III Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия (2 изд. 2000) (1081377), страница 26
Текст из файла (страница 26)
При изучении определителей используют эту возможность, подразумевая одвако, что терминология относится к матрице определителя. Свойство 7.1. Определитель не меняетси при транспонировании. < Фактически требуется доказать, что для любой квадратной матрицы А 17.2) выполнено равенство аесА = аеьА.
Прежде всего отметим, что если произведение а1а1азаэ ° ° ° аьа Однако в транспонированной матрице сомножители этого слагаемого расположены на симметричных относительно диагот пали матрицы местах. Поэтому в аеьА его знак определяется подстановкой о1 юз ° ° ° оь является слагаемым в определителе ае1А, то оно является слагаемым и в определителе аеь А . Действительно, если сомножители этого произведения расположены в разных строках и разных столбцах в матрице А, то они обладают этим же свойством т и в транспонированной матрице А . Знак этого слагаемого в аеь А определяется подстановкой 189 7.
И Своветве овредеввтееей Четности подстановок о и т совпадают, так как общее число инверсиб в нх строках равно числу инверсий в перестановке (о1, аз, ..., се„). Поэтому совпадают и знаки рассматриваемого слагаемого в беФА н беФА . Следовательно, бесА =бе1А.
~ Согласно свойству 7.1, строки и столбцы определителя равноправны в том смысле, что любое доказанное утверждение о строках определителя сразу переносится на столбцы и наоборот. Учитывая это, мы, хотя и формулируем нижеследующие утверждения для строк и столбцов, доказательства проводим только в одном варианте. Свойство 7.2. При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет свой знак на противоположный. < Обозначим через Ь определитель матрицы А (7.2), а через Ь1 — определитель, полученный из Ь перестановкой е-й и 7-й строк: ам аы ...
а1„ ам аю ... а1„ ам агз ... асо а7ч айз ... ау„ ац аз " ам а11 айз ... аэо а1 аз .. а„„ а„1 аез ... а„„ Если произведение а1, ...а;,....а, ...а„„является слагаемым в определятеле Ь, то оно является слагаемым и в определителе Ь1, и наоборот. Это следует из того, что если сомножители этого произведения расположены в разных строках и разных столбцах в матрице определителя Ь, то они обладают этим же свойством н в матрице определителя Ьы к наоборот. Знак этого слагаемого в Ь определяется подстановкой 190 Х ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Однако в Ь1 знак этого же слагаемого определяется подста- новкой 2 а1 " ° оз " ° оэ " аа Поскольку первая строка подстановки т получается из первой строки подстановки а при помощи одной пгранспозиапи, а вторые строки у них совпадают, эти подстановки имеют разную четность.
Значит, определители Ь и Ь1 содержат одинаковые по абсолютной величине слагаемые, но с противоположными знаками. ~ Свойство 7.3. Если все элементы у-го столбца определителя представлены в виде суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, у которых все столбцы, кроме у'-го, такие же, как и в данном определителе, а 1-й столбец первого определителя состоит иэ первых слагаемых у-го столбца данного определителя, а второго — из вторых слагаемых: аы ...а ...аг„ Ю а аю ... аг.... аг„ аы ... а,+а„...
а1„ Ф а / а аг1...а +а ...аг„ / аы "а,,...а1п а21 " агг " ага / Ф ~ Н / а„1 ... а„.+а„... а„„а„1 ... а„... а„„ Ю а,,г ...а„...а„„ аы а1г .. а|„ аы а1г" а1в а11 а12 . ага Ф / / ап а;г ".аьз + а', а'г ... а'„ ам+ай а;г+а;г ° ° ° а +а; а~1 а~г ... а11 а„га г .,а„„ а„1 а„г ... а„„ Аналогично, если все элементы г-й строки определителя представлены в виде суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки, кроме г-й, такие же, как и в данном определителе, а г-я строка первого определителя состоит нз первых слагаемых г-й строкк данного определителя, вторал — нз вторых слагаемых: 191 7.2.
Сеойстеа ооредееителей ~ Пусть, например, элементы 1-й строки определителя пред- ставлены в виде суммы двух слагаемых. Тогда аы агз ... О1 а;'1+а'1 а,'2+а'2 ... а',„+а'„ 11п1 Оп2 ° ° ° Отттт Р ( — 1) 01ат азат ' ' ' (Ота + Ота;)... Опа ~а~ а ( — 1) О1ат ...а,',...а„а„+ У ( — 1) а1,„,...а," ...а„„= а 11 а12 ... О1„ аы агз .. О1„ т т т О,1 Ю Ф И а; а; ... аьп Отт1 Оп2 Опп Опз ...
Отто что и требовалось доказать. Ф аы ... О11 ... а1„ аы ... а11 ... а1„ Лате ... Ла;, ... Лане а;1 ... а; ... а но ап1 ... Оп ... апп Оп1 ° ° ° Опэ ° ° ° О оп ы ... ЛО11 ... О1„ аы ... О1; ... О1„ Ла; ... а;„ атп ... а; ... аьп Ла„... Опп а„1 ... Опэ ... Опп Свойство 7.4. Общий множитель элементов строки или столбца может быть вынесен эа знак определителя. Для умножения определителя на число достаточно умножить на это число элементы любой строки или любого столбца: 192 7. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ~ Пусть, например, элементы г-й строки определителя имеют общий множитель Л. Тогда аы ... а1 ...
