III Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия (2 изд. 2000) (1081377), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Найдем решение матричного уравнения АХ = = В, имеющего вид 3 4 7 8 Воспользуемся методом элементарных преобразований. Для этого запишем матрицу 1А~В) и выполним те же элементарные преобразования ее строк,~ что и в примере 8.2 (так как матрицы А и цели преобразований~совпадают): 3 47 8 О -2 -8 -10 1 Π— 3 -4 1 О -3 -4 Итак, (-3 -4) Проверка ответа выполняется подстановкой найденного реше- ния в исходное уравнение: 1 2 — 3 — 4 5 6 Матричное уравнение ХА = В также можно решить двумя способами. Если известна матрица А 1, то умножаем справа 224 в.
оырлтнля мктрицк и рлнг мякины на А ' матричное уравнение ХА = В и после очевидных пре- образований (ХА)А ' =ВА ', Х(АА ') =ВА ', ХЕ= ВА ' получаем ответ в виде произведения двух матриц Х = ВА ~. Пример 8.4. Найдем решение матричного уравнения ХА = = В, имеющего вид 3 4 7 8 Поскольку обратнзл матрица А 1 известна (см. пример 8.2), то 7 8 1,5 -0,5 -2 3 Другой метод решения матричного уравнения ХА = В состоит в транспонировании его левой и правой частей (ХА) т т т т = В, А Х = В . После введения новой неизвестной матрицы У = Х получаем уравнение вида А У = В, которое решается методом элементарных преобразований.
Пример 8.5. Чтобы решить матричное уравнение из примера 8.4, транспонируем его 1 3 Хт 5 7 После элементарных преобразований строк блочной матрицы получаем (2) -+ (2) — 2(1) (2) -+ -0,5(2) (1) -+ (1) — 3(2) 225 8.4. Ранг матрицы Итак, что, конечно же, совпадает с решением этого уравнения, най- денным в примере 8.4. 8.4. Ранг матрицы Определение 8.2. Минором порлдми й матприцм А шива тихи называют определитель, который составлен из элементов этой матрицы, стоящих на пересечении произвольно выбранных Й строк и Й столбцов с сохранением порядка этих строк и столбцов. Если выбранные строки имеют номера тм 1з, ..., 4ь, а столбцы — у1, 4з, ..., уа, то соответствующий минор будем обозначать М"э''Р'.
61ь.их ' О миноре М,",'";~" говорят, что: — строки ю1, гэ, ..., 4Ь и столбцы ум тю ..., 1ь матрицы входит в него; — он образован этими строками и столбцами; — он располагается на пересечении этих строк и столбцов; — он располагается в этих строках и столбцах матрицы. Строки, входящие в минор, попарно различны, и в обозначении минора естественно упорядочить их по возрастанию номеров. Это же относится и к столбцам. Правило возрастания номеров означает, что, например, М ' '4 является минором ад,а некоторой матрицы, расположенным на пересечении 1-й, 3-й и 4-й строк с З-м, 5-м и 6-м столбцами, в то время как М1' '4 минором не является, потому что нарушен порядок столбцов (5-й столбец указан в верхних индексах перед 3-м).
Это просто 226 8. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА И РАНГ МАТРИЦЫ определитель третьего порядка, который получается иэ минора М ' ' матрицы при перестановке в нем первых двух столбз,з,в цов. Поэтому, согласно свойству 7.2 определителей, М, 'з ' зд,в М1,3л ' Итак, мы следуем соглашению, что обозначение М~,';~'";~' соответствует минору матрицы, если верхние и нижние индексы в нем строго возрастают.
В противном случае, если индексы расположены в ином порядке, это обозначение соответствует определителю, который получается нз соответствующего минора перестановкой строк и столбцов. Пример 8.6. У матрицы третьего порядка с ам агг а1з азг агг агз аз1 азг азз девять миноров первого порядка, девять миноров второго порядка и один минор третьего порядка.
Определение 8.3. Раппом мапгрицы называют число, которое равно максимальному порядку среди ее ненулевых миноров. Для ранга матрицы А используют обозначение К8 А. Если нвадратнал матрица порядка п нсвыролсдсна, то ее ранг равен ее порядку п: ненулевым является единственный минор максимального порядка и, совпадающий с опрсделипгслсм матрицы. В частности, ранг единичной матрицы Е порядка и равен и. Если квадратная матрица выролсдсна, то ее ранг меньше ее порядка: единственный минор максимального порядка, равного порядку матрицы, является нулевым, и в этом случае ненулевые миноры имеют меньший порядок.
Ранг нулевой машрицы полагают равным нулю. 227 ял. Ранг матрицы Ранг диагональной матрицы равен количеству ее ненулевых диагональных элементов. Непосредственно из определения ранга матрицы следует, что ранг имеет следующее свойство, полностью его характеризующее. Свойство 8.1. Если ранг матрицы ранен г, то матрица имеет хотя бы один минор порядка г, не равный нулю, а все ее миноры больших порядков равны нулю. Теорема 8.5. При транспонировании матрицы ее ранг не меняется, т.е. КкА = В8А. ~ Если мы покажем, что при транспонированин матрицы А т ее ранг г не убывает, т.е. КиА > г, то сможем прийти к т т следующему заключению. Поскольку (А ) = А, то т = КяА < (ВяА (Ви(А ) =К8А=г, и поэтому К8А =г. Итак, докажем, что ВяА > г.
