III Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия (2 изд. 2000) (1081377), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Например, б.б. Прамаа сумма матриц Пример 6.12. Транспонируем блочную матрицу (А„А ) 6.6. Примни сумма матриц Определение 6.Т. Пусть даны квадраптиые маптрицы А порядка тп и В порядка п. Прямой суммой матприц А и В называют квадратную блочную матрицу С = А 8 В порядка тп+ и, равную где 9 обозначает нулевой блок (нулевую мащрицу типа тпхп вверху справа и пхтп внизу слева).
Укажем основные свойства прямой суммы матриц. 1'. Ассоциативность: (АЩВ)9С=АЩ(ВйтС) М В результате выполнения операций в левой и правой частях равенства получается одна и та же блочио-дванова вьиая матприца где нулевые матрицы имеют соответствующий шип. ~в 174 б. МАТРИЦЫ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ 2', Пусть квадратные матрицы Аг и Аг имеют порядок пг, а квадратные матрицы В1 и Вг — порядок п. Тогда (Аг Ю Вг) + (Аг 6> Вг) = (Аг + Аг) Ю (Вг + Вг) (А1 9 В1)(Аг йг Вг) = АгАг йг Вгвг. < Действительно, эти записи означают следующее: Аг Е Аг Е Аг+Аг Е ев,ев,=ев,в, что соответствует операциям над блочными матрицами. Ь ВЛ.
Линейнаи зависимость строк и столбцов Строки и столбцы матриц можно рассматривать как маогрицы-строки и, соответственно, магврипы-соголбцы. Поэтому над ними, как и над любыми другими матрицами, можно выполнять ли«ейные ооерацип. Ограничение на операцию сложения состоит в том, что строки (столбцы) должны быть одинаковой длины (еысоогы), но это условие всегда выполнено для строк (столбцов) одной матрицы. Линейные операции над строками (столбцами) дают возможность составлять строки (столбцы) в виде выражений сггаг + ... + а,о„ где ам ..., а, — произвольный набор строк (столбцов) одинаковой длины (высоты), а сгг, ..., о, — действительные числа. Такие выражения называют,аияебяььми «омбияоцилми с«яро« ( сяголбцое). Определение 6.8.
С«яро«и (сяголбцы) аь ..., а, называют ли«ей«о яезовнсимыми, если равенство (6.1) аго1+...+а о =О, В.7. Лиивйиав зависимость строк и стовоцов где О в правой части — нулевая строка (столбец), возможно лишь прн а1 — — ... = аз = О. В противном случае, когда существуют такие действительные числа а|, ..., а„не равные нулю одновременно, что выполняется равенство (6.1), эти строки (столбцы) называют лвмебмо зовисилвыми. Следующее утверждение известно как критерий линейной зависимости. Теорема 8.1. Строки (столбцы) ам ..., а, линейно зависимы тогда и только тогда, когда хотя бы одна (один) из них лвллетси линейной комбинацией остальных.
~ Доказательство проведем длл строк, а дли столбцов оно аналогично. Необходимость. Если строки а1, ..., а, линейно зависимы, то, согласно определению 6.8, существуют такие действительные числа ам ..., а„не равные нулю одновременно, что а1о1+... + а,о, = О.
Выберем ненулевой коэффициент а;. Длл простоты пусть это будет а1. Тогда а1а1 = (-аэ)оз+...+(-аз)о, и, следовательно, а1 = — — аз+...+ — — о„ т.е. строка а1 представляетсл в виде линейной комбинации остальных строк. Достаточность. Пусть, например, а1 — — Лзаз+...+Л,а,. Тогда 1а1+ (-Лз)оз+... + (-Л,)а, = О. Первый коэффициент линейной комбинации равен единице, т.е. он ненулевой. Согласно определению 6.8, строки а1, ..., а, линейно зависимы.