а1„ (-1) а1,„, ... (Ла;<,,)...а„„„= И а Лам ... Лаб ... Ла;„ а„1 ...а„1 ...а„„ аы ... а11 ... а1„ а;1 ... а; ... а,„ Ц = Л~ ( — 1) аын ° "а1а; ° . ° апа = Л е а„1 ° ..а„1 ...а„„ где первое и последнее равенства выполняются в силу опреде- ления 7.1.
Г ~ 1) Так как определитель является суммой произведений элементов из каждой строки, то в каждом таком произведении есть нуль — какой-то элемент из нулевой строки. Следовательно, все слагаемые в сумме (7.3) равны нулю, как и сам определитель. Доказанное свойство диссонирует со свойствами умножения матрицы на число. Действительно, при умножении матрицы на число все ее элементы умножаются на число. Но умножение определителя на число — это лишь умножение одной строки или столбца матрицы определителя на это число.
Поэтому, если А — квадратная матрица порядка п, то бе1(ЛА) = Л" ае1А. Свойство 7.5. Определитель равен нулю, если он имеет: 1) нулевую строку (столбец); 2) хотя бы две одинаковые строки (столбца); 3) хотя бы две строки (столбца), элементы которых пропорциональны; 4) хотя бы одну строку (столбец), являющуюся линейной комбинацией других строк (столбцов). 193 7.2, Свойства определителей 2) В соответствии со свойством 7.2 определитель меняет знак при перестановке строк. Если некоторый определитель Ь имеет одинаковые строки, то при их перестановке он изменяет знак, но в то же время при такой перестановке он не изменяется, так как переставляемые строки одинаковы.
Следовательно, Ь= — Ь, те. 2Ь=О, откуда Ь=О. 3) Пусть, например, элементы 1-го столбца пропорциональны элементам у-го столбца с коэффициентом пропорциональности Л. Тогда в силу свойства 7.4 общий множитель элементов 1-го столбца можно вынести за знак определителя: Ла17 а12 ... аг ... агп Лагз' агг "° агй ". агп а1, арг ',.
а1, ... а2п агй агг .. аг .. агп апй ап2 ° ° ° апй ° ° ° апп Лап; аг ..апй ...апп ~', Лйа1й а1г .. агп й=2 Лйа2й а22 . агп й=2 Лй б ге, Й = 2, и. п Х~ Лйапй ап2 ° апп йспг Некоторые коэффициенты линейной комбцнации, представляющей 1-й столбец, могут быть нулевыми. Это равносильно тому, что соответствующие столбцы не участвуют в линейной комбинации. Используя свойства 7.3, 7.4 определителя, полу- Последний определитель равен нулю, так как имеет два одинаковых столбца.
4) Пусть, например, 1-й столбец определителя Ь является линейной комбинацией всех остальных столбцов: 194 7. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ чаем а„, ага .. а1„ аг„агг " ага агг агг ". а1 а22 а22 ° ° ° «12а +...+Л. ~=Лг а„„а„г ... а„„ а„г айаг .. а„„ = Л,О+...+ Л„О = О, где последние определители равны нулю, так как имеют по два одинаковых столбца.
> Свойство 7.6. Определитель не изменится, если к любой его строке (столбцу) прибавить линейную комбинацию других строк (столбцов): л а«1+ ~, Лйа«й й=2 а а21+ Е Лйагй й=2 а12 ... а1„ аы агг ... а«„ аг« агг .. аг агг ". аг„ а„1+ ~; Лйа„й а„г ... а„„ й=2 ай 1 а»«2 Лй Е Е (к 1-му столбцу прибавлена линейная комбинация осталь- ных столбцов); а11+Х» й«а«1 «112+~ й«а«2 ° ° а1««+~ й«а«««а11 а12 ... а1~ а21 агг ... аг„ а21 аг» а„1 айг ... а„„ а1 апг а„„ Йг Е 1ь (к 1-й строке прибавлена линейная комбинация остальных строк).
195 7.2, Свойства определителей м В силу свойства 7.3 определитель можно представить в виде суммы двух определителей, один из которых равен нулю в силу свойства 7.5. Например, для 1-го столбца это означает, что и а11+ Е Льагь агг " а1 ьлг аю + ~ Льагь агг ... аг„ 1=2 а11 а12 ° ° ° а1о аю агг ..
аг„ ао1 апг ... аеп и а„1+ ~, Льапь аег ... аеп еж 2 Льагь агг .. агп е=г и ~ Льагь агг ... аг„ ежг ам апг ". аро аг1 агг ... аг„ ап1 а„г ... аеп и ,1, Льа„ь а„г ... а„„ Ь=г В матрице А вычеркнем 1-ю строку и 1-й столбец, в которых стоит элемент а; . Из оставшихся элементов можно составить новую квадратную матрицу (и — 1)-го порядка, сдвинув строки и столбцы после вычеркивания. Такой способ образования этой матрицы означает, что элемент ам матрицы А, расположенный в Й-й строке, при й >1 оказывается в (Й вЂ” 1)-й строке новой матрицы. Аналогично, при ! > 1 этот же элемент оказывается в (1 — 1)-м столбце новой матрицы.
Определитель построенной матрицы обозначают через М; и называют мииором (матрицы А и ее определителя Ь), соответствующим элементу аб. Число А; = ( — 1)ььгМ;„называют алгебраическим оополиеиием, соответствующим этому же элементу а; . Миноры и алгебраические дополнения позволяют, в частности, вычислять определитель и-го порядка путем сведения его к вычислению п определителей (и — 1)-го порядка.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