Согласно определению 8.3 ранга матрицы, существует ее минор порядка г, отличный от нуля. Пусть зто будет минор М = М~',~'";.~". При транспонировании строки и столбцы меняются местами. Поэтому минору М, образованному строками яы 1з, ..., я„и столбцами,уы,уз, у, матрицы А, соответствует минор Ж = Ф"""'" матрицы А, образованный строками уы уз, ..., у, и столбцами яы 1з, ..., я„. Ясно, что эти миноры получаются один из другого операцией транспонирования. Согласно свойству 7.1 определителей, они равны. Таким образом, найден минор г-го порядка в матрице т А, а именно минор Х, который не равен нулю.
Следовательно, КиА >г.~ Теорема 8.6. Ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях ее строк и столбиов. м Согласно теореме 8.5, ранг матрицы не будет меняться при элементарных преобразованиях ее столбцов, если он не изменяется при элементарных преобразованиях ее строк.
Поэтому 228 в. окрлтнля млт! ицл и рлнг млтрицы случай столбцов можно не рассматривать. Так как элементарные преобразования обратимы, нам достаточно доказать, что ранг матрицы при элементарных преобразованиях строк не увеличивается, а для этого нужно показать, что произвольный минор Ж = №',~'";л преобразованной матрицы А' равен нулю, если его порядок ! превышает ранг г исходной матрицы А.
При умножении 1-й строки матрицы А на число А ф О возможны два случая. 1. Элементы 1-й строки не входят в минор Д!. Тогда минор Д! является минором матрицы А и равен нулю, так как ! > г. 2. Элементы 1-й строки входят в минор Д!. Тогда, согласно свойству 7А определителей, г! = ЛМ = О, где М = М!,',!'";~'— минор матрицы А, который равен нулю, так как его порядок ! больше г. При перестановке двух строк в матрице А с номерами ! и й возможны три случал. 1. Элементы обеих строк входят в минор Д!. Тогда, согласно свойству 7.2 определителей, перестановка соответствующих строк в миноре д! изменяет его знак, но превращает в минор М = М~,','";~' матрицы А порядка ! > г. Следовательно, Д! = =-М = О.
2. Элементы обеих строк не входят в минор Д!. Тогда минор Д! является минором матрицы А и равен нулю, так как ! > г. 3. Одна из строк (1-я) входит в рассматриваемый минор Л, а другая (!с-я) не входит. Не нарушая общности доказательства, можем считать, что 1-я строка матрицы есть 1-я строка минора, т.е. ! = !1.
Минор Д! представляет собой определитель Д! = М = МД"",:~', составленный из строк и столбцов матрицы А. Этот определитель, вообще говоря, не является минором А иэ-за нарушения порядка строк, Восстановив естественный порядок строк, мы получаем минор матрицы А порядка ! > г, который совпадает с М = Ж или отличается знаком. Следовательно, Ж = М = О.
При добавлении к 1-Й строке матрицы А ее к-й строки с коэффициентом Л возможны три случая. 229 8.4. Ранг матрнцм 1. Элементы обеих строк входят в минор Ж. Не нарушая общности доказательства можем считать, что 1 = 1ы а й = 1з. Тогда, согласно свойствам 7.3, 7.4 определителей, ~у — уз $$-.$$ — М1$1 —.$$+ йМз з -.$$0 ззьзз- ч зшз- ч йьзз- $$ поскольку минор Мзьзз "'~' равен нулю как минор матрицы А порядка 1> г, а определитель МззД'"з$ равен нулю как определитель, имеющий две одинаковые строки. 2.
Элементы з-й строки не входят в минор $$1. Тогда минор г1 является минором матрицы А и равен нулю, так как 1 > г. 3. Элементы 1-й строки входят в рассматриваемый минор, а элементы Й-й строки не входят. Не нарушая общности доказательства, можем считать, что 1 = 11. Тогда, согласно свойствам 7.3, 7.4 определителей, з1 з$1$зз- я Муззз-$$ + $Мззуз-.зз $$з- $$ $$2-.$$ ь$$,.$$ поскольку Мззз';оз равен нулю как минор матрицы А порядка 1 > г, а МД~~з",:з$ равен нулю как определитель, который, возможно, отличается от минора матрицы А порядка 1 > г следованием строк. Итак, элементарные преобразования строк матрицы А не увеличивают ее ранг. Но тогда ранг сохраняется.
Действительно, если предположить, что при некотором элементарном преобразовании строк матрицы ранг уменьшился, то выполнение соответствующего обратного элементарного преобразования строк привело бы к исходной матрице. Следовательно, ранг должен возрасти, чего быть не может. Наконец, при последовательном выполнении элементарных преобразований строк матрицы А ее ранг не меняется, поскольку он сохраняется на каждом шаге при выполнении конкретного элементарного преобразования.
~ 230 а ОБРАТНАЯ МАТРИЦА И РАНГ МАТРИЦЫ 8.5. Теорема о базисном миноре Среди миноров матрицы могут быть как равные нулю, так и отличные от нуля. Определение 8.4. Минор М матрицы А называют базисным, если выполнены два условия: а) он не равен нулю; б) его порядок равен рангу матрицы А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