~ Теорема 6.2. Пусть строки (столбцы) о1, ..., о, линейно независимы, а каждая из строк (столбцов) Ь1, ..., Ь| лвллетсл их линейной комбинацией. Тогда все строки (столбцы) аз, ..., а„Ь1, ..., Ь| линейно зависимы. 176 а мл тгицы и онерл ции нлд ними ~ По условию, Ь1 есть линейная комбинация О1, ..., О„т.е. Ь1 —— а1а1+...+а,а„о; Ей, 1=1,л. В зту линейную комбинацию добавим строки (столбцы) Ь2, ..., Ь1 (при 1 > 1) с нулевыми козффициентами: Ь, =о,а,+...+о.а,+ОЬ2+...+ОЬ!.
Согласно теореме 6.1, строки (столбцы) а1, ..., О„Ь1, ..., Ь1 линейно зависимы. к 6.8. Элементарные преобразовании матриц Следующие три операции называют элемектпарными иреобраэоеакклми спърок макярицы: 1». Умножение 1-й строка матрицы на число Л ~ О: аы О12 ... О1» ам О12 ... а1„ ап а<2 ... Оь» ~-~ Лап Лам ...
Лаь» Оов1 О~»2 " ° Опв» Оав1 %»2 ° ° ° ат» которое будем записывать в виде (1) -+ Л(1). 2'. Перестановка двух строк в матрице, например 1-й и й-й строк: аы а12 ... а1„ ам а12 " а1 а;1 а12 ... а;„ аы акя ... Оь» От1 Оюз .. От» аы аь2 ... аь„ О11 О12 .. ° О1» О~1 аз ... От» которую будем записывать в виде (1) ++ (Й). б.В. Эаемеитариме цреабрааоиаиии матриц 177 3'. Добавление к г-й строке матрицы ее Й-й строки с коэффициентом Л: ага агг аы ам а|г ... а1„ ам+Лаю аьг+Ла»г ... а;и+Ла» ап асг ...
а;„ в»г аы а» аы а»г ... в»и анг анг ° " вни а, г в1аг ° . вми что будем записывать в виде (1) -+ (1) + Л(й). Аналогичные операции над столбцами матрицы называют элементпорными преобразовонилми стполбцов. Каждое элементарное преобразование строк яля столбцов матрицы имеет обратпное элеменпъорное преобразование, которое преобразованную матрицу превращает в исходную.
Например, обратным преобразованием длл перестановки двух строк является перестановка тех же строк. Каждое элементарное преобразование строк (столбцов) матрицы А можно трактовать как умножение А слева (справа) на матрицу специального вида. Эта матрица получается, если то же преобразование выполнить над единичной мапгрицей. Рассмотрим подробнее элементарные преобразования строк. Пусть матрица В получается в результате умножения г-й строки матрицы А типа вг хо на число Л ~ О.
Тогда В = Е<(Л) А, где матрица Е;(Л) получается из единичной матрицы Е порядка пг умножением ее г-й строки на число Л. Пусть матрица В получается в результате перестановки 1-й и й-й строк матрицы А типа тпхп. Тогда В = Р;»А, где матрица Р)» получается из единичной матрицы Е порядка тп перестановкой ее г-й и Й-й строк. Пусть матрица В получается в результате добавления к 1-й строке матрицы А типа тпх и ее й-й строки с коэффициентом Л. Тогда В = С;»(Л)А, где матрица С;» получается из единичной матрицы Е порядка тп в результате добавления к г-й строке 178 6.
МАТРИЦЫ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ й-й строки с коэффициентом А, т.е. на пересечении 1-й строки и й-го столбца матрицы Е нулевой элемент заменен на число Л. Точно так же реализуются элементарные преобразования столбцов матрицы А, но при этом она умножается на матрицы специального вида ие слева, а справа. С помощью алгоритмов, которые основаны на элементарных преобразованиях строк и столбцов, матрицы можно преобразовывать к различному виду.
Один иэ важнейших таких алгоритмов составляет основу доказательства следующей теоремы. Теорема 6.3. С помощью элементарных преобразований строк любую матприцу можно привести к ступенчатому виду. ~ Доказательство теоремы состоит в построении конкретного алгоритма приведения матрицы к ступенчатому виду. Этот алгоритм состоит в многократном повторении в определенном порядке трех операций, связанных с некоторым текущим элементом матрицы, который выбирается исходя иэ расположения в матряце.
