, = [А]б + [6];, = а;, + О = а; = [А]б. 3ь 4'. Для любой матрицы А б М,„„(И) существует такая единственная матрица В б М „(И), для которой выполнено равенство А + В = 9, где 9 — нулевая матрица. ~ Если А+В=9, то [А+В]; =а; +е; =[9]; =О и, следовательно, а; + и; = О. Значит, элементами Ь< матрицы В являются е; = — а;, и это доказывает как единственность, так и существование матрицы В. > Матрицу В, о которой говорится в свойстве 4', называют «ротвивотаолозесмоб А и обозначают через -А.
Эта матрица получается из матрицы А умножением на число — 1. Свойства 3' и 4' позволяют ввести операцию вычитания матриц. Рвзноспъью Р— Я матприц Р и Я одного типа называют матрицу Р+ ( — Я). 162 а МАТРИЦЫ И ОпеРАции нАД НИМИ 5'. Умножение матрицы на число ассоциативно: (Л11)А = = Л(иА). 1 [(Л11) А]11 = (Лр)ОИ вЂ”вЂ” Л(11аб) = Л[11А]1 . ~Ь 6'. Умножение матрицы на число дистрибутивно относительно суммы действительных чисел: (Л+ 11)А = ЛА+ ИА. М [(Л+11)А]6 — — (Л+,и)а1. = ЛОИ+11О11 = [ЛА]И+~иА]; = [ЛА+ +ИА]6. 1ь 7'. Умножение матрицы на число дистрибутивно относительно суммы матриц: Л(А+В) = ЛА+ ЛВ.
~ [Л(А+ В)];1 = Л[А+ В]6 — — Л(ОН+ 61) = Ла„+ ЛЬ;1 = [ЛА];1+ + [ЛВ]6 = [ЛА+ ЛВ]6 ° 8~. Умножение матрицы на 1 не меняет ее: 1. А = А. м «1 . А];; = 1 [А];, = [А]; . ~ 6.3. Транспонирование матриц Определение 6.5. Для матрицы А = (а;,) типа тха ее т трамспонироеанно6 матрицей называют матрицу А = (сб) типа ихт с элеменп1ами с; = а ч.
аы а12 ... а1„ ан О22 " азь ап аи ... а1 О12 О22 ... О~2 О л1 От2 " Ор~ь О1ь Озь " Оиьь При транспонировании матрицы ее строки становятся столбцами новой матрицы с сохранением нх порядка. Точно так же столбцы исходноЙ матрицы преврззцаются в строки транспонированной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