На первом шаге алгоритма в качестве текущего элемента матрицы выбираем верхний левый, т.е. 1А]ы. 1*. Если текущий элемент равен нулю, переходим. к операции 2~. Если же он не равен нулю, то строку, в которой расположен текущий элемент (текущую строку), добавляем с соответствующими коэффициентами к строкам, расположенным ниже, так, чтобы все элементы матрицы, стоящие в столбце под текущим элементом, обратились в нуль. Например, если текущий элемент — ~А];, то в качестве коэффициента для й-й строки, й =1+ 1,..., нам следует взять число — 1А]ь,/[А]ц. Выбираем новый текущий элемент, смещаясь в матрице на один столбец вправо и на одну строку вниз, н переходим к следующему шагу, повторяя операцию 1 . Если такое смещение невозможно, т.е.
достигнут последний столбец или строка, преобразования прекращаем. 2*. Если текущий элемент в некоторой строке матрицы равен нулю, то просматриваем элементы матрицы, расположен- б.а элементарные вреобрааоввнззв матрен 179 пые в столбце под текущим элементом. Если среди иих иет ненулевых, переходим к операции 3*. Пусть в й-й строке под текущим элементом иаходится иепулевой элемент.
Меняем местами текущую и Й-ю строки и возвращаемся к операции 1*, 3*. Если текущий элемент и все элементы под иим (в том же столбце) равны нулю, меияем текущий элемеит, смещзлсь в матрице иа один столбец вправо. Если такое смещение возможно, т.е. текущий элемент иаходится не в самом правом столбце матрицы, то повторяем операцию 1*. Если же мы уже достигли правого края матрицы и смена текущего элемента певоэможиа, то матрица имеет ступенчатый вид, и мы можем прекратить преобразования. Так как матрица имеет копечиые размеры, а за один шаг алгоритма положение текущего элемепта смещается вправо хотя бы иа один столбец, процесс преобразований эакоичитсл, причем ие более чем за в шагов (и — количество столбцов в матрице).
Значит, наступит момент, когда матрица будет иметь ступеичатый вид. ~ Пример 6.13. Преобразуем матрицу 2 3 2 4 к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований строк. Используя алгоритм из доказательства теоремы 6.3 и записывая матрицы после окоичания выполиеиия его операций, получаем (3) -+ (3) — 4(1) 1 2 1 1 (((ЗЗ) )(З)-З(2)) О -1 О 2 О О О -4 180 6. МАТРИЦЫ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ Вопросы и задачи 6.1. Какого вида будет матрица А , если сама матрица А является: а) единичной; б) нулевой; в) верхней треугольной; г) нижней треугольной; д) трехдиагональной; е) диагональной; ж) блочной? 6.2. Для матриц А=, В= 2 3 2, С= 1 вычисиить: а) АВ; б) А(В+В ); в) (АС) А; г) ВА~; д) С В; е) А АВ; ж) С ВА +2С А; э) ЗАВС-АС.
6.3. Показать, что для любой матрицы А б М „,(1й) определены произведения А А и АА . 6.4. Привести примеры ненулевых квадратных матриц А и В третьего порядка, для которых АВ = 6. 6.5, Доказать, что если две матрицы перестановочны, то они квадратные и одного порядка. 6.6. Доказать, что сумма и произведение двух верхних (нижних) треугольных матриц из М„(1ь) есть верхняя (нижняя) треугольная матрица из М„(ж).
Чему равны диагональные элементы у произведения двух верхних (нижних) треугольных матриц из М„(й)? 6.7, Являются ли симметрическими следующие матрицы: а) единичная; б) квадратная пулевая; в) нулевая? Какие из этих матриц являются кососимметрическими? 6.8. Доказать, что если матрица является одновременно и симметрической, и кососимметрической, то она квадратная нулевая. 181 Вопросм и задачи 6.9. Доказать, что для любой матрицы А Е М„(яь) матрица А+ А является симметрической, а А- А — кососимметрической.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
